高中数学 第1章 立体几何初步滚动训练3 北师大版必修2Word文档格式.docx
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C.③④D.②③
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 对于①,X,Y,Z是直线,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题,如正方体共顶点的三条棱;
对于②,X,Y是直线,Z是平面,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题,根据线面垂直的性质定理可知正确;
对于③,Z是直线,X,Y是平面,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题,根据垂直于同一直线的两个平面平行,故正确;
对于④,X,Y,Z是平面,“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题,如正方体共顶点的三个面.故选D.
3.已知m,n表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若mα,α⊥β,则m⊥β
B.若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
D.若m⊥α,m∥β,则α⊥β
解析 由m,n表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面知,在A中,若mα,α⊥β,则m与β相交、平行或mβ,故A错误;
在B中,若mα,nα,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故B错;
在C中,若α⊥β,m⊥β,则m∥α或mα,故C错误;
在D中,若m⊥α,m∥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故D正确.
4.正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为
,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 B
解析 过顶点作垂线,交底面于正方形对角线的交点O,连接OE,
∵正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为
,
∴PO=
,AB=
,AC=
,PA=
,OB=
∵OE与PA在同一平面且是△PAC的中位线,
∴OE∥PA且OE=
PA,
∴∠OEB即为PA与BE所成的角,OE=
在Rt△OEB中,tan∠OEB=
=
∴∠OEB=60°
.
故选B.
5.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论:
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1;
④直线B1D1与BC所成的角为45°
.其中正确结论的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
答案 A
解析 在①中,由正方体的性质,得BD∥B1D1,
又BD⃘平面CB1D1,B1D1平面CB1D1,
∴BD∥平面CB1D1,故①正确;
在②中,由正方体的性质得AC⊥BD,CC1⊥BD,
又AC∩CC1=C,AC,CC1平面ACC1,
∴BD⊥平面ACC1,
∴AC1⊥BD,故②正确;
在③中,由正方体的性质得BD∥B1D1,
由②知,AC1⊥BD,∴AC1⊥B1D1,
同理可证AC1⊥CB1,
∴AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线,
∴AC1⊥平面CB1D1,故③正确;
在④中,异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角,
故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角,
在等腰直角△BCD中,∠CBD=45°
故直线B1D1与BC所成的角为45°
,故④正确.
故选A.
6.如图所示,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析 ∵PA⊥平面ABC,
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AD=2AB,即tan∠ADP=
=1,
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°
,故选D.
7.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=2BC,E是CD上一点,若AE⊥平面PBD,则
的值为( )
A.
B.
C.3D.4
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
解析 ∵PD⊥底面ABCD,AE底面ABCD,
∴PD⊥AE,
当AE⊥BD时,AE⊥平面PBD,此时△ABD∽△DAE,
则
∵AB=2BC,
∴DE=
AB=
DC,
∴
=3.
故选C.
8.边长为2的正三角形ABC中,D,E,M分别是AB,AC,BC的中点,N为DE的中点,将△ADE沿DE折起至△A′DE的位置,使A′M=
.设MC的中点为Q,A′B的中点为P,给出下列四个结论:
①A′N⊥平面BCED;
②NQ∥平面A′EC;
③DE⊥平面A′MN;
④平面PMN∥平面A′EC.
以上结论正确的是( )
A.①②④B.②③④
C.①②③D.①③④
解析 由题意可知MN与CE在同一平面内且不平行,所以MN与CE一定有交点,即平面PMN与平面A′EC有交线,④错误,故选C.
二、填空题
9.二面角α-l-β为60°
,异面直线a,b分别垂直于α,β,则a与b所成角的大小是________.
考点 空间角
题点 空间角的综合应用
答案 60°
解析 过直线a上一点作b的平行线b′,则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知,
a与b′的夹角为60°
,所以a与b所成角的大小是60°
10.如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是BD和AE的中点,那么①AD⊥MN;
②MN∥平面CDE;
③MN∥CE;
④MN,CE异面,其中正确结论的序号是________.
