第三讲 最短距离问题Word格式.docx
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(1)求这条抛物线得函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得得周长最小、请求出点P得坐标
〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗
(1)由题意得 解得
∴此抛物线得解析式为
(2)连结、、因为得长度一定,所以周长最小,就就是使最小。
点关于对称轴得对称点就是点,与对称轴得交点即为所求得点.
设直线得表达式为则
解得
∴此直线得表达式为
把代入得
∴点得坐标为
例2:
已知:
直线与轴交于A,与轴交于D,抛物线与直线交于A、E两点,与轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,0).
(1)求抛物线得解析式;
(2)在抛物线得对称轴上找一点M,使得值最大,求出点M得坐标.
【难度分级】A类
〖试题来源〗2009眉山中考数学真题
〖选题意图〗使学生掌握几何模型2得应用
〖解题思路〗直接应用几何模型2,由于B就是C关于对称轴得对称点,所以连接AB,则AB与对称轴得交点M即为所求、
(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入得解得
∴抛物线得解折式为
(2)抛物线得对称轴为
∵B、C关于x=对称∴MC=MB
要使最大,即就是使最大
由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M在同一直线上时得值最大易知直线AB得解析式为∴由得∴M(,-)
(二)、题中出现两个动点。
例3、如图:
在△ABC中,,,M、N分别AB,AC上动点,求BN+MN+MC最小值
【难度分级】B类
〖试题来源〗2003年浙江余姚中学保送生测试题
〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”
②掌握双动点问题得解题方法
〖解题思路〗当题中出现两个定点与两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线得对称点、利用两点之间线段最短求出最值、
作关于对称点,关于对称点,
有(当、运动到、时等号成立),
、
为正三角形
1、恩施州自然风光无限,特别就是以“雄、奇、秀、幽、险"
著称于世.著名得恩施大峡谷与世界级自然保护区星斗山位于笔直得沪渝高速公路同侧,、到直线得距离分别为与,要在沪渝高速公路旁修建一服务区,向、两景区运送游客.小民设计了两种方案,图9就是方案一得示意图(与直线垂直,垂足为),到、得距离之与,图10就是方案二得示意图(点关于直线得对称点就是,连接交直线于点),到、得距离之与、
(1)求、,并比较它们得大小;
(2)请您说明得值为最小;
(3)拟建得恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直,建立如图11所示得直角坐标系,到直线得距离为,请您在旁与旁各修建一服务区、,使、、、组成得四边形得周长最小.并求出这个最小值、
【难度分级】B类
〖试题来源〗2009年湖北恩施自治州中考真题。
⑴图9中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
∴AC=30
在Rt△ABC中,AB=50AC=30∴BC=40
∴BP=
S1=
⑵图10中,过B作BC⊥AA′垂足为C,则A′C=50,
又BC=40 ∴BA'=
由轴对称知:
PA=PA’
∴S2=BA'=
∴﹥
(2)如 图10,在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'
由轴对称知MA=MA'
∴MB+MA=MB+MA'
﹥A’B
∴S2=BA'
为最小
(3)如图12,过A作关于X轴得对称点A'
过B作关于Y轴得对称点B’,连接A'B'
交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
A'B'
=
∴所求四边形得周长为
例4、如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB就是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值。
②使学生掌握,在由“折”转“直"
得过程中,如何做到最短、
〖解题思路〗
作关于得对称点,
在上运动,当运动到时,即,最短为
如图,在锐角中,,得平分线交于点分别就是与上得动点,则得最小值就是________.
〖试题来源〗2009年陕西省中考真题。
〖答案〗4
(三)、题中出现三个动点时
例5、如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°
E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值
②掌握三动点问题得解题方法
当题中出现三个动点时,在求解时应注意两点,
(1)作定点关于动点所在直线得对称点,
(2)同时要考虑点点,点线,线线之间得最短问题。
作关于所直线得对称点,
则 ,
因为在上运动,故当与、垂直时,最短,且
12.如图,∠AOB=45°
角内有一动点P,PO=10,在AO,BO上有两动点Q,R,求△PQR周长得最小值。
〖试题来源〗经典例题、
在内任取一点,过做、得对称点、
则有
由对称性易知为等腰三角形
又因为,所以为等腰直角三角形
在中,,
所以得最小周长为:
(四)、综合压轴
例6、如图,四边形ABCD就是正方形,△ABE就是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM。
⑴ 求证:
△AMB≌△ENB;
⑵①当M点在何处时,AM+CM得值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM得值最小,并说明理由;
⑶当AM+BM+CM得最小值为时,求正方形得边长.
