《绝对值》考点专题讲解Word格式文档下载.docx
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②当a=0时,方程有一解:
x=0,
③当a<
0时,方程无解.
(2)解绝对值方程的一般步骤
①求出各个零界点.
②根据未知数的取值范围分类讨论.
③去绝对值符号,化为一般方程求解,在转化过程中,经常荽用到分类讨论,数形结合等方法.在解题过程中,要充分利用绝对值的意义和性质,善于观察,发掘题目中的隐含条件,从而简化解题过程.
特别关注:
对于解绝对值方程,零点分段法是一种非常重要的方法.
4.绝对值的几何意义在生活中的应用
在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化,简单化,同时又使实际问题数学化,从而运用绝对倌的几何定义求解.一般地,设a1,a2,a3,…an是数轴上依次排列的点表示的有理数,对于
,则:
(1)当n为奇数时,此式在x=
时取最小值;
(2)当n为偶数时,此式在
≤x≤
时取最小值.
【名题精讲】
赛点1 绝对值的化简
例1
=_______.
【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点,而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键,本例若直接化简会很繁锁,应从
的性质入手,由题中条件可知,每一绝对值符号内均为负数,于是有当a<
0时
=-a.
【规范解答】 原式=
=
【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号,而要去掉绝对值符号,先要对绝对值符号中的数(或式)的正负性进行判断.去掉绝对值符号有三种方法,本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数,于是可以利用1a1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的.
【同类拓展】1.有理数a,b的大小关系如图,则
的值是(D)
A.0B.-1C.-2D.-3
赛点2 绝对值的分类讨论
例2 若abc<
0,a+b+c>
0,且x=
,试求代数式(1-2x)2016-2016x+2016的值.
【切题技巧】 解决本题的关键是对a、b、c的符号的所有可能情况进行分类讨论,由abc<
0可知a、b、c中有一个或三个全为负数,又由a+b+c>
0知a、b、c不可能全为负数,所以a、b、c中有一个负数,两个正数.
【规范解答】 由abc<
0,可知a、b、c中有一个负数或三个全为负数,又由a+b+c>
0知a、b、c不可能全为负数,所以可得a、b、c中有一个负数,两个正数,依x的轮换性,不妨设a>
0、b>
0、c<
0.则:
.所以原代数式的值为:
(1-2×
1)2016-2016×
1+2016=1-2016+2016=1.
【借题发挥】 解含绝对值符号的化简求值题的关键,在于善于运用已知条件去掉绝对值符号,而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法.在分类讨论时,分类要全面、准确、不失一般性.
【同类拓展】 已知有理数x,y,z满足xy<
0,yz>
0,且
=3,
=2,
,求x+y+z的值.-2
赛点3求
的最小值.
【规范解答】 由绝对值的几何意义知1x-a1在数轴上表示数x与数a两点之间的距离,故求原式的最小值就是在数轴上找出表示x的点,使它到1,2,3,…,2015,2016的点的距离和最小.
【规范解答】 由绝对值的几何意义可知:
求原式的最小值,就是在数轴上找出表示x的点,使它到1,2,3,…2016的点的距离之和最小,
可看出当1008≤x≤1009时,原式的值最小,把x=1008代入原式中得:
原式=
=1007+1006+1005+…+1+0+1+2+3+…1008
=2(1+2+3+…1007)+1008
【借题发挥】
(1)由绝对值的几何意义可知如图①当a≤x≤b时,
的值最小,如图②当x=b时,
的值最小.
(2)一般地,设a1,a2,a3…an是数轴上依次排列的点表示的有理数,若n为奇数,则当x=
时,
的值最小;
若n为偶数,则当a
时,
(3)在实际牛活中,有时需借助数轴模型,使实际问题数学化,从而运用绝对值的几何定义解决问题.
如某公共汽车运营线路AB段上有A、B、C、D四个汽车站,如图所示,现在要在AB段上修建一个加油站M,为了使加油站选址合理,要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小,试分析加油站M在何处最好?
求最小路程总和,即求M到A、B、C、D的距离和最小,不妨设A、B、C、D四点在数轴上且分别表示为数a,b,c,d(a<
c<
d<
b),点M表示的数为工,则点M到A、B、C、D四点距离和为
由绝对值几何定义可求解.
【同类拓展】 3.某城镇,沿环形路上依次排列有五所小学,它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台,为使各学校里电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?
并求出调出电脑的最少总台数.
一小向二小调3台,三小向四小调出1台,五小向四小调出6台,一小向五小调出2台,这样调出的电脑总数最小数目为12台.
赛点4 绝对值方程
例4解方程
【规范解答】 解含绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可采用“零点分段法”,即令x-2=0,2x+1=0,分别得到x=2,x=-
用2,-
将数轴分成三段:
【规范解答】
【借题发挥】 对于含有多重绝对值符号的方程,可用零点分段法,从内向外逐个去掉绝对值符号,只是在分类讨论时要注意未知数的取值范围,以免出错,如解方程:
=3,解题时运用“零点分段法”从内向外,根据绝对值的代数定义、性质去简化方程.
【同类拓展】 4.已知
,求x+y的最大值和最小值.
-3.
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- 绝对值 考点 专题 讲解