小升初数学专项训练+典型例题分析工程篇教师版 12页.docx
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小升初数学专项训练+典型例题分析工程篇教师版12页
小升初专项训练工程篇
一、小升初考试热点及命题方向
罗巴切夫斯基是俄国数学家.曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题:
某项工程,若甲、乙单独去做,甲比乙多用4天完成;若甲先做2天后,再和乙一起做,则共用7天可完成,问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成?
答案:
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半,以题意,甲、乙两人单独完成,甲比乙多用4天,所以每人单独完成一半时,甲比乙多用2天.
另外,已知甲先做2天,然后与乙合作,7天完成,这就是说,甲、乙共同完成全部工作时(每人做一半),相差刚好2天,那么很明显,甲在7天中正好完成了工程的一半,而乙在5天中也完成了工程的一半.
这样,甲单独完成要14天,乙单独完成要10天.
工程问题在历届考试中之所以难,是因为工程问题中比例和单位“1”综合.还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力.
二、2013年考点预测
13年的这一题型必然将继续出现,题型的出题热点在利用通项表达式(即字母表示)总结出已知条件中等式的内在规律和联系,这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力,希望同学们多加练习.
三、知识要点
在工程问题中,一般要出现三个量:
工作总量、工作时间(完成工作总量所需的时间)和工作效率(单位时间内完成的工作量).
深刻理解公式的用法!
【基本公式】:
这三个量之间有下述一些关系式:
工作效率×工作时间=工作总量;
工作总量÷工作时间=工作效率;
工作总量÷工作效率=工作时间.
为叙述方便,把这三个量简称工量、工时和工效.
【规律总结】:
不要求记忆,但要求能够理解和运用.
(1)工效提高了a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的100/(100+a).时间缩短了a/(100+a).
(2)工效降低了a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的100/(100-a).时间延长了a/(100-a).
(3)工效提高了a/b,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的a/(a+b).时间缩短了b/(a+b).
(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的b/(b-a).时间延长了a/(b-a).
(5)当出现甲工作了一段时间a,乙工作了一段时间b,则通常是把条件处理为甲乙和干了a(或b时间)后甲单干(a-b)(或乙单干(b-a)段时间)
四、典型例题解析
1涉及二者的工程问题
【例1】(★★)一项工程,甲单独做6天完成,乙单独做12天完成.现两人合作,途中乙因病休息了几天,这样用了4、5天才完成任务.乙因病休息了几天?
【解】:
方法一:
4、5天甲完成了4、5÷6=3/4,乙完成了1/4,需要(1/4)÷(1/12)=3天,所以乙休息了4、5-3=1、5天.
方法二:
假设乙没休息,这样两人4、5天总共完成4、5×()=,而总工作量只有1,所以多出来的就是乙休息时间里做的,所以乙休息了÷=1、5天.
【答】:
乙休息了1、5天.
【例2】(★★)有240个零件,平均分给甲、乙两个车间加工.乙车间有紧急任务,因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件,而且比甲车间晚40分钟才完成任务.已知乙车间的效率是甲车间的3倍,那么甲车间每小时能加工多少个零件?
【解】:
40分钟=小时,乙车间一共比甲车间少用了小时,乙车间的效率是甲车间的3倍,乙比甲少工作4-=3小时,但都完成了120个零件.如果乙和甲的时间是一样的话,那么乙就会多完成240个零件,也就是说乙在3小时内可做240个零件,所以乙每小时完成的零件个数为240÷3=72个,甲每小时完成72÷3=24个零件.
【答】:
甲每小时能加工24个零件.
2涉及三者的工程问题
【例3】(★★★)一项工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做30天完成.现在甲、乙两队先合做8天,剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程.如果从开始就由丙队单独做,需要几天?
【解】:
方法一:
设工作总量为[24,30]=120单位,则甲队每天完成240÷24=5单位,乙队每天完成240÷30=4单位.前8天,甲、乙两队共完成(5+4)×8=72单位,则丙6天完成120-72=48单位,丙每天完成48÷6=8单位.那么,如果从开始就让丙队单独做,需要120÷8=15天.
方法二:
甲工作效率为1/24,乙的工作效率为1/30,这样甲乙合作8天完成的工作量为(1/24+1/30)×8=9/15,所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天,所以丙的工作效率为6/15÷6=1/15,所以丙要做15天.
【答】:
如果从开始让丙队独做,需要15天.
【例4】(★★★)某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成.甲工程队工作3天后离开,同时乙、丙两个工程队加入,又工作了3天后,乙工程队离开,此时刚好完成工程的一半,那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成,还需要几天?
【解】:
可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天,干完了工程的一半.因为甲乙合作需要12天完成,所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的.可以算出丙队3天完成的工作量是.则剩下的一半工程,丙队需要独做6天才能完成.
【答】:
还需要6天.
【例5】(★★★)马师傅和张师傅合伙加工一批零件,原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件,共用了15天完成.张师傅为了赶上马师傅的效率,叫了一个徒弟从一开始就来帮忙,结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件,这样用了12天就完成了,那么马师傅每天加工多少个零件?
【解】:
由题意知徒弟每天加工零件8+4=12个.设工作总量为[12,15]=60份,这样原来张、马二人的工效之和为60÷15=4份,现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷12=5份,相差1份,表明1份为12个零件.
原来两位师傅每天一共加工零件12×4=48个,马师傅又比张师傅每天多8个,则他每天加工(48+8)÷2=28个.
【答】:
马师傅每天加工28个零件.
