春季学期新版新人教版八年级数学下学期182特殊的平行四边形教案11Word文件下载.docx
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直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
五、例习题分析
例1已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°
,AB=4cm,求矩形对角线的长.
分析:
因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这个特性和已知,可得△OAB是等边三角形,因此对角线的长度可求.
解:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AC与BD相等且互相平分.
∴ OA=OB.
又∠AOB=60°
,
∴△OAB是等边三角形.
∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×
4=8(cm).
例2(补充)已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法.
略解:
设AD=xcm,则对角线长(x+4)cm,在Rt△ABD中,由勾股定理:
,解得x=6.则AD=6cm.
(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式:
AE×
DB=AD×
AB,解得AE=4.8cm.
例3(补充)已知:
如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:
CE=EF.
分析:
CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若AF=BE,则问题解决,而证明AF=BE,只要证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°
,且AD∥BC.∴∠1=∠2.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°
.
∴∠B=∠AFD.又AD=AE,
∴△ABE≌△DFA(AAS).
∴AF=BE.
∴EF=EC.
此题还可以连接DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF=EC.
六、随堂练习
1.(填空)
(1)矩形的定义中有两个条件:
一是,二是.
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°
,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、.
(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°
,则矩形的边长分别为cm,cm,cm,cm.
2.(选择)
(1)下列说法错误的是().
(A)矩形的对角线互相平分(B)矩形的对角线相等
(C)有一个角是直角的四边形是矩形(D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().
(A)2对(B)4对(C)6对(D)8对
3.已知:
如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°
,求∠AEO的度数.
七、课后练习
1.(选择)矩形的两条对角线的夹角为60°
,对角线长为15cm,较短边的长为().
(A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm
2.在直角三角形ABC中,∠C=90°
,AB=2AC,求∠A、∠B的度数.
矩形ABCD中,BC=2AB,E是BC的中点,求证:
EA⊥ED.
4.如图,矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=AE,求证:
∠CBE的度数.
18.2.1矩形
(二)
22时间:
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力
矩形的判定.
矩形的判定及性质的综合应用.
本节课的三个例题都是补充题,例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件,老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目;
例2是利用矩形知识进行计算;
例3是一道矩形的判定题,三个题目从不同的角度出发,来综合应用矩形定义及判定等知识的.
四、课堂引入
1.什么叫做平行四边形?
什么叫做矩形?
2.矩形有哪些性质?
3.矩形与平行四边形有什么共同之处?
有什么不同之处?
4.事例引入:
小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗?
看看谁的方法可行?
通过讨论得到矩形的判定方法.
矩形判定方法1:
对角钱相等的平行四边形是矩形.
矩形判定方法2:
有三个角是直角的四边形是矩形.
(指出:
判定一个四边形是矩形,知道三个角是直角,条件就够了.因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直角.)
例1(补充)下列各句判定矩形的说法是否正确?
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;
(×
)
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;
(√)
(3)四个角都相等的四边形是矩形;
(4)对角线相等的四边形是矩形;
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;
(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;
(√)
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.(√)
指出:
(l)所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形;
(2)所给四边形添加的条件是三个独立条件,但若与判定方法不同,则需要利用定义和判定方法证明或举反例,才能下结论.
例2(补充)已知
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积.
首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=
AC,BO=
BD.
∵ AO=BO,
∴ AC=BD.
∴
ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
在Rt△ABC中,
∵ AB=4cm,AC=2AO=8cm,
∴BC=
(cm).
例3(补充)
已知:
如图
(1),
ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:
四边形EFGH是矩形.
要证四边形EFGH是矩形,由于此题目可分解出基本图形,如图
(2),因此,可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴ ∠DAB+∠ABC=180°
.
又AE平分∠DAB,BG平分∠ABC,
∴ ∠EAB+∠ABG=
×
180°
=90°
∴ ∠AFB=90°
同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=90°
∴四边形EFGH是平行四边形(有三个角是直角的四边形是矩形).
1.(选择)下列说法正确的是().
(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
(C)对角线互相平分的四边形是矩形(D)对角互补的平行四边形是矩形
2.已知:
如图
,在△ABC中,∠C=90°
,
CD为中线,延长CD到点E,使得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形.
1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
⑵摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是:
;
⑶将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:
2.在Rt△ABC中,∠C=90°
18.2.2菱形
(一)
23时间:
1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;
会用这些性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积.
3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.
4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想.
1.教学重点:
菱形的性质1、2.
2.教学难点:
菱形的性质及菱形知识的综合应用.
本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,是为了巩固菱形的性质;
例2是教材P108中的例2,这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题.此题目,除用以巩固菱形性质外,还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积,以促进学生熟练、灵活地运用知识.
1.(复习)什么叫做平行四边形?
