高等几何复习.docx

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高等几何复习

[课外训练方案]部分

第一章、仿射坐标与仿射变换

第二章、射影平面

一、主要内容：

基本概念：

射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素

基本定理：

德萨格定理：

如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理：

如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点

对偶原理：

在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析

无穷远点：

在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为，平面内原有的点叫做有限远点.

无穷远直线：

所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？

由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.

平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.

三、典型例题：

1、求直线与直线上无穷远点的齐次坐标

解：

（1）直线即它与轴平行所以位轴上的无穷远点（0,1,0）

（2）由直线得故无穷远点为或（3，1，0）

2、求证：

两直线和的交点与两点三点共线

证明：

解方程组：

的交点

因为行列式所以三点共线

3、试证：

两共轭复点的连线是一实直线

证明：

而两点确定一条直线所以，

所以与一组实数成比例，即直线为实直线。

4、德萨格定理的逆定理：

如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。

证明：

如图三点形与的三对应边交点共线，证明对应顶点连线共点

，考虑三点形与则有对应顶点连线共点，故对应边的交点共线

O

A

B

C

L

M

N

B1

A1

C1

自测题

1、证明：

中心投影一般不保留共线三点的单比．

2、设一平面内有几条直线用分别表示与，与与间的中心投影．这一串中心投影的复合把上的点对应到上的点，这种对应关系称为射影对应．举例说明对应点之间的连线一般不共点．

3、设有两个相交平面和，如果以为中心做到的投影（不在和上），把上一已知直线投影到上直线．证明：

当变动时，已知直线的象总要通过一个定点，或与定直线平行．

4、设是平面与之间的中心投影．试讨论上两条平行直线的象在中还是否平行，不平行有什么性质？

同样在上两条平行直线在中的原象是否为平行线？

5、试证明：

中心投影不保持直线上两个线段之比．

第三章、射影变换与射影坐标

一、基本内容：

交比与调和比；一维射影变换；一维射影坐标；

二维射影变换于二维射影坐标

二、主要公式

1、共线四点的交比：

2、共点四线的交比：

3、两直线之间的射影变换：

非齐次坐标形式：

齐次坐标形式：

参数形式：

4、二维射影变换：

三、典型例题：

1、证明：

的充要条件是：

证明：

设

则

若则

而

所以有

2、已知共点直线的方程为：

且求直线的方程

解：

先化为齐次线坐标

则有即

令则所以

所以方程为

3、设一直线上的点的射影变换是证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。

解：

令解得

即有两个自对应点

设与对应，有为常数

注：

结果有也对，不过顺序有别

4、试证圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束

证

A

B

C

D

P

E

明：

如图：

为圆内接正方形，为圆上任意点。

因为所以为角的平分线。

同理可证明是角平分线。

即是角的内外角平分线。

所以直线构成调和线束。

5、试证:

双曲型对合的任何一对对应元素,与其两个二重元素调和共轭即（）=-1

证明：

为自对应元素，与对应

则有而

所以得因为不重合

故

6、求射影变换的不变点坐标

解:

由特征方程：

将得,故上的点都是不变点

是不变点列。

自测题

1、设为共线三点，且求的坐标。

2、已知线束中三直线求作直线使

3、射影变换使直线上以0，1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1，0，1求变换式，并判断变换的类型。

4、求两直线所构成角的平分线方程

5、试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。

6、求射影变换的逆变换，并求出影消线对应直线的方程。

第四章变换群与几何学

疑难解析

1．变换群

（1）基本定义

射影变换群：

射影平面上所有射影变换的集合构成射影变换群，它是一个八维群；

仿射变换群：

仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群，它是一个六维群；

相似变换群：

平面上所有相似变换的集合构成相似变换群，它是一个四维群；

正交变换群：

欧氏平面上所有正交变换的集合构成正交变换群，它是一个三维群。

四种变换群，就群的大小而言，它们的关系是：

.

（2）一一变换的集合G构成群的充要条件是：

①若，则（封闭性）；

②若，则（存在逆元）.

2．克莱因关于几何学的变换群观点

正交变换群→欧氏几何；

仿射变换群→仿射几何；

射影变换群→射影几何；

就变换群的大小来看，三种变换群的关系为：

；

从几何学研究的内容来看，它们的关系是：

欧氏几何仿射几何射影几何.

名称

射影几何

仿射几何

相似几何

欧氏几何

变换群

射影群

仿射群

相似群

正交群

研

究

对

象

射影性质

射影不变量

纯仿射性质

纯仿射不变量

射影性质

射影不变量

纯相似性质

纯相似不变量

纯仿射性质

纯仿射不变量

射影性质

射影不变量

纯度量性质

纯度量不变量

纯相似性质

纯相似不变量

纯仿射性质

纯仿射不变量

射影性质

射影不变量

主要不变性质

结合性

分割性

结合性

平行性

结合性

平行性

保角性

结合性

平行性

合同性

基本不变量

交比

单比

相似比

距离

例题选解

例1证明：

平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群.

证明：

不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为：

容易证明，这种变换对于乘法是封闭的，且逆变换也是以原点为中心的旋转变换（其实

就是旋转的变换），所以这种变换的集合构成群.

