直角三角形斜边中线定理的逆命题Word下载.docx
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举一个反例。
设直角三角形三边长分别为AB=3,BC=4,AC=5。
斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=〔3*4〕/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D,使BD=2.5,但BD并不是AC边的中线,因为AC边的中点在线段EC上。
逆命题3:
假设直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线等于该点分斜边所得两条线段中任意一条时,该点为斜边中点。
几何描述:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,D是斜边AB上一点。
假设CD=AD或CD=BD,那么D是AB中点。
逆命题3成立,CD=AD那么∠A=∠ACD,而∠A+∠B=90°
,∠ACD+∠BCD=90°
,因此∠BCD=∠B。
等角对等边,有CD=DB,所以AD=BD,即D是斜边中点。
证明:
逆定理1
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形,且该边是斜边。
几何语言:
在△ABC中,AD是中线,且BC=2AD,那么∠BAC=90°
。
证法1
延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE
∵BD=CD,AE=2AD=BC
∴四边形ABEC是矩形〔∵对角线互相平分且相等〕
∴∠BAC=90°
证法2
∵AD=BD=CD
∴A,B,C在以D为圆心,BD为半径的圆上
那么BC是直径,根据圆周角定理的推论,直径所对的圆周角是直角。
证法3
过D作DE⊥AB,垂足为E。
∵AD=BC/2=BD
∴E是AB中点〔三线合一〕
∴DE∥AC〔三角形中位线定理〕
∴AC⊥AB,即∠BAC=90°
证法4
向量证明
设向量AD=d,向量AB=c,向量AC=b,向量BC=a
∵AD是中线
∴b+c=2d
两边平方,去括号得
|b|²
+2b·
c+|c|²
=4|d|²
又∵|a|=2|d|
∴|a|²
=|b|²
~~~①
而a=b-c
|a|²
-2b·
~~~②
联立①和②解得b·
c=0
∴b⊥c,即∠BAC=90°
证法5
解析几何证明
以D为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系。
设B〔-d,0〕,C〔d,0〕,A〔a,b〕,其中d>
0且b≠0
∵|AD|=|CD|
∴d=根号a²
+b²
,既d²
=a²
kAB=b/〔a+d〕,kAC=b/〔a-d〕
kAB·
kAC=b²
/〔a²
-d²
〕=b²
/〔-b²
〕=-1
∴AB⊥AC,即∠BAC=90°
注意a≠d,假设a=d那么表示A和C的横坐标一样,即AC⊥x轴,这样就有了Rt∠ACB。
而直角边BC边上的中线AD是不可能等于直角边BC的一半的。
∴a≠d,AC斜率存在。
逆定理2
如果直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线与该点分斜边所得两条线段中任意一条相等,那么该点为斜边中点。
,D在AB上,且AD=CD〔或BD=CD〕,那么AD=BD。
下面只证明当AD=CD时的情况,BD=CD只需要改字母即可。
∵AD=CD
∴∠A=∠ACD〔等边对等角〕
∵∠A+∠B=90°
〔直角三角形两锐角互余〕,∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠B=∠BCD〔等角的余角相等〕
∴BD=CD〔等角对等边〕
∴AD=BD〔等量代换〕
作DE⊥AC,垂足为E
∴E是AC中点〔三线合一〕
∵BC⊥AC
∴DE∥BC
∴D是AB中点〔三角形中位线定理逆定理,或平行线等分线段定理的推论〕
延长CD到E,使DE=CD,连接AE
那么AD=CD=CE/2
由逆定理1可知∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴AE∥BC
∴∠AED=∠BCD
∵∠ADE=∠BDC,DE=CD
∴△ADE≌△BDC〔ASA〕
∴AD=BD
解析几何证明:
以C为原点,CB、CA为坐标轴建系,设B〔b,0〕、A〔0,a〕
又设AD/DB=t,t>
0,由定比分点坐标公式得
∵|CD|=|AD|
由两点间距离公式,有
整理得
∴1=t²
,t=1
即AD=DB
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