第3章有限变形讲解Word下载.docx
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X二X(X,t)Xk二XK(Xk,t)
研究空间点X处对不同时刻流径这一空间的物质点(着眼点:
跟踪在一个空间点上,不同时
刻对应的物质点)
(前者跟踪同一个人,不同晚上睡不同的床位,后者跟踪同一张床,不同晚上由不同的人
去睡)Xw
位移点:
U
u=d,x-X(其中d不随时间而变,X也与t无关)速度和加速度:
分两种表述方法1)Lagrange法
u_次(X「t)
2)Euler法:
(研究流体的流动等)
v二v(xk,t)——流场
d/丄、cv(xk,t)eV臥
:
xk一:
t
一dt从山十瓦专
物质导数=局部导数+迁移导数
3.4变形梯度
记录(构形)
L,度量(本节研究)
E
q
Kt
Xi
变形前dx(方向、长度)
变形后dx(方向、长度)
物体的有限变形的研究,离不开一点的领域,或取一个线元。
变形前线元:
PG=dX=dXKEK
变形后线元:
pq=dx二dxKek
dX>
dx经历了一个长度的变化和方向的变化(它们的量都可能是很大的)
1)Lagrange法:
物质坐标XK自变量
p点:
Xk=Xk(XK,t)
q点:
Xk%二Xk(XKdXK,t)
求dx:
"
亍dXK表示dx和dX的关系(可见未的重要性
乂称为物质变形梯度张量F(称为“物质”的理由是物质坐标下的)
Xk
%简写
X
dx=FdXdXk二FkKdXK变形前后线元之间的关系(包含了长度和方向)(*)
个二阶张量
..:
:
次k
-Xm
Xm
Xm
xk
血klXl
=qkl
.xl
-
-"
qkl・:
『lm=qkm
F对应于一个线性变换,(从(*)式看),包含了方向和长度的变换。
由此可见,F包含了全部的有限变形信息。
FX二Gradx(所以称为变形“梯度”)
cX
-FkKek儿Ek
LQ:
EK(各种不同的写法)
F=qFQr
2)Euler法:
用空间坐标xk自变量,t作参变量。
P点(与P对应的物质点):
Xk=XK(Xk,t)
Q点(与q对应的物质点):
XkVXk二Xk(x<
dXk,t)
dXK二兰旦dxk(知道现在线元,倒回去查原来的线元)
故k
对应于一个由dxk的线性变换。
空间变形梯度张量:
F‘(;
以空间坐标为自变量)
-:
X;
FgradX-E「X仆E「ek
x:
其实,F与F4互逆,所以以F4定义。
3.5变形张量
回顾变形梯度张量:
F,dx=FdX包含了全部信息
变形张量只研究其长度改变的信息(不包含方向改变)
1)Lagrange描述法:
XK作为自变量
变形前dX的长度dL:
(dL)2二dXK・dXK
变形后dx的长度dl:
(di)?
=dxkdx^=k,dxkdx,
上述dXK应该是已知的,dxk可求出的。
则
(dl)2—ki(FkKdXK)(F|LdXL)-kiFkK%dXKdXL
=kixk,Kxi,LdXKdXL
(di)=Xk,KXk,LdXKdXL
变形张量C(称为Green变形张量)C为正定的((de)2_0)
Ckl=xk,KXk丄tC为对称张量。
c二ftf
C=xk,Kxk,LEK-EL
已知变形梯度张量可求出变形张量。
通过C可直接算出长度的变化(优点)。
2)Euler描述法:
xk作为自变量
变形后的长度dl:
(dl)2二dXk・dXk(作为已知的)
变形前的长度dL:
2“-
(dL)dXKdXK=KLdXK执[_=KLXK,kXL,|dxkdxi=Xk,kXL,ldXkdxi
Cauchy变形张量B
B=XK,kXK,lek:
e
B—(F丁(F」)
通过变形梯度张量可求出变形张量。
3.6变形梯度张量的极分解
变形梯度张量F。
(若)F是一个可逆张量,即F’存在,则F可写为:
F二RU或F二VR
右极分解左极分解
上述分解存在且唯一的,R是正常正交张量,表示转动,所以记为R,U和V是对称、
正定张量。
1•右极分解的证明
若F二RU成立,且R为正交张量,U为对称正定张量。
FT=(RU)T二UTRT=URT则FTF=(URt)(RU)=UU又FTF=C为正定的,对称轴,
由F可找到U,且U为正定、对称的。
又R=FU二
Rt=UJFT
RtR=U亠FTFUJ=U’UUUJ=I
-r为正交张量。
2•右极分解的唯一性
设F=RU=RU
U二Rtf二RtrU
U2二UU=UTU=(URtR)(RtRU)=U
U=U,由此可推得r=r
3.左右极分解中的R是相同的。
F二RU又F=VR*
F二vr=(rrt)vr二R(rVr)
上式为一右极分解,因为右极分解是唯一的,则R*-R
同时由上式可得:
U=rtVr
U:
右伸长张量
V:
左伸长张量
U和V是相似张量。
则V=rurt
3.7Lagrange标架和Euler标架
通过这两个标架的学习了解
R,U,V的几何意义。
F二RU
F二VR
1•右极分解
dx=FdX=RUdX
将dX先进行U变换,再进行R变换。
U正定对称二阶张量,{对称张量,存在三个互相垂直的主方向,M_(:
•r1「3)
(;
正定)对应有三个主值(非负)
Ua®
M口=儿MM、十扎2M2©
M2十代3M3®
M3
Lagrange标架:
M1,M2,M3作为基矢
第一步:
UdX乞:
(:
M:
_M.dX
dX=dXM一.也按Lagrange标架分解。
UdX=A©
1%刖浙Mp
=.;
.:
|dX■M二
第二步:
FdX=R(UdX)
即dx二dXRM一
又dx二dXm.
