导数练习及标准答案.docx
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导数练习及标准答案
导数练习及答案
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例1.利用导数的定义,求出函数y=x+的导数,并据此求函数在x=1处的导数.
例2.求等边双曲线在点处的切线斜率,并写出切线方程.
例3.设f(x)是定义在R上的函数,且对任何x1,x2R都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).若f(0)0,.
(1)求f(0)的值;
(2)证明:
对任何xR,都有.
例4.求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
(4).
例5.求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);(4).
例6.若函数在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,)上为增函数,试求实数a的取值范围.
例7.已知函数.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?
若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
例8.求下列函数的极值:
(1);
(2).
例9.已知函数,且知当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值.
例10.设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的三倍,问:
如何设计使总造价最小?
1.解析:
利用导数的定义,结合求函数的导数的方法步骤进行计算.
,
从而.
总结:
求函数y=f(x)的导数可分如下三步:
(1)求函数的增量;
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值;
(3)求极限,得函数.
2. 解:
函数f(x)图象上点P处的切线方程的求解步骤:
先求出函数在点处的导数(即过点P的切线的斜率),再用点斜式写出切线方程.
,
切线的斜率,
切线方程为y-2=-4(x-),即4x+y-4=0.
注:
求导数也可以直接用公式,这里只是说明公式的推导过
3.解析:
本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法,以及函数极限的运算.
(1)对任意都成立,
令,得f(0)=f2(0).
.
(2),
对任何xR,都有.
4. 解析:
这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数,求导时,可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导.
(1)
(2)解法一:
解法二:
.
(3)
.
(4),
5. 解析:
应用指数、对数函数的求导公式,结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则进行求导.
(1)
(2)设,
则.
(3)
(4)方法一:
方法二:
6.解析:
本题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数单调性的方法,以及综合运用数学知识解决问题的能力.解答本题时应先求出函数f(x)的单调区间,在求单调区间时,应对字母a进行讨论,把不符合题意的情况舍去.
解:
函数f(x)的导数,令,解得x=1或x=a-1.当a-11即a2时,函数f(x)在区间(1,)上为增函数,不符合题意;当a-1>1时即a>2时,函数f(x)在区间上为增函数,在区间(1,a-1]上为减函数,在(a-1,)上为增函数.依题意应有:
当(1,4)时,;当(6,)时,.
所以,解得,即a的取值范围是[5,7].
7.解析:
本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
(1)由已知,f(x)在上是单调递增函数,
在上恒成立,即对恒成立.
只需,又a=0时,,
f(x)=在R上是增函数,.
(2)由在(-1,1)上恒成立.得,
(-1,1)恒成立.只需.
当a=3时,,在(-1,1)上,,
即f(x)在(-1,1)上为减函数,.
故存在实数,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
8. 解析:
先求导数,再求方程=0的根,根据=0的根的左、右的值的符号求极值.
(1)令,解得.
当x变化时,与y的变化情况如下表:
x
-3
(-3,1)
1
+
0
-
0
+
y
极大值57
极小值-7
当x=-3时,y有极大值57; 当x=1时,y有极小值-7.
(2)令, 解得.
当x变化时,与y的变化情况如下表:
x
0
(0,3)
3
(3,5)
5
(5,)
+
0
+
0
-
0
+
y
无极值
极大值108
极小值0
x=0不是y的极值点; x=3时,y有极大值108; x=5时,y有极小值0.
9. 解析:
由于是关于x的一元二次方程,所以要重视韦达定理的重要作用.
.
时函数取得极大值,x=3时函数取得极小值,
-1,3是方程的根,即为方程的二根.
由一元二次方程根与系数的关系有
,解得,
.
x=-1时取得极大值7,解得c=2.
函数f(x)的极小值为,
.
10.解析:
桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定,由于二者单位面积的价格不同,在保持铁桶容积不边的前提下,应当合理使用两种材料,才能保证总造价最小.
设圆柱体高为h,底面半径为r,又设单位面积铁的造价为m,桶的总造价为y,
则.由,得,
所以, 所以.令,得
此时. 当时,y有最小值,即时,总造价最小.
答:
当时,总造价最小.
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