数学第三章《三角恒等变换教材分析》教案新人教B版必修4.docx
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数学第三章《三角恒等变换教材分析》教案新人教B版必修4
数学:
第三章《三角恒等变换教材分析》教案(新人
教B版必修4)
必修4第三章三角恒等变换教材分析
(一)编写特色
1.用向量证明和角公式,引导学生用向量研究和差化积公式。
2.建立和角公式与旋转变换之间的联系。
3.融入算法,引导学生找出求正弦函数值的算法。
4.引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差公
式。
5.和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。
(二)内容结构
1.内容编排
本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差
公式与和差化积公式,为了引起学生学习本章的兴趣,同时为了加强三角变
换的实际应用,本章的开篇从一个实际问题出发,通过数学化,得到一个必
须通过三角变换才能解决的数学问题,从而激发学生对本章内容的学习兴趣
和求知欲。
全章共分三大节。
第一大节,首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式,接着导出两角
和的余弦公式,再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式,又利用同角三
角函数关系式推出两角和、差的正切公式;
第二大节,推导出倍角公式和半角公式。
第三大节,推导出积化和差与和差化积公式,并通过例题讲解以上各公式
的应用。
2,地位与作用
变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一。
代数变换是学生
熟悉的,与代数变换一样,三角变换也是只变其形不变其质,它可以揭示那
些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。
在本册第一章,学生
接触了同角三角函数式的变换。
在本章,学生将运用向量方法推导两角差的
余弦公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并运用这些公式进行简
单的三角恒等变换,通过本章学习,学生的推理能力和运算能力将得到进一
步提高。
三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛,同时有利于发展学生的推理
能力和计算能力,本章将通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。
3.重点与难点
本章的重点是掌握和角公式的推导过程;难点是理解和角公式的几何意
义。
4.本章知识结构
(三)课时分配
本章教学时间约8课时,具体分配如下:
3.1和角公式
3.1.1两角和与差的余弦2课时
3.1.2两角和与差的正弦1课时
3.1.3两角和与差的正切1课时
3.2倍角公式和半角公式
3.2.1倍角公式1课时
3.2.2半角的正弦、余弦和正切1课时
3.3三角函数的积化和差与和差化积1课时
本章小结1课时
课题3.1.1两角和与差的余弦
(一)
(一)教学目标:
知识目标:
理解并掌握两角和、差的余弦公式及其推导过程,理解公式的
使用条件;会用公式求值
能力目标:
培养学生观察分析、类比、联想能力;推理能力及交流探讨能
力。
情感目标:
通过问题的引入及对问题的探讨解决激发学生学习数学的兴
趣,通过公式的推导培养数学思想方法和良好的思维品质。
(二)教学重点和难点:
本节课的重点是掌握公式结构,会用公式求值;难点是两角差的余弦公式
的推导
(三)教学方法:
教师通过问题的创设启发学生探讨解决问题的途径和方法;教师启发式的
讲授以及师生、生生间的探讨为一体的教学方式
(四)教学过程:
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图复习引入
首先复习两个向量的数量积的两种形式的运算公式;
引入新课:
利用课本本章开头的问题引入新课。
先让学生阅读书中的问题,并思考如何将其中的实际问题转化成数学问
题?
进而思考你是否能够用你储备的知识解此数学问题吗?
就此提出是否成
立?
师生共同探讨。
从而引出本章节的所研究的内容,即如何用,,,表示的
三角函数呢?
本节课我们首先研究的余弦函数。
以旧引新、对实际问题出发的思考探讨得到数学问题,从而激发学生对本
章的学习兴趣。
教学过程
1、公式推导和理解:
问题1、已知:
点,,,求的大小?
问题2、已知:
点,,,
求的大小?
引导学生用向量方法求的余弦值。
师问:
由余弦值的表达式你能发现什幺?
生答:
师问:
如果定义直线与轴
的正方向的夹角为,直线与轴的正方向的夹角为,那幺上式又揭示了什幺结
论呢?
此时如何用,表示?
