椭圆双曲线抛物线性质资料Word格式文档下载.docx
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一b^xWb且一a兰y^a
顶点
Ai(-a,0卜A2(a,0)瓦(0,-b卜E2(0,b)
直1(0,—a卜九2(0,a)
B^-b,0卜E2(b,0)
轴长
长轴的长=2a短轴的长=2b
对称性
关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称
焦占
八'
、八、、
Fi(-c,0)、F2(c,0)
F1(0,-c)、F2(0,c)
焦距
RF2|=2c(c=a-b2)
离心率
e仝护(0<
e<
1)
准线方程
2
斗a
X-士
c
斗ay—±
—c
焦半径
M(Xo,y。
)
左焦半径:
右焦半径:
1
MH=a+ex)
MF2=a—exo
下焦半径:
上焦半径:
MF
J=a+ey°
2=a-eyo
焦点三角形面积
26
Smf1f2=btan_2(B=zF1MF2)
通径
2b2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:
|HM-2b
a
(焦点)弦长公式
A(x1,y1),B(x2,y2),卜耳=J1+k2为—x2=』1+k2J(为+x2)2—4皿2
【说明】:
方程中的两个参数a与b,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件,焦点F,F1,F2的位置(焦点跟着
分母大的走),是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型,常数a,b,c都大于零,
rr222
其中a最大且a=b+c(即a,b,c为直角三角形的三边,a为斜边)
1•方程Ax2By2二C表示椭圆的充要条件是:
ABC丰0,且A,B,C同号,A丰B。
当A>
B时,焦点在y轴上,当AvB时,焦点在x轴上。
(根据焦点跟着系数小的走)
(三)焦点三角形
可得cos:
_1-2e0
(利用张角大小变化易得有sine:
:
1)(重点使用)
(四)焦半径问题:
由第二定义:
椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率
=a+ex)(-a兰X。
兰a)
J=a_ey°
(—a兰y。
负“+”正“-”
焦半径的最大值
PF
max=a+c,
min
焦点在x轴上时:
两焦半径乘积
PF1
PF2
所以
(1)
a-c
=a2—(exo)2,(—a^x。
乞a)
1•显然当Xq=0时有最大值(PF]'
PF2)max=a2
2显然当x°
=±
a时有最小值(PF],PF2)min=b
同理,焦点在y轴上时:
两焦半径乘积PF]PF?
=a-(ey0),(—a兰y。
(六)点与椭圆的位置关系:
(可用于解决过定点的动直线与椭圆位置关系)
(])点P(xo,yo)在椭圆外:
二笃y°
21;
(过该定点的直线与椭圆“相离或相交或相切”)ab
(2)点P(xo,yo)在椭圆上二与•卷=1;
(过该定点的直线与椭圆“相交或相切”)
(3)点P(xo,yo)在椭圆内二磚绎:
1(过该定点的直线与椭圆“相交”)
(七)直线与椭圆的位置关系:
Xy
设直线I的方程为:
Ax+By+C=O,椭圆—2=1(a>
b>
O),联立组成方程组,
消去y(或x)利用判别式△的符号来确定:
(1)相交:
=「0直线与椭圆相交;
)相切:
二=0=直线与椭圆相切;
(3)相离:
.「:
0二直线与椭圆相离;
(八)弦长公式:
若直线AB:
y=kx•b与椭圆标准方程
2y_a2b2
x2
=1
(ab0)相交于两点A(x1,yj、
B(x2,y2),
备注:
若直线为过定点的动直线则可以用知识点(六)来解决“位置关系”
把AB所在直线方程y=kx+b,代入椭圆方程笃•在=1整理得:
Ax2+Bx+C=0。
a2b2
弦长公式:
1AB=栋2|为—x2=U1+k2J(Xj+x2)2Txm=11+k2*^(含x的方程)
|a|
2AB+古|屮一丫2+右J®
"
)2-4丫巧2=J1+古寸(含y的方程)
(应用于能解出具体坐标)(应用于带有参数的大题)(a是一元二次方程中的,此公式用于计算)
(九)圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
(十一)焦点弦三角形
1.过椭圆—
则ABF2的周长为()
(十)椭圆、双曲线、圆同型系数设法(此类设法用于过曲线两点求方程)
1.椭圆:
mx2ny2=i(m0,n0且m=n)
2.双曲线:
mxny=i(mn:
:
0)
3.圆:
mx2ny2=i(m=n0)
y-1的左焦点F1作直线l交椭圆于代B两点,F2是椭圆右焦点,
2•已知椭圆
C:
代B两点•若△
A.H=1
32
、4、2C
~2岭=1(ab0)的左、右焦点为Fi,F2,离心率为
AFiB的周长为4.3,则椭圆C的方程为()
22£
》1
128
过F2的直线l交椭圆C于
X2.