例2下面所说的名称或定理，哪些属于射影几何学？

哪些属于仿射几何学？

哪些属于欧氏几何学？

（最大的）

（1）梯形；

（2）正方形；（3）离心率；（4）塞瓦定理与麦尼劳斯定理；

（5）重心；（6）垂心；（7）平行四边形的对角线互相平分；

（8）在平面内，一般位置的四条直线有六个交点；

（9）含于半圆内的圆周角是直角；

（10）如果直线与相交，则与相交；

（11）二次曲线的中心；（12）德萨格定理.

分析：

判定一个图形或定理属于哪一中几何学研究的对象，主要根据图形或定理所涉及的不变性和不变量来判定，例如涉及距离，线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围，涉及直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象，而仅与点、线、面之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了.

解：

（2）、（3）、（6）、（9）属于欧氏几何学；

（1）、（4）、（5）、（7）、（11）属于仿射几何学；（8）、（10）、（12）属于射影几何学.

例3为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在？

解：

因为二向量的数量积为：

而在仿射变换下，向量的长度和夹角都要改变，故向量的数量积概念在仿射几何里不存

在。

第五章二次曲线的射影理论

本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识，来研究二次曲线的性质的。

在射影平面上取定坐标系后，首先给出二阶（级）曲线的代数法定义，阐明其几何意义之后，给出二阶（级）曲线的射影定义，并研究二阶（级）曲线在射影变换下的不变性质。

然后基于射影变换的基本不变性质（结合性）和不变量（交比），反映在二阶（级）曲线上，证明了两个著名的定理――巴斯卡定理和布利安香定理，这两个定理是相互对偶的。

在此基础上，定义了二阶（级）曲线的极点和极线概念，导出了其求法。

在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。

根据对偶原理，在射影平面内可将二次曲线看作点曲线（二阶点列），称为二阶曲线。

也可以将曲线看作直线的包络，也就是看作是线曲线（二级线束），称为二级曲线，统称二次曲线。

因此，对于二阶曲线的每一性质，都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。

这一点在学习的过程中要加以注意。

本章最后，研究了二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质：

二阶曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线，给出了二次曲线的仿射分类：

椭圆型曲线、双曲型曲线和抛物型曲线。

在仿射平面上研究二阶曲线性质，是以无穷远直线在仿射变换下保持不变为基础来进行的，因此研究仿射性质要把握住无穷远元素。

疑难解析

1、二次曲线的概念

教材中首先给出了二次曲线的代数法定义：

二次曲线：

满足二次方程

的全体点称为二阶曲线，二阶曲线是点的轨迹.

二级曲线：

满足二次方程

的直线的全体称为二级曲线，二级曲线看成是直线的包络.

二阶曲线和二级曲线统称二次曲线。

两个不共心的射影线束（两个不共底的射影点列），对应直线的交点（对应点的连线）的全体连同两个线束的中心（两个点列的底）组成一条二阶曲线（二级曲线）.这实际上给代数定义找到了几何背景，由此引出了二次曲线的射影定义（也称作几何定义）：

二阶曲线：

两个射影线束对应直线交点的全体称为二阶曲线。

二级曲线：

两个射影点列对应点连线的全体称为二级曲线.

当成射影对应的两个线束（点列）为透视的，则此二阶曲线（二级曲线）退化为二直线（二点）。

此时称该二阶曲线（二级曲线）为退化的二阶曲线（二级曲线）。

一个由射影线束生成的二阶（二级）曲线，可以由其上任意二点（二线）为中心（底）构成的射影线束（点列）生成.由此定理推出两个重要的结论：

（1）平面内给定无三点共线的五点（无三线共点的五条直线），可决定唯一一条二阶曲线（二级曲线）.

（2）二阶曲线上四定点（二级曲线上四条定直线）与其上任意第五点所连四直线（任意第五条直线相交）所得四线（四点）的交比不变.

利用这两个结论可以解决有关二次曲线的作图问题。

2．巴斯卡（）定理和布利安香（）定理

这是关于二次曲线的两个重要定理，要注意以下几点：

（1）这两个定理是两个对偶的定理，因此其一的证明完全可以从另一个对偶地得出，教材中已经给出这两个定理的证明。

值得注意的是，巴斯卡定理的证明中，射影中心的选择可以是其中的任意两点，同理布利安香定理的证明中，点列的底的选择也是任意的两点。

（2）这两个定理的逆定理也是成立的。

（3）这两个定理的应用：

1已知二阶曲线上的五个点利用巴斯卡定理可以作出第六个点（见典型例题）；对偶地，已知二级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。

2可利用他们证明三点共线问题（见典型例题）；对偶地，也可用之证明三线共点问题。

3．二次曲线的极点与极线

极点与极线是关于二次曲线的重要概念，对于讨论二次曲线的仿射性质起着重要的作用。

极点与极线的概念是由关于二阶曲线的调和共轭点引入的。

（1）调和共轭点：

如果两点被它们连线与二阶曲线的交点调和分离，即，则称关于是调和共轭的.

（2）不在上两点关于调和共轭当且仅当。

（3）一定点关于二阶