【例6】(★★★)有甲、乙、丙三组工人,甲组4人的工作,乙组需要5人来完成;乙组的3人工作,丙组需要8人来完成.一项工作,需要甲组13人来完成,乙组15人3天来完成.如果让丙组10人去做,需要多少天来完成?
【解】:
设甲组每人每天的工作量为1,则乙组每人每天的工作量为4/5,丙组每人每天的工作量为:
4/5×3/8=3/10.
这项工作的总工作量为:
(1×13+4/5×15)×3=75
丙组10人需要干:
75÷3/10÷10=25(天).
3涉及多者的工程问题
【例7】(★★)一项工程,45人可以若干天完成.现在45人工作6天后,调走9人干其他工作.这样,完成这项工程就比原来计划多用了4天.原计划完成这项工程用多少天?
【解】:
前6天的工作可看作是按原计划进行,设原计划还需要天完成.剩余的工作按照45人进行和实际的人进行相差4天,表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人天的工作量.则为36×4÷9=16天.原计划用16+4=20天.
【答】:
原计划用20天完成.
【例8】(★★★)A、B、C、D、E五个人干一项工作,若A、B、C、D四人一起干需要6天完成;若四人干,需要8天完工;若A、E两人一起干,需要12天完工.那么,若E一人单独干需要几天完工?
【解】:
可设工作总量为[6,8,12]=24单位,则A、B、C、D四人每天完成4单位,B、C、D、E四人完成3单位,表明A每天比E多做1单位;由题意又可知A、E两人一天完成2单位,则A每天完成(2+1)÷2=1、5单位,E每天完成(2-1)÷2=0、5单位.那么,如果由E一人单独做需要24÷0、5=48天.
【答】:
如果由E一人单独做需要48天.
【例9】(★★★★)某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成;如果由第一、三、五小队合干需要7天完成;如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成;如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成.那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程?
【思路】:
我们注意到,在题目中二、四、五每支队都恰出现两次,一、三两支小队恰出现三次,因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和.因此,再加上一个二、四、五3支小队效率和,得到的结果就应该是5个小队效率的3倍.
【解】:
通过条件,我们有以下公式:
(一+二+三+四+五)×3=(一+二+三)+(一+三+五)+(二+四+五)×2+(一+三+四).
所以,5支小队效率和为:
4水箱注水的工程问题
【例10】(★★★)水池安装A、B、C、D、E五根水管,有的专门放水,有的专门进水.如果每次用两根水管同时工作,注满一池水所用时间如下表所示:
A,B
C,D
E,A
D,E
B,C
2
6
10
3
15
如果选用一根水管注水,要尽快把空池注满,问应选用哪根水管?
答:
D.
提示:
由题中的表可以看出注水的速度的大小.比较第一列与第三列得B>E,比较第一列与第五列得A>C,比较第二列与第五列得D>B,比较第二列与第四列得E>C,比较第三列与第四列得D>A.
【例11】(★★★)有甲、乙两根水管,分别同时给两个大小相同的水池A和B注水,在相同时间内甲、乙两管注水量之比7:
5.经过时,A、B两池中已注入水之和恰好是一池水.此后,甲管的注水速度提高25%,乙管的注水速度降低30%.当甲管注满A池时,乙管还需多长时间注满B池?
【解】:
因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7:
5不变,所以经过恰好是一池水时,甲乙水管分别注入一池水的、.如果注水速度不变,那么注满一池水甲、乙管分别还需
注水速度变化后,注满一池水甲、乙水管分别还需
所以,当甲水管注满A池时,乙水管注满B池还需
5较复杂的工程问题
【例12】(★★★★)一项工程,乙单独做需要17天完成;如果第一天由甲作,第二天乙做,这样交替轮流做,那么恰好整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,这校交替轮流做,那么比上次轮流的做法要多半天才能完成.甲单独做这项工作要多少天完成?
来源:
人大附测试题
【解】:
如果两人轮流做完的天数是偶数,那么不论甲先还是乙先,两种轮流做的方式完成的天数必定相同.现在乙先比甲先要多用半天,说明甲先时,完成的天数一定是奇数.于是可表示为:
竖线左边的工作量相同,右边的工作量也相同,说明乙做一天等于甲做半天,乙做17天相当于甲做8、5天.
【例13】(★★★★)有甲乙两个工程,现分别由A、B两个施工队完成.在晴天A队完成工程需要8天,B队完成工程需要12天,在雨天,A施工队的工作效率下降60﹪,B施工队的工作效率下降20﹪.最后两个施工队同时完成这两项工程,问施工的日子里雨天有多少天?
【解】:
10天.
晴天时,A施工队比B的工作效率高:
1/8-1/12=1/24
雨天时,B施工队比A的工作效率高:
1/12(1-20﹪)-1/8(1-60﹪)=1/60
要想两队同时完成,则由1/24:
1/60=5/2可知,必须是每2个晴天有5个雨天,而此时完成工程的:
1/8×2+1/8×0、4×5=1/2,故整个工程共有4个晴天,10个雨天.
【教师选讲】:
有一个蓄水池装有9根水管,其中一根为进水管,其余8根为相同的出水管.进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水.后来有人打开出水管,使池内的水全部排光(这时池内已经注入了一些水).如果把8根进水管全部打开,需要3小时把池内的水全部排出;如果仅打开5根出水管,需要6小时把池内的水全部排光.问要想在4、5小时内把池内的水全部排出,需要同时打开几根出水管?
【解】:
这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合.
设每根出水管1小时的排水量为单位“1”.8根出水管3小时共排水24单位,5根出水管6小时
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