【难度分级】C类
〖试题来源〗2010福建宁德中考真题
〖选题意图〗强化应用
(1)由题意得MB=NB,∠ABN=15°
所以∠EBN=45,容易证出△AMB≌△ENB;
(2)①根据“两点之间线段最短"
可得,当M点落在BD得中点时,AM+CM得值最小;
②根据“两点之间线段最短”,当M点位于BD与CE得交点处时,AM+BM+CM得值最小,即等于EC得长(如图18);
(3)作辅助线,过E点作EF⊥BC交CB得延长线于F,由题意求出∠EBF=30°
设正方形得边长为x,在Rt△EFC中,根据勾股定理求得正方形得边长
⑴∵△ABE就是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°
。
∵∠MBN=60°
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE—∠ABN。
即∠MBA=∠NBE、
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS)、
⑵①当M点落在BD得中点时,AM+CM得值最小。
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE得交点处时,
AM+BM+CM得值最小、
理由如下:
连接MN。
由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN。
∵∠MBN=60°
MB=NB,
∴△BMN就是等边三角形.
∴BM=MN。
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM。
根据“两点之间线段最短"
得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE得交点处时,AM+BM+CM得值最小,即等于EC得长
⑶过E点作EF⊥BC交CB得延长线于F,
∴∠EBF=90°
-60°
=30°
设正方形得边长为x,则BF=x,EF=.
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴()2+(x+x)2=。
解得,x=(舍去负值)、
∴正方形得边长为。
1、如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点得坐标分别为
,,延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC得延长线于点E.
(1)求D点得坐标;
(2)作C点关于直线DE得对称点F,分别连结DF、EF,若过B点得直线将四边形CDFE分成周长相等得两个四边形,确定此直线得解析式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线与y轴得交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动得速度就是它在直线GA上运动速度得2倍,试确定G点得位置,使P点按照上述要求到达A点所用得时间最短。
(要求:
简述确定G点位置得方法,但不要求证明)
【难度分级】C类
〖试题来源〗2009北京中考真题
(1)∵,,
∴、
设与轴交于点.
由可得、
又,
∴.
∴,、
同理可得.
∴。
∴点得坐标为、
(2)由
(1)可得点得坐标为.
由,
可得轴所在直线就是线段得垂直平分线、
∴点关于直线得对称点在轴上。
∴与互相垂直平分。
∴四边形为菱形,且点为其对称中心。
作直线.
设与分别交于点、点.可证.
∵,
∴直线将四边形分成周长相等得两个四边形、
由点,点在直线上,
可得直线得解析式为、
(3)确定点位置得方法:
过点作于点。
则与轴得交点为所求得点。
可得,
在中,.
∴点得坐标为.(或点得位置为线段得中点)
四、巩固练习
基础训练题(A类)
1、如图,AC、BD为正方形ABCD对角线,相交于点O,点E为BC边得中点,正方形边长为2cm,在BD上找点P,使EP+CP之与最小,且最小值为________。
【答案】
2、
(1)如图22,等腰直角三角形ABC得直角边长为2,E就是斜边AB得中点,P就是AC边上得一动点,则PB+PE得最小值为 ;
(2)几何拓展:
如图23, △ABC中,AB=2,∠BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN得值最小, 这个最小值为 ;
1、 2、
3、如图所示,正方形得面积为12,就是等边三角形,点在正方形内,在对角线上有一点,使得值最小,则这个最小值为( )
A.B.
C。
3D、
【答案】A
4、已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上得高为( )
A、 B、
C、D、3
【答案】C
提高训练(B类)
1、如图,在直角坐标系中,点A得坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°
得到线段OB。
(1)求点B得坐标;
(2)求经过A、O、B三点得抛物线得解析式;
(3)在
(2)中抛物线得对称轴上就是否存在点C,使△BOC得周长最小?
若存在,求出点C得坐标;
若不存在,请说明理由。
(注意:
本题中得结果均保留根号)
【解析】:
(1)过点B作BD⊥轴于点D,由已知可得:
OB=OA=2,∠BOD=60。
、在Rt△OBD中,∠ODB=90。
∠OBD=30、、
∴OD=1,DB=
∴点B得坐标就是(1,)。
(2)设所求抛物线得解析式为,由已知可得:
解得:
∴所求抛物线解析式为
(3)存在.
由配方后得:
∴抛物线得对称轴为=-1.
(也写用顶点坐标公式求出)
∵OB=2,要使△BOC得周长最小,必须BC+CO最小。
∵点O与点A关于直线=-1对称,有CO=CA。
△BOC得周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA。
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴得交点时,BC+CA最小,此时△BOC得周长最小。
设直线AB得解析式为
∴直线AB得解析式为
当=-1时,
∴所求点C得坐标为(-1,).
2、如图,抛物线得顶点P得坐标为,交x轴于A、B两点,交y轴于点.