答案 ①②③
解析 ∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,
设M,N分别是BD和AE的中点,
取AD的中点G,连接MG,NG,
易得AD⊥平面MNG,
进而得到AD⊥MN,故①正确;
连接AC,CE,根据三角形中位线定理,
可得MN∥CE,由线面平行的判定定理,
可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确,④MN,CE异面错误.
11.我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度,在四面体ABCD中,AD⊥平面ABC,AC⊥BC,则四面体ABCD的直度为________.
考点 空间中的垂直问题
题点 空间中的垂直问题
答案 4
解析 ∵在四面体ABCD中,AD⊥平面ABC,
∴AD⊥AB,AD⊥AC,AD⊥BC,
∵AC⊥BC,AC∩AD=A,
∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥CD,
∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形,
∴四面体ABCD的直度为4.
三、解答题
12.如图,已知△ABC是正三角形,EA,CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点,求证:
(1)FD∥平面ABC;
(2)AF⊥平面EDB.
题点 平行、垂直综合问题的证明
证明 取AB的中点M,连接FM,MC.
(1)∵F,M分别是BE,BA的中点,
∴FM∥EA,FM=
EA=a.
∵EA,CD都垂直于平面ABC,
∴CD∥EA,
∴CD∥FM.
又∵DC=a,∴FM=DC,
∴四边形FMCD是平行四边形,
∴FD∥MC.
∵FD⊈平面ABC,MC平面ABC,
∴FD∥平面ABC.
(2)∵M是AB的中点,△ABC是正三角形,
∴CM⊥AB.
又∵AE⊥平面ABC,CM平面ABC,∴CM⊥AE,
又∵AB∩AE=A,AB,AE平面EAB,
∴CM⊥平面EAB,
又AF平面EAB,
∴CM⊥AF.
又∵CM∥FD,
∴FD⊥AF.
∵F是BE的中点,EA=AB,
∴AF⊥BE.
又∵FD∩BE=F,FD,BE平面EDB,
∴AF⊥平面EDB.
13.如图所示,已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ,求证:
PQ∥平面CBE.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 作PM∥AB交BE于点M,作QN∥AB交BC于点N,连接MN,
则PM∥QN,∴
∵AP=DQ,∴EP=BQ.
又∵AB=CD,EA=BD,∴PM=QN.
∴四边形PMNQ是平行四边形,∴PQ∥MN.
∵PQ⊈平面CBE,MN平面CBE,∴PQ∥平面CBE.
四、探究与拓展
14.已知m,n是两条不重合的直线,a,b分别垂直于两个不重合的平面α,β,有以下四个命题:
①若m⊥a,n∥b,且α⊥β,则m∥n;
②若m∥a,n∥b,且α⊥β,则m⊥n;
③若m∥a,n⊥b且α∥β,则m⊥n;
④若m⊥a,n⊥b,且α∥β,则m∥n.其中真命题的序号是________.
答案 ②③
解析 ①中m,n不一定平行,还可能相交或异面;
④中m,n不一定平行,还可能异面或相交.
15.如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)求证:
MN⊥CD;
(3)若∠PDA=45°
,求证:
MN⊥平面PCD.
证明
(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE,EN,
则有EN∥CD,EN=
CD,
又AM∥CD,AM=
∴EN∥AM,且EN=AM.
∴四边形AMNE是平行四边形,
∴MN∥AE.
∵AE平面PAD,MN⃘平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.
又AD⊥AB,PA∩AD=A,PA,AD平面PAD,
∴AB⊥平面PAD.
又∵AE平面PAD,
∴AB⊥AE,又AE∥MN,
∴AB⊥MN,又CD∥AB,
∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.
又∠PDA=45°
,E是PD的中点,
∴AE⊥PD,即MN⊥PD.
又MN⊥CD,CD∩PD=D,CD,PD平面PCD,
∴MN⊥平面PCD.
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