则:
m一.二RM一.(变换后仍为矢量)
正交张量:
有体内积性质,即,有M:
.为单位矢量,正交变换后的m仍为单位矢量,
但方向改变,且M仍为三个互为正交的。
m一.三个相垂直的方向Euler标架
根据前面两步可知:
U右伸长张量,R转动张量。
2•左极分解dx=FdX=VRdX
RdX二RdX:
.(保内性质)
二dXm(长度不变,但投影到Euler标架上)
VRdX=?
令VhRURT=RM:
:
M.RT
二「md:
m:
Euler标架是V的三个主方向,以m1,m2,m3作为基矢。
设V=m:
则’(:
•二-「•
-U和V主方向不同,主值相等。
(•U和V是相似张量)
dx二FdX二VRdX二dX:
m.
两个极分解是同样的结果,只是伸长与转动的顺序不同。
Lagrange标架:
U主方向M
Euler标架:
V的主方向m
既不固定在空间,也不固定在物体上,由变形来确定的标架。
e1,e2,e3与E】,En,E皿是分别固定在空间与物体上的。
3.8有限变形的应变张量
F,C,B,U,V已学过不是应变张量。
小变形的应变张量
I—Io
应变定义:
I一|0:
|0
|0
Hill研究上述定义有三个含义:
1■的递增函数(变形增加,则应变增加)
2,-.时,应变=0
3应变对■的导数=1(,=】时)
根据上述三条,推广
Hill应变张量(有限变形):
Ef二f(JMi:
Mif
(2)M2:
M2f(3)M3:
fC),f('
2),f(3)为L标架中的主应变,主应变是■■2,的函数。
条件:
a)f「是,的递增函数
b),=】时,f(,=
c)f(,=1,当'
=-
理由,当是小变形时,可与原来的理论相通。
Seth应变张量:
f((戶-1)
2n
n取任意数满足Hill条件。
E(n)=加2:
)-1)M「M:
Green应变张量:
n=1
=[「2-1)
E⑴*2-I)W(C-I)
22
工程应变张量:
n=
2
f(1二,_-
E⑴二U-1乂(:
-1)M「M:
对数应变张量:
n=0
-JI
fC=ln'
(推广)
E(0)=lnU=1n:
M:
:
M:
Swainger应变张量;
(叨11
E2=(I)=
(1)M「M.
Almansi应变张量:
n--1
12
f('
V'
E"
―扣亠力十一M:
有限变形中,应变的定义并不明确,都可用,到底用哪一个好?
3.9Green应变张量和Almansi应变张量
线元长度公式
Lagrange描述法:
(dL)-KLdXKdXL
(dl)2-CedXKdXL
CkL=Xk,KXk,L
Euler描述法:
(dL)2二BfdXkdx
(dl)—kdXkdXl
Bkl=XK,kXK,l
1.Green应变张量:
(也叫做Lagrange应变张量)
采用Lagrange描述法。
(dl)2-(dL)2=(Ckl-、KL)dXKdXL
=2EKLdXKdXL
1r
Ekl二尹k,KXk,L-冠kl)Green应变张量分量
E=?
