高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二docxWord格式文档下载.docx
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基于上述情况,本节课的教学难点定为:
发现及归纳二项式展开式系数的规律.
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、
归纳得到二项式定理,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学过程中使用TI-图形
计算器.既可以解决多项式乘法的复杂计算问题,也可以让学生从被动学习状态转到主动学
习状态中来.
在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思
考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点.
在教学过程中,重视二项式定理的发现与证明,让学生体会到从特殊到一般是数学抽
象的基本过程,同时,定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.因
此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
五、教学过程与设计
教
学
问题或任务
环
节
[问题1]有人说
(1x)70的展开式中
有x47项,你认为对吗?
若有,它的系数是多少?
[问题2]为了解决问题
1,需要用到(ab)n的
展开,你认为这个展开
式式会怎样呢?
回
顾
前
知
引
出
猜
想
师生活动设计意图
教师1:
提出问题1.
学生1:
学生思考.问题引入.
教师2:
提出问题2.
学生2:
学生思考.
教师3:
观察(ab)1、(ab)2、(ab)3、
(ab)4、(ab)5的展开式,你能得到哪些规
律?
学生3:
利用图形计算器CAS的expand()函数,提出问题.
得出(ab)3、(ab)4、(ab)5的展开式.
引导学生通
过对特殊情
形的观察,
归纳猜想一
般情形的基
本特征.
教师4:
根据你所计算的结果,填对应表格.
教师引导,
学生根据所
得具体的展
开式,从展
开式中的项
数、项的次
数、项的系
数等角度进
行归纳,并
根据归纳所
得猜想一般
学生
4:
发现项数、项的次数、项的系数并猜
的展开式的
结果.
想:
学生体会由
n
n1
nk
k
特殊到一般
(a
b)
0a
1a
b
ka
nb
的归纳猜想
的过程.
[问题3]猜想一:
(ab)n0an1an1b
kankbknbn
中的k?
教师5:
提出问题3.
学生5:
引起思考,并提出想法.
教师6:
提出问题:
在(ab)3
0a3
1a2b
2ab2
3b3
一般问题回
1,1
3,2
到特殊情形
中,为什么“
3,
进行研究.
31”?
学生6:
展开式计算,寻找答案.
教师7:
(ab)3与(a1
b1)(a2
b2)(a3
b3)是什么
把问题回到
已知的结构
关系?
进行处理.
当a1
a2
a3
a,b1
b2
b3b
时,(a1b1)(a2
b2)(a3
b3)
(ab)3.
探
探究(a1b1)(a2
b2)(a3b3)展开式的特
寻
规
点.
学生通过计
律
学生7:
利用图形计算器的CAS
功能中
算器得到计
expand()函数,得出(a1
b3)的
算结果.
获
得
展开式.
结
论
教师8:
引导学生分析(a1b1)(a2b2)(a3b3)
展开式的各项,并提出问题在展开式中为什么
没有a1b1a2项,a1a2等项?
学生8:
学生根据所得的计算结果,观察得到
教师通过引
导学生对展
开式各项构
成的观察,
得到项的构
成.
展开式的项的特点:
展开式中的每一项是由每
个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的.
教师9:
通过表格呈现特殊(ab)3与
并提出问题:
(ab)3
1a2b
3b3中,
为什么
1
3?
学生9:
(ab)3展开式中的项3a2b是由
(a1b1)(a2
b2)(a3b3)展开式中的项a1a2b3,
通过特殊与
一般的项的
a1b2a3,b1a2a3去掉足码得到
aab,aba,baa
关系对比,
后合并同类项得到.从三个括号中的一个括号
得到对系数
意义的理
选择“b”剩余两个括号选择“
a”构成的,
解.
因为从三个括号中的一个括号选择
“b”,一旦
确定哪个括号选“b”,剩余两个括号选择也就
确定了,因为“b”有三种选择,所以对应同
类项的个数就为
3,即“a
2b”的系数为3.
根据展开式
教师10:
能否用计数模型进行解释?
系数即同类
学生10:
“a2b”可以看成是从三个括号中选
项的个数这
择一个括号选“b”,剩余两个括号选择“a”,
一结论,引
完成这件事的所有可能,要做这件是,我们可
导同学们通
分成两步来完成:
第一、从三个括号中选择一
过一般到特
个括号选“b”,有C31种选择;
第二、剩余两
殊,用组合
计数模型对
个括号选择“a”就C22
1种选法,故有
各项系数进
行研究.
C311C31
种选法,所以,
C31
.依此可以
得到其它系数的组合数形式:
(ab)3
C30a3
C31a2bC32ab2
C33b3.
教师11:
根据所得(a
b)3
展开式的规律,你
得到展开式
系数的猜
能否得猜想(a
b)n
的展开式中
想.
[问题3]你能证明
(ab)n
Cn0anC1nan1b
CnkankbkCnnbn
(nN)吗?
证
明
定
理
晰
概
念
0,1,,k,,n的值?
学生11:
(ab)nCn0anCn1an1bCnkankbk
Cnnbn
教师12:
学生12:
提出想法.
教师13:
你认为证明问题3,关键是几步?
学生13:
(1)项的结构;
(2)项的系数.
教师14:
证明:
(
)n
是n个(a
b)相乘,
ab
根据多项式的乘法,展开式每一项都满足
ankbk(k{0,1,
n}).
对项ankbk(k
{0,1,
n})看成问题:
从n个括号中选择k个括号选“b”,剩余括号选择“a”,相乘而成.可这样设计计数模型,
要做这件事,可分成两步来完成:
第一、从n个括号中选择k个括号选“b”,有
Cnk种选择;
第二、剩余括号选择“a”就Cnnkk1种选法,
根据分步计数原理有Cnk1Cnk种选法.
