构造函数--之专题训练.docx
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“构造函数”之专题训练
一、选择题
1.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0,且2f(x)<xf′(x)<3f(x)对x∈(0,+∞)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导函数,则( )
A.116<f
(1)f
(2)<18 B.18<f
(1)f
(2)<14 C.14<f
(1)f
(2)<13 D.13<f
(1)f
(2)<12
2.已知函数f(x)满足:
f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是( )
A.f
(1)>f(0)e B.f
(2)<f(0)e
C.f
(1)>ef
(2) D.f(0)>e2f(4)
3.若函数f(x)满足f′(x)-f(x)=2xex,f(0)=1,其中f′(x)为f(x)的导函数,则当x>0时,f'(x)f(x)的最大值为( )
A.2 B.2 C.22 D.4
4.己知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)=f(4-x),且当x≠2时,其导函数f′(x)满足f′(x)>12xf′(x),若a∈(2,3),则( )
A.f(log2a)<f(2a)<f
(2) B.f(2a)<f
(2)<f(log2a)
C.f(2a)<f(log2a)<f
(2) D.f
(2)<f(log2a)<f(2a)
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,f
(2)=0,当x>0时,有xf'(x)-f(x)x2<0恒成立,则f(x)x>0的解集为( )
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)
6.已知奇函数f(x)的定义域为R,其导函数为f′(x),当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,且f(-1)=0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,1)∪(0,1)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,0)
7.已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f
(1)=0,当x>0时,xf′(x)<2f(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
8.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,f′(x)+f(x)x>0,若a=13f(13),b=-3f(-3),c=(ln13)f(ln13),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b
9.已知函数f(x)(x∈R)满足f
(1)=1,且f′(x)<1,则不等式f(1g2x)<1g2x的解集为( )
A.(0,110) B.(10,+∞) C.(110,10) D.(0,110)∪(10,+∞)
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)<e,f(0)=e+2(其中e为自然对数的底数),则不等式exf(x)>ex+1+2的解集为( )
A.(-∞,0) B.(-∞,e+2)
C.(-∞,0)∪(e+2,+∞) D.(0,+∞)
11.设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有xf′(x)<f(x)成立,则( )
A.3f
(2)>2f(3) B.3f
(2)=2f(3)
C.3f
(2)<2f(3) D.3f
(2)与2f(3)的大小不确定.
12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数,都有f(x)>f′(x),其中e为自然对数的底数,则( )
A.ef(2015)>f(2016)B.ef(2015)<f(2016)
C.ef(2015)=f(2016)D.ef(2015)与f(2016)大小关系不确定
13.设函数f′(x)的偶函数f(x)(x∈R且x≠0)的导函数,f
(2)=0且当x>0时,xf′(x)-f(x)>0,则使f(x)<0成立的x的取值范围为( )
A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
14.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f
(2)<2f
(1) B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≥2f
(1) D.f(0)+f
(2)>2f
(1)
15.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2015,对任意的x∈R.都有f′(x)<3x2成立,则不等式f(x)<x3+2016的解集为( )
A.(-1,+∞) B.(-1,0) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
16.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象过点(1,0),f′(x)为函数f(x)的导函数,e为自然对数的底数,若x>0,xf′(x)>1下恒成立,则不等式f(x)≤lnx的解集为( )
A.(0,1e] B.(0,1] C.(0,e] D.(1,e]
17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>-2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1-x)的解集是( )
A.(12,+∞) B.(-∞,12) C.(-∞,0)∪(0,12) D.(0,12)
18.已知函数y=f(x)定义在实数集R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时xf′(x)<-f(x)成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=3f(3),b=f
(1),c=-2f(log214),则a,b,c的大小关系是( )
A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b
19.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则( )
A.8<f
(2)f
(1)<16 B.4<f
(2)f
(1)<8 C.3<f
(2)f
(1)<4 D.2<f
(2)f
(1)<3
20.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f′(x)>f(x),则下列结论正确的是( )
A.f
(1)>ef(0) B.f
(1)<ef(0)
C.f
(1)>f(0) D.f
(1)<f(0)
21.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=-1,且当x>0时,有xf′(x)>f(x),则不等式f(x)>x的解集是( )
A.(-1,0) B.(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C
“构造函数”之专题训练
答案和解析
【答案】1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C
【解析】
1.解:
令g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),g′(x)=xf'(x)-2f(x)x3,
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,
∴f(x)>0,
0<xf'(x)-2f(x)x3,
∴g′(x)>0,
∴函数g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,
∴f
(1)1<f
(2)4,∴f
(1)f
(2)<14.
令h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),
h′(x)=xf'(x)-3f(x)x4,
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,
∴h′(x)=xf'(x)-3f(x)x4<0,
∴函数h(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,
∴f
(1)1>f
(2)8,∴18<f
(1)f
(2).
综上可得:
18<f
(1)f
(2)<14,
故选:
B.
分别构造函数g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),利用导数研究其单调性即可得出.
本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2.解:
∵f(x)+2f′(x)>0,
可设f(x)=e12x,
∴f
(1)=e,f(0)=e0=1,
∴f
(1)>f(0)e,
故选:
A.
根据题意可设f(x)=e12x,然后代入计算判断即可.
本题主要考查了初等函数的导数运算公式,关键是构造函数,属于基础题.
3.解:
由题意,(f(x)ex)′=2x,
∴f(x)ex=x2+b,
∴f(x)=(x2+b)ex,
∵f(0)=1,∴b=1,
∴f(x)=(x2+1)ex,
f′(x)=(x+1)2ex,
∴当x>0时,f'(x)f(x)=1+2xx2+1≤2,当且仅当x=1时取等号,
∴当x>0时,f'(x)f(x)的最大值为2.
故选:
B.
利用函数f(x)满足f′(x)-f(x)=2xex,f(0)=1,求出f(x),再代入利用基本不等式即可得出结论.
本题考查导数知识的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,确定f(x)是关键.
4.解:
∵定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)=f(4-x),
∴函数f(x)关于x=2对称,
由f′(x)>12xf′(x),
得(x-2)f′(x)<0,
则x>2时,f′(x)<0,此时函数单调递减,
当x<2时,f′(x)>0,此时函数单调递增.
∴当x=2时,f(x)取得极大值,同时也是最大值.
若a∈(2,3),
则4<2a<8,1<log2a<2,
∴2<4-log2a<3,
∴2<4-log2a<2a,
即f
(2)>f(4-log2a)>f(2a),
即f(2a)<f(log2a)<f
(2),
故选:
C
根据条件得到函数关于x=2对称,由f′(x)>12xf′(x),得到函数的单调性,利用函数的单调性和对称轴即可得到结论.
本题主要考查函数单调性和对称性的应用,利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键,综合考查函数性质的应用.
5.解:
设g(x)=f(x)x,f(x)是R上的奇函数,∴g(x)为偶函数;
x>0时,g'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0;
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,g
(2)=0;
∴由g(x)>0得,g(x)>g
(2);
∴g(|x|)>g
(2);
∴|x|<2,且x≠0;
∴-2<x<0,或0<x<2;
∴f(x)x>0的解集为(-2,0)∪(0,2).
故选:
B.
可设g(x)=f(x)x,根据条件可以判断g(x)为偶函数,并可得到x>0时,g′(x)<0,从而得出g(x)在(0,+∞)上单调递减,并且g
(2)=0,从而由g(x)>g
(2)便可得到|x|<2,且
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- 构造 函数 专题 训练