(c-i)
2.Almansi应变张量(也叫做Euler应变张量)
采用Euler描述法
(dl)2-(dL)2=(、kl-B:
)dXkdXl
ekl——Almansi应变张量分量
(、:
kl-Xk,kXK,|)
e(I-U'
位移矢:
u二x-Xd
Lagrange描述法
u=UkEk
=DkE
UkEk=Xkek-xkEkDkEk
令物质坐标系和空间坐标系之间的转移张量
;
kK=ekEK
则ekJkKEk
■UKEK=人4~XkEkdkEk故5二:
VkK-XkDk
Um=Xi-;
im_Xm'
Dm
对Xk求导:
UM,K=X|,K「im-「MK两边乘Mk:
UM,K"
Mk=X|,kimMk-MK"
Mk
=X|,k'
*|ki*Kk
二Xk,K-'
Kk
Xk,K二Um,K'
Mk"
kK
CkL=(Xk,K)(Xk,L)
-G■kKUm,KkM)(、kLUn,LkN)
=■■KL'
UK,L'
UL,K'
UM.KUM,L
1,
ekl(Ckl-:
KL)
Ekl(Uk,l'
Ul,k'
Um,kUm,l)
同样,可得
ekl(Uk,lUi,k-Um,kUm,l)
对于微小变形:
dj(Ui,jUj,i)两者没有区别,一般用Lagrange描述法
(UK,L1,Uk,|;
〔)
是一对称应变张量,有6个应变分量(三个线应变,三个角应变)
在有限变形中,应变张量也是对称的,也有6个应变分量,但不是直接对应3个线应变和3
个角应变,要通过一定的计算才能得出对应值。
(参考:
B.B.诺沃日洛夫:
非线性弹性力学基础)
3.11变形协调方程
给定应变张量分量:
E或e——一u
在线弹性理论中,
在有限变形中:
有生文南方程(6个协调方程)
1,Ekl(Ckli-;
kl)
变形协调方程:
f(CKL)=0
Green变形张量:
CKL=Xk,KX|,[_kl
2(CkL,M'
Ckm,L一CLM,K)=Xk,KX|,LM「kl
-CKPXp,|
又'
,klXk,K=(“rl)xk,K=(xr,PXp,|)Xk,K
2(CKL,MCKM,L~CLM,K)二CKPXp,|X|,lm
两边乘以Xs,mXK,mXr,s,有
Xs,mXK,m(CKL,MCkM,L一Clm,K)Xr,s=Xs,mXK,mCKpXp,|Xr,sX,LM
-Xk,KXk,PXS,mXK,m(Xr,SXP,lXl,LM)
-'
*mXk,pXs,m(Xr,sXp,|X|,LM)
=Xm,PXS,m(Xr,SXP,lXl,LM)
=-'
■SPXr,SXP,lXl,LM
=Xr,PXp,|Xl,LM
-rlXl,LM-Xr,LM
即:
XS,mXK,m(CKL,M'
CKM,L_CLM,K)xr,^~Xr,LM
定义:
第二类
人,lmjLM
Xr,s
再求一次偏导数:
Xr,LMN
=CLMXr,S),N
Xr,T
--LMXr,SN'
CLM),NXr,S
--LM■SNXr,T'
0LM),N
Xr,LMN~[■LM'
SNGLM),N]Xr,T
又Xr,LNM=[LN'
SMGLN),M]Xr,T
在欧几里德空间中,应有:
Xr,LMN=Xr,LNM
■LM■_■Ln■SM(Lm),N一CLn),M=0
简记为:
RTmn=0称为变形协调条件(充分必要的)
RLMN=-LM-SN_Lln-SM0LM),N_GLN),M
称为第二类RiemannChristoffel张量(4阶张量)
第一类RiemannChristoffel张量:
RkLmn二cktRLmn-0也是变形协调的充分必要条件。
81个协调方程中只有6个是独立的(为什么只有6个,;
其具有对称性)
Rklmn的对称性质:
Rmnkl,Rlkmn二一Rklmn,Rklmn二一Rklmn
Rklmn■RkMNL■Rknlm=0
Rnin
Rmimi
-0,Rinim=0,Rnmnm-0,Rnmn^-0
=0,Rmimn=0
3.12体元与面元的变化
变形前体积:
A、B、C三方向变形前的线元分别为:
dV
dXA,dXB,dXC
/
■1
A
z
dXc
dx
X3^\
X1变形后体积
XA(dXBdXC)
dXiA
dX?
dXB
dx:
dXC
dXmdXBdXC
变形后体积:
dv=dxa(dxbdxC)
,一…A、
=(FdXA)(FdXBFdXC)
F3KdX$
F3KdXB
F3KdXC
令F=J
史=detFdV
(以前设:
F正定,可逆,这里得证)
面积变化
原始面积矢dA=NdA(变形前)
其中任一线元dX,其高与面积dA构成初始体积
dV二dXdA
现时面积矢da=nda(变形后)
其中任一线元dx,其高与面积矢da构成变形后体积
dv=dxda
dv
*Jdx=FdX
贝U:
dadx=JdAdX
daFdX=JdAdX有:
da=JdAF‘
1T
da二J(F)dANanson公式
dak二JX^kdA
二J2NFFTN=J2NCNdA
或:
df」窗
回顾:
引伸:
变形几何问题:
问题:
是弹性变形还是塑性变形?
e=ee■/
有限变形中:
可否进行上述分解?
有文献:
E.H丄ee(1969),ASME,TransSeiencaE.JAMVo.36
提到:
弹性变形是小变形,塑性变形是有限变形时,上述分解可用,但目前分析不清。
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