师生共同探讨得出公式:
此时让学生看书有关公式的具体证明过程。
通过求两个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论,
使学生体会和认识到”温故而知新”的研究数学问题的思想方法。
教学过程
2、公式的深化:
师问:
对公式的思考
(1)观察结构特点;
(2)公式的使用条件;(3)如
何得出
使学生牢记公式并再一次亲身体会利用旧知识推出新结论的过程,同时培
养学生的化归的数学思想方法。
教学过程
3公式的应用
例1,例2练习B中1;
教师讲评
通过练习总结出以下内容:
(1)将一般的角转化为特殊角的和或差,可以不查表;
(2)在运用公式时,不仅会正用而且要善于逆用;
(3)让学生编出相应的题目。
训练学生正用和逆用公式,加深对公式结构的记忆,同时培养学生逆向思
维方法。
让学生认识到求一个一般角的余弦值可以转化为特殊角的和或差的余弦值
的数学转化思想归纳小结
让学生谈收获和体会布置作业
看书复习,并预习例2和例3并尽所能的做练习A\、B中的习题备注:
三
角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛,同时有利于发展学生的推理能力
和计算能力,课本的题目应适当拓展。
课题3.1.1两角和与差的余弦
(2)
(一)教学目标
1、知识目标:
会用公式求值和证明。
2、能力目标:
培养学生分析问题解决问题的能力,推理,联想能力。
3、情感目标:
发展学生的正向,逆向思维能力,前后知识灌溉和呼应的能
力,培养良好、严谨的数学思维品质。
(二)教学重点,难点
重点是运用公式求值,证明,并建立与原有知识(诱导公式),方法(旋转
变换)的联系。
难点是公式的变形和逆向应用。
(三)教学方法
教师按照例题设计的思路适度引导学生自发地思考问题,通过提问,讨论
等形式来促使学生自己思考,自发学习,获得解决问题的途径,同时构建基
于旧有知识的更新结构体系。
同时,通过切身的尝试和参与来实现思维能力
的提升,以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目的。
(四)教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图复习引入
复习公式
让学生默写两角和与差的余弦公式。
同时,从公式形式出发,让学生总结
提炼该公式的本质思想:
讨论角的余弦和单角的正弦,余弦函数间的关系,
于是,利用这一公式我们可以用已知特殊角来求得某些角的余弦。
温习所学,引导学生积极思考,进而由简渐繁,强化应用。
设置例题,
复习强化P135A,2
(2)(3)
学生练习,板演,教师讲评。
是对公式的简单应用。
在第二个问题的处理上要用到诱导公式。
也是为下
一步工作的开展做铺垫。
形式出发,小作提升
教材例2。
分析,解决完此问题之后,通过练习B中题目2来巩固该方法和步骤。
思
考:
由公式形式来看,对其应用是不是仅仅局限于特殊角?
由对公式的理解我们知道:
由公式出发,比特殊角更广泛的角可以加入进
来。
前提是只要知道其正,余弦值。
看教材中的例2。
提问:
欲求其值,打算用何工具?
题目中是否具有了该工具可行的条件?
该条件能否实现?
如能,怎幺实现?
通过学生讨论,找到解决问题的办法--利用和角余弦公式,通过判断各象
限角的正,余弦的符号这一部分内容完成题目的瓶颈问题。
再利用公式得结
果。
在以上过程中感受解决此类问题的思想,步骤。
进一步,通过学生对练习
B中题目2的练习达到巩固这一类问题的目的。
小议证明,建立联系教材例3思考:
通过已有的知识,能否判断该等式成立?
依据是什幺?
通过对上问题的思考温习诱导公式部分的内容以及方法(是用单位圆以及
对称性来实现的)。
进一步问题:
还有没有其他的方法来说明这件事情?
引导学生从形式的角度结合新获得的工具来看待这个问题。
公式的左边可以看作两角和的余弦值,从而想到用两角和的余弦公式尝试
证明。
具体而言,即用来代替公式中的,则不难推出等式成立。
问题:
能否用推出其他余弦形式的诱导公式?
既完成了旧知识的复习又巩固了新知识。
从实际操作得出:
证明结论的途
径不唯一。
在该例题的结论上,不难推广到一般,建立起诱导公式与的联
系,知道诱导公式是的特例,引导学生探究由推出其他余弦形式的诱导公
式。
体会数学内在的和谐,联系之美。
灵活逆用,巩固新知B,4
(2),5
(1)
引导学生用整体的观点来看待变量从而达到方便处理的目的:
形式上看是两个角,但此处视为一整体。
同时化简的过程又是公式逆用的形式;在第二个证明上,可以从右往左
推,利用公式展开即可,也可以从左往右,先写成具体的再用公式。
也是公
式逆用的一个练习。
公式的应用不只局限在从左到右的正用,还要锻炼从右到左的逆用。
有助
于活跃思维,简化问题,提高数学素养。
归纳小结
总结用该公式可以解决哪些类型的问题,主要的方法和步骤是什幺。
公式的贡献主要体现在”求值”和”证明”;而证明过程中所用到的方法又是
不唯一的,在不同的工具之间又可以建立联系。
及时小结,有利于形成解题技巧和知识网络。
布置作业
教材练习:
P135A、2(4);3
(1)
B、3;5
(2)
课后思考题:
sin15能否不查表而求值?
培养学生主动思考,沟通知识间联系的一种习惯,同时为下一节课的开展做
铺垫。
备注:
(1)在教学安排上,注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作
用,可以布置较为开放性的题目,使学生自己建立科学又符合自身认知规律
的知识体系网;
(2)在题目的设计上,如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于
知识模块间联系的理解。
在这个问题上似乎还需要更深入的探索。
课题3.1.2两角和与差的正弦
一、教学目标
⒈知识目标:
掌握两角和与差公式的推导过程;
⒉能力目标:
培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力;
⒊情感目标:
发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。
二、教学重点、难点
重点:
两角和与差公式的应用和旋转变换公式;
难点:
两角和与差公式变aSina+bCosa为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法
温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习:
⑴Cos(αβ)=?
⑵Sin(π/2-α)=?
⑶任意角三角函数的定义:
若p(x,y)︱op︱=r
则Sinα=?
Cosα=?
学生回答
为证明Sin(αβ)作好准备。
公式推导及理解
例:
求证:
Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ
证明:
(略)求证:
Sin(α-β)=SinαCosβ-CosαSinβ
分析:
等式两边的特征?
如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦?
联系所学知识,已学
过的哪一个公式可把α+β的三角函数化成α、β的函数形式?
(学生回答)
故需要把(α+β)的正弦化成与α+β的相关的余弦形式即可。
问:
Sin(α+β)应化成哪个角的余弦形式?
问:
Cos[-(α+β)]又如何
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