新人教A版数学必修4导学案解析版第二章平面向量章末复习课导学案.docx
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新人教A版数学必修4导学案解析版第二章平面向量章末复习课导学案
第二章平面向量
1.向量的运算:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2).
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向量的线性运算
加法
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法
a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λa=(λx1,λy1)
向量的数量积运算
a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a=0,数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积
a·b=x1x2+y1y2
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
②基底:
把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
3.向量的平行与垂直
a,b为非零向量,
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a∥b
有唯一实数λ使得b=λa(a≠0)
x1y2-x2y1=0
a⊥b
a·b=0
x1x2+y1y2=0
类型一 向量的线性运算
例1 如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.
答案
解析 设=λ,
则=+=-+m+
=(m-1)+.
=+=-+.
∵与共线,∴(m-1)+=0,∴m=.
反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心,是向量线性运算的关键所在,常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
跟踪训练1 在△ABC中,E为线段AC的中点,试问在线段AC上是否存在一点D,使得=+,若存在,说明D点位置;若不存在,说明理由.
解 假设存在D点,使得=+.
=+
⇒=+(+)
=+
⇒-=⇒=
⇒=×⇒=.
所以当点D为AC的三等分点时,
=+.
类型二 向量的数量积运算
例2 已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求出此时a与b的夹角θ的大小.
解
(1)由|ka+b|=|a-kb|,
得(ka+b)2=3(a-kb)2,
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|==1,|b|==1,
∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
∴a·b==.
(2)a·b==(k+).
由函数的单调性可知,f(k)=(k+)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴当k=1时,f(k)min=f
(1)=×(1+1)=,
此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ==,
∴θ=60°.
反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题:
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a∥b⇔x1y2-x2y1=0,
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a=(x1,y1),则|a|=.
②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
cosθ==.
跟踪训练2 已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).
(1)若点A,B,C能构成三角形,求实数m应满足的条件;
(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求实数m的值.
解
(1)若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,
∵=(3,-4),=(6,-3),
=(5-m,-(3+m)),
∴=(3,1),=(-m-1,-m),
∵与不平行,
∴-3m≠-m-1,解得m≠,
∴当实数m≠时满足条件.
(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,则⊥,而=(3,1),=(2-m,1-m),
∴3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用
例3 已知在等腰△ABC中,BB′,CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值的大小.
解 建立如图所示的平面直角坐标系,设A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),
=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).
因为BB′,CC′为AC,AB边上的中线,
所以=(+)=,
同理=.
因为⊥,所以·=0,
即-+=0,化简得a2=9c2,
又因为cosA====.
即顶角A的余弦值为.
反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.
跟踪训练3 如图,半径为的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,则λ+μ等于( )
A.B.C.D.2
答案 A
解析 由题意,得∠AOC=90°,故以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则O(0,0),A(0,),C(,0),B(×cos30°,-×sin30°),
因为=λ+μ,
所以(,0)=λ(0,)+μ(×,-×),
即则
所以λ+μ=.
1.在菱形ABCD中,若AC=2,则·等于( )
A.2B.-2
C.||cosAD.与菱形的边长有关
答案 B
解析 如图,设对角线AC与BD交于点O,∴=+.
·=·(+)
=-2+0=-2.
2.设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·等于( )
A.20B.15
C.9D.6
答案 C
解析 ▱ABCD的图象如图所示,由题设知,
=+=+,=-,
∴·=·
=||2-||2+·-·
=×36-×16=9.
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( )
A.B.2C.-D.-2
答案 D
解析 ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1).
∵ma+4b与a-2b共线,
∴(2m-4)×(-1)-(3m+8)×4=0,解得m=-2.
4.若向量=(1,-3),||=||,·=0,则||=________.
答案 2
解析 由题意可知,△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,且腰长||=||=,由勾股定理得||==2.
5.平面向量a=(,-1),b=,若存在不同时为0的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t).
解 由a=(,-1),b=,
得a·b=0,|a|=2,|b|=1,
由x⊥y,得[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0,
-ka2+ta·b-k(t2-3)a·b+t(t2-3)b2=0,
即-4k+t3-3t=0,
所以k=(t3-3t),令f(t)=(t3-3t),
所以函数关系式为k=f(t)=(t3-3t).
1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式,因此向量问题的解决,理论上讲总共有两个途径,即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法,在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.
2.向量是一个有“形”的几何量,因此,在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析判断求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.
课时作业
一、选择题
1.下列命题中正确的是( )
A.-=
B.+=0
C.0·=0
D.++=
答案 D
解析 -=;,BA是一对相反向量,它们的和应该为零向量,即+=0;0·=0.
2.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·等于( )
A.5B.4C.3D.2
答案 A
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,∴=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),∴·=2×3+(-1)×1=5.
3.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x等于( )
A.2B.3C.4D.6
答案 B
解析 ∵a∥b,∴2×6-4x=0,∴x=3.
4.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b等于( )
A.(-3,6)B.(3,-6)
C.(6,-3)D.(-6,3)
答案 A
解析 设b=ka=(k,-2k),k<0,而|b|=3,则
=3,∴k=-3,b=(-3,6).
5.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于( )
A.-4B.-3C.-2D.-1
答案 B
6.在△ABC中,若2-·=·-·,则△ABC是( )
A.等边三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.钝角三角形
答案 C
解析 由已知,得·(-)-·(-)=0,
∴·-·=0,
∴·(--)=0,即-·=0,⊥,
∴BC⊥AC,∴△ABC为直角三角形.故选C.
7.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角θ的大小为( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 ∵a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,
∴a2=b2,|a|=|b|,
又∵cosθ===,θ∈[0,π],
∴θ=.
8.如图所示,在△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于点F.设=a,=b,=xa+yb,则(x,y)为( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 令=λ.
由题可知,=+=+λ
=+λ=(1-λ)+λ.
令=μ,
则=+=+μ
=+μ=μ+(1-μ).
由解得
所以=+,故选C.
二、填空题
9.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,若(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为________.
答案
解析 由题意知(3a+5b)·(ma-b)=3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0,即3m+(5m-3)×2×cos60°-5×4=0,解得m=.
10.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.
答案 7
11.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且||=3||,当=x+y时,x-y=________.
答案 -2
解析 由||=3||,得=3,
则=,
所以=+=+=+(-)
=-+.
所以x=-,y=,所以x-y=--=-2.
12.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a方向上的投影是________.
答案 1
解析 ∵|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,
∴b在a方向上的投影是|b|cos60°=1.
13.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
答案
解析 ∵⊥,
∴·=(λ+)·(-)
=-λ2+(λ-1)·+2
=-9λ+(λ-1)×3×2×(-)+4=0,
∴λ=.
三、解答题
14.若=(sinθ,-1),=(2sinθ,2cosθ),其中θ∈[0,],求||的最大值.
解 ∵=-=(sinθ,2cosθ+1)⇒||==
=,
∴当cosθ=1,即θ=0时,||取
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