(1)求抛物线得表达式、
(2)把△ABC绕AB得中点E旋转180°
得到四边形ADBC.
判断四边形ADBC得形状,并说明理由。
(3)试问在线段AC上就是否存在一点F,使得△FBD得周长最小,
若存在,请写出点F得坐标;
【解析】
(1)由题意知
解得,
∴抛物线得解析式为
(2)设点A(,0),B(,0),则,
解得
∴∣OA∣=1,∣OB∣=3。
又∵tan∠OCB=
∴∠OCB=60°
同理可求∠OCA=30°
∴∠ACB=90°
由旋转性质可知AC=BD,BC=AD
∴四边形ADBC就是平行四边形
又∵∠ACB=90°
.∴四边形ADBC就是矩形
(3)延长BC至N,使。
假设存在一点F,使△FBD得周长最小。
即最小、
∵DB固定长、∴只要FD+FB最小.又∵CA⊥BN
∴FD+FB=FD+FN.
∴当N、F、D在一条直线上时,FD+FB最小.
又∵C为BN得中点,∴(即F为AC得中点)、
又∵A(-1,0),C(0,-)∴ 点F得坐标为F(,)
∴ 存在这样得点F(,),使得△FBD得周长最小.
综合迁移(C类)
1、如图,已知点A(—4,8)与点B(2,n)在抛物线上.
(1) 求a得值及点B关于x轴对称点P得坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q得坐标;
(2)平移抛物线,记平移后点A得对应点为A′,点B得对应点为B′,点C(—2,0)与点D(—4,0)就是x轴上得两个定点。
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线得函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,就是否存在某个位置,使四边形A′B′CD得周长最短?
若存在,求出此时抛物线得函数解析式;
(1)将点A(—4,8)得坐标代入,解得。
将点B(2,n)得坐标代入,求得点B得坐标为(2,2),
则点B关于x轴对称点P得坐标为(2,-2).
直线AP得解析式就是、
令y=0,得.即所求点Q得坐标就是(,0)。
(2)①设将抛物线向左平移m个单位,则平移后A′,B′得坐标分别为A′(—4—m,8)与B′(2—m,2),点A′关于x轴对称点得坐标为A′′(-4-m,—8).
直线A′′B′得解析式为.
要使A′C+CB′最短,点C应在直线A′′B′上,
将点C(-2,0)代入直线A′′B′得解析式,解得、
故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短,此时抛物线得函数解析式为。
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ
②左右平移抛物线,因为线段A′B′与CD得长就是定值,所以要使四边形A′B′CD得周长最短,只要使A′D+CB′最短;
第一种情况:
如果将抛物线向右平移,显然有A′D+CB′>AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形A′B′CD得周长最短.
第二种情况:
设抛物线向左平移了b个单位,则点A′与点B′得坐标分别为A′(-4—b,8)与B′(2-b,2)。
因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B′′(—b,2),
要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短。
ﻩ
点A′关于x轴对称点得坐标为A′′(—4-b,—8),
直线A′′B′′得解析式为.要使A′D+DB′′最短,点D应在直线A′′B′′上,将点D(-4,0)代入直线A′′B′′得解析式,解得.
故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形A′B′CD得周长最短,此时抛物线得函数解析式为.
2、定义一种变换:
平移抛物线得到抛物线,使经过得顶点.设得对称轴分别交于点,点就是点关于直线得对称点.
(1)如图30,若:
经过变换后,得到:
点得坐标为,则①得值等于______________;
②四边形为( )
A。
平行四边形B。
矩形C.菱形D.正方形
(2)如图31,若:
经过变换后,点得坐标为,求得面积;
(3)如图32,若:
经过变换后,,点就是直线上得动点,求点到点得距离与到直线得距离之与得最小值、
(1)-2;
D;
(2)∵:
y=a(x—2)2+c-1,而(0,c)在上,可得a=.
∴DB=(4a+c)-(c-1)=2, ∴=2.
(3)当点在点得右侧时(如图33),
设AC与BD交于点N,抛物线,配方得,
其顶点坐标就是(1,2), ∵AC=2,∴点C得坐标为.
∵过点,
∴解析式为,∴B(,
∴ D(,
∴,∵点与点关于直线对称,
∴,且
∴四边形ABCD就是菱形.∴PD=PB.
作交于点,则PD+PH=PB+PH、
要使PD+PH最小,即要使PB+PH最小,
此最小值就是点B到AD得距离,即△ABD边AD上得高.
∵=1,=,,∴=,
故就是等边三角形、
∴∴最小值为.
当点在点得左侧时(如图34),同理,最小值为.
综上,点到点得距离与到直线得距离之与
得最小值为、
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