y1
3
XI1
124
3.已知Fi、F2为椭圆25+y
1的两个焦点,过Fi的直线交椭圆于A、
B两点.若|F2A|+|F2B|
=12,贝UAB|=
焦点在x轴上
71
V
k
x2〈"
(aRbAO)
yx“「c
务——=1(aa0,ba0)ab
到两定点F、F2的距离之差的绝对值等于常数2a,即||MF1^|MF2^2a(0c2a<
|FF?
|)
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即MF—e(e》1)
x兰一a或x^a,y^R
y兰一a或y^a,x^R
AJ—a,0)、A2(a,0)
紀(0,-a)、A2(0,a)
实轴的长=2a虚轴的长=2b
八'
、八\、
Fi(-c,0)、F2(c,0)
Fi(0,-c)、F2(0,c)
222
证=2c(c=a+b)
e=E=*
.a
x=±
——
斗ay—士
渐近线方程
.by=±
_xa
y=x
b
M(Xo,yo)
左焦:
右焦:
|a+exo
-exo
下焦:
上焦:
a+eyoa-eyo
2日
S^FiF^bcotJ(日=NRMF2)
HM
7.若知道双曲线过两点,则设双曲线方程为:
mx2+ny2=1(mnc0)、
8•点P(xo,yo)与双曲线笃笃=1的位置关系
(1)若笃-与1,点P(xo,y。
)在双曲线“内”
(2)若答-电-1,点P(x°
y。
)在双曲线“上”
(3)若答-与"
,点P(x°
)在双曲线“外”
“注意它和圆、椭圆、抛物线的区别”内外相反
圆锤曲线一些常用结论
誹
*
\m\
y=2px
(p>
0)
y2=-2px
(P>
x=2py
(P=0)
x2=-2py
定义
与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)
(0,0)
e=1
对称轴
X轴
y轴
x30
xE0
八0
y兰0
F加
F[一卫,0〕
I2丿
F陶
F(0,-i
〕
x—子
x=E
y七
m(xo,yo)
MFi垮
|mf|=—X°
+卫
|mf|=%+号
MF=-yo^
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径:
HH
[=2p
焦点弦长公式
aB+%+P
参数p的几何意义
参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越阔
关于抛物线焦点弦的几个结论:
设AB为过抛物线y=2px(p0)焦点的弦,
p22
⑴x1x2=——,yiy2=—p;
⑵AB
4
⑶以AB为直径的圆与准线相切;
兀
⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为一;
A(xi,yi)、B(X2,y2),直线AB的倾斜角为「则
2p;
sin2:
'
丄.丄
|FA||FB|P
实用小结论:
一1
1•焦点非0坐标为一次项系数的一
2•准线方程的值为焦点非0坐标的相反数(即抛物线一次项系数一的相反数)
1一
3•焦半径长度:
一次项系数的绝对值+对应横(纵)坐标的绝对值。
4抛物线方程为y二ax(a=0)则其中点弦直线斜率
22xo
5..抛物线方程为x二ay(a=0)则其中点弦直线斜率k0
6•求最值问题的注意“两个距离之和,将之中的抛物线上动点到准线距离换成到焦点的距离”
或“两个距离之和,将之中的抛物线上动点到焦点的距离换成到准线距离
7•点P(xo,y。
)与抛物线y2=ax的位置关系
(1)若y0:
ax0,点P(x°
)在抛物线“内”
(2)若y0=ax。
)在抛物线“上”
(3)若y。
axo,点P(x°
y°
)在抛物线“外”
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- 椭圆 双曲线 抛物线 性质 资料