什么叫矩形?
平行四边形和矩形之间的关系是什么?
2.(引入)我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:
(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【强调】 菱形
(1)是平行四边形;
(2)一组邻边相等.
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.
例1
(补充)已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:
∠AFD=∠CBE.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CB=CD,CA平分∠BCD.
∴ ∠BCE=∠DCE.又CE=CE,
∴△BCE≌△COB(SAS).
∴ ∠CBE=∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE.
例2(教材P108例2)略
1.若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为.
2.已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积.
3.已知菱形ABCD的周长为20cm,且相邻两内角之比是1∶2,求菱形的对角线的长和面积.
4.已知:
如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:
∠AEF=∠AFE.
1.菱形ABCD中,∠D∶∠A=3∶1,菱形的周长为8cm,求菱形的高.
2.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm,求
(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
18.2.2菱形
(二)
24时间:
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;
会用这些判定方法进行有关的论证和计算;
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
菱形的两个判定方法.
2.教学难点:
判定方法的证明方法及运用.
本节课安排了两个例题,其中例1是教材P109的例3,例2是一道补充的题目,这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用,主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法,并会用这些判定方法进行有关的论证和计算.这些题目的推理都比较简单,学生掌握起来不会有什么困难,可以让学生自己去完成.程度好一些的班级,可以选讲例3.
1.复习
(1)菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形;
(2)菱形的性质1菱形的四条边都相等;
性质2菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?
(判定:
2个条件)
2.【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?
3.【探究】
(教材P109的探究)用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
通过演示,容易得到:
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;
(2)两条对角线互相垂直.
通过教材P109下面菱形的作图,可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法:
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形.
例1(教材P109的例3)略
例2(补充)已知:
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
∴ AE∥FC.
∴ ∠1=∠2.
又 ∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴ △AOE≌△COF.
∴ EO=FO.
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
又 EF⊥AC,
AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
※例3(选讲)已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°
,BE平分∠ABC,CD⊥AB与D,EH⊥AB于H,CD交BE于F.
四边形CEHF为菱形.
略证:
易证CF∥EH,CE=EH,在Rt△BCE中,∠CBE+∠CEB=90°
,在Rt△BDF中,∠DBF+∠DFB=90°
,因为∠CBE=∠DBF,∠CFE=∠DFB,所以∠CEB=∠CFE,所以CE=CF.
所以,CF=CE=EH,CF∥EH,所以四边形CEHF为菱形.
1.填空:
(1)对角线互相平分的四边形是;
(2)对角线互相垂直平分的四边形是________;
(3)对角线相等且互相平分的四边形是________;
(4)两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形.
2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为6cm、8cm.
3.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:
四边形OCED是菱形。
1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是().
(A)两条对角线相等(B)两条对角线互相垂直
(C)两条对角线相等且互相垂直(D)两条对角线互相垂直平分
如图,M是等腰三角形ABC底边BC上的中点,DM⊥AB,EF⊥AB,ME⊥AC,DG⊥AC.求证:
四边形MEND是菱形.
3.做一做:
设计一个由菱形组成的花边图案.花边的长为15cm,宽为4cm,由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成,前一个菱形对角线的交点,是后一个菱形的一个顶点.画出花边图形.
18.2.3正方形
25时间:
一、教学目的
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
本节课安排了三个例题,例1是教材P111的例4,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:
①对角线相等的菱形是正方形吗?
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?
如果不是,应该加上什么条件?
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?
1.做一做:
用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.问题:
什么样的四边形是正方形?
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
指出:
正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意:
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)
2.【问题】正方形有什么性质?
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
例1(教材P111的例4)求证:
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,
AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2(补充)已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
OE=OF.
要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°
,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOE=∠DOF=90°
,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).
又DG⊥AE,∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO.
∴OE=OF.
例3(补充)已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
四边形PQMN是正方形.
由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.
∵ PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°
∵ PQ∥NM,
∴ 四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°
,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴ ∠1+∠2=90°
又 ∠3+∠2=90°
,∴ ∠1=∠3.
∴△ABM≌△DAN.
∴AM=DN.同理AN=DP.
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN.
∴ 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
1.正方形的四条边______,四个角_______,两条对角线________.
2.下列说法是否正确,并说明理由.
①对角线相等的菱形是正方形;
()
②对角线互相垂直的矩形是正方形;
③对角线垂直且相等的四边形是正方形;
④四条边都相等的四边形是正方形;
⑤四个角相等的四边形是正方形.()
1.已知:
如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别
为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.
∠AFE=∠AEF.
4.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,
求∠EAD与∠ECD的度数.
1.已知:
如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.
EA⊥AF.
如图,△ABC中,∠C=90°
,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形CFDE是正方形.
如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交CD于F,求证:
AE=BE+DF.
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