所以,项ankbk的同类项有Cnk,故ankbk的
系数为Cnk(k
{0,1,,n}).
所以,(
)
nkk
a
展开式每一项满足n
Ca
由归纳猜想
到理论证
明.
引导提炼学
生提炼证明
要点.
强调规范表
达.
(k{0,1,,n}).
明晰概念.
教师15:
上述公式叫二项式定理,展开式共有
n1项,其中各项的系数
Cnk(k{0,1,,n})
[问题
4]从数列的角
叫做二项式系数.
度看二项式展开式,你
教师16:
提出问题4.
能获得什么认识?
学生14:
二项展开式可以看成是一个数列的
和,数列的通项公式是
Cnkankbk,表示数列第
k1项.
教师17:
二项式展开式的通项是展开式中第
学生从数列
的角度获得
对二项式展
开式的再认
识.
k1
knkk
[问题5]你能根据
项:
Tk1Cnab.
(a
b)n的展开式得出
15:
根据二项式定理,把
b)n化成
b)n
[a
(b)]n
“
”
的展开式吗?
的形式,把此式子中的
b看成二
项式定理中的“b”即可得到结论(写出具体展
开式).
让学生体会
利用二项式
定理模型进
行计算,感
受数学模型
的在数学应
用中的价
值.
[课堂练习1]
(1)求(1x)n的展开
式;
(2)求(2x
)6的展
x
开式.
[课堂练习2]
求(x1)9展开式中x3x
的系数.
[课堂练习
1]
教师18:
布置课堂练习1、2.熟悉二项式
学生16:
完成课堂练习,并通过计算器核对答定理模型.
案.
[课堂练习
2]让学生体
会用通项公
式表示展开
式的简洁
性.
[问题6]你从二项式
教师19:
提出问题6.
定理的发现、证明与应
学生17:
本节课获取二项式定理的过程:
先由
用的过程中体会到一
特殊察(a
b)3、(ab)4、(ab)5的展开式猜
些什么?
想一般(a
b)n的展开式项的结构,再通过对特
殊形式(a
b)3展开式项的研究得到(a
b)n的
师生共同回
顾总结.引
领学生感悟
数学认知的
过程,体会
数学核心素
养.
课
堂
小
升[课后练习]
华
6
的展开
认
1.写出(x1)
式.
2.写出
(3
)n的
23
展开式的第r
项.
[课后思考]
1.(abc)3的展开式
为.
2.请同学们观察下表(我国宋朝时期数学
家杨辉所做的一个表),你有什么发现?
展开式项的规律,最后进行理论证明;
课堂展示了获取一个一般性结论的过程:
首先要通过特殊到一般进行猜想结论,体现了数学抽象过程;
其次,得到猜想后,要进行理论论证,体现了数学逻辑推理;
最后,得到结论后,要以此为模型进行应用,体现了数学模型的应用.
学生18:
学生课后进行思考,并完成课后练习.
课后练习是
对定理巩
固,思考练
习是对本节
知识的一个
深化认识,
同时也为下
节内容做好
铺垫.
知识落实为明线核心素养为暗线
——课例《二项式定理》点评
《二项式定理》是高中数学教学的一个难点.此定理规律的发现与证明很
好的体现了获取一个一般性的结论的基本过程.我们知道,学生在学习某一项知
识之前,头脑里并非一片空白。
他们通过学习、生活的各种经历,已经形成了一
些科学的或非科学的概念、经验和一套他们独有的思维方式。
黄文辉老师善于从
已知(“最近发展区”)出发,“采用问题引导”,置疑、思疑和解疑,循循善诱、
化难为易;
他既以学生为主体,将课堂还给学生,又注意“发挥教师引导作用”。
作用→反馈→再作用→再反馈,在这种反复的信息交互中,学生由表及里、思维
不断优化,教学目标逐步实现;
他“注重知识的发生过程”,与学生共同经历从
个别现象,探索、挖掘、发现普遍规律的心路历程,感受数学之美,潜移默化的
发展了学生的科学创新能力;
他突出重点,强化数学核心素养训练,通过“建构
计数原理模型”,演绎证明猜想,形成定理,提升了学生严谨的科学态度和逻辑
思辨能力.
具体来说,有以下几个特点:
1、现代技术为更好的实现教学目标服务.本节课的主题是探究规律、发现结
论、证明定理,计算不是本节课的任务,但要完成对规律的探究,又必须借助于
一些特殊多项式的展开式,故图形计算器在课堂上的使用,能使学生从繁杂的计
算中解放出来,更注重于教学的核心任务.
2、整个设计充分体现了由特殊到一般的抽象过程。
在课堂教学中核心素养
的培养不是仅仅停留在口头上,本节课的设计很好的诠释了这一点,教师通过问
题引导学生不断的通过多个特殊形式的展开式的特点引导学生观察、归纳出一般
性的规律,让学生充分感受了数学抽象的过程。
3、问题的生成是自然的。
整节课的问题,教师没有生硬的塞给学生,而是
在学生思考过程中,因学生的思维需求,自然而然的提出问题,是建立在学生主
动需求的基础上。
这样的设计提高了学生思维参与度。
4、整个教通过学过程中,明线、暗线相伴而成,定理的探究、发现、证明
是明线,让学生充分体会获取一个结论的思维过程,同时渗透了数学抽象、推理
证明、数学建模的核心素养是暗线。
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