专题中点的妙用(初三数学).doc
- 文档编号:1624601
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:34
- 大小:1.30MB
专题中点的妙用(初三数学).doc
《专题中点的妙用(初三数学).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题中点的妙用(初三数学).doc(34页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
方法专题:
中点的妙用
联想是一种非常重要的数学品质。
善于联想,才能更好的寻求解决问题的方法。
同学们当你遇到中点时,你会产生哪些联想呢?
学习完这个专题后,能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么?
1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质;
2、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半”;
3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”;
4、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三角形);
5、有中点时常构造垂直平分线;
6、有中点时,常会出现面积的一半(中线平分三角形的面积);
7、倍长中线
8、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理”
中点辅助线模型
一、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质
1、如图1所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于()
A.B.C.D.
N
M
B
O
C
A
二、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半”
2、如图,在Rt⊿ABC中,∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。
且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状,并说明理由.
3、如图,正方形的边长为2,将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点从点出发,沿图中所示方向按滑动到点为止,同时点从点出发,沿图中所示方向按滑动到点为止,那么在这个过程中,线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为()
A.2B.4-
C.D.
三、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”
4、(直接找线段的中点,应用中位线定理)
如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗?
5、(利用等腰三角形的三线合一找中点,应用中位线定理)
如图所示,在三角形ABC中,AD是三角形ABC∠BAC的角平分线,BD⊥AD,点D是垂足,点E是边BC的中点,如果AB=6,AC=14,求DE的长
6、(利用平行四边形对角线的交点找中点,应用中位线定理)
如图所示,AB∥CD,BC∥AD,DE⊥BE,DF=EF,甲从B出发,沿着BA、AD、DF的方向运动,乙B出发,沿着BC、CE、EF的方向运动,如果两人的速度是相同的,且同时从B出发,则谁先到达F点?
7、(综合使用斜边中线及中位线性质,证明相等关系问题)
如图,等腰梯形ABCD中,CD∥AB,对角线AC、BD相交于点O,,点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.
求证:
△SPQ是等边三角形。
四、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三角形)
8、如图:
梯形ABCD中,∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E为AB中点,求证:
DE⊥EC
9、如图甲,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B、C、G在同一直线上,M是AE的中点,
(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,并证明;
(2)将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明
A
B
C
D
F
G
E
M
图乙
图甲
B
A
C
E
D
F
G
M
B
D
C
A
五、有中点时常构造垂直平分线
10、如图所示,在△ABC中,AD是BC边上中线,∠C=2∠B.AC=BC。
求证:
△ADC为等边三角形。
六、有中点时,常会出现面积的一半(中线平分三角形的面积)
11、
(1)探索:
已知的面积为,
①如图1,延长的边BC到点D,使CD=BC,连接DA,若的面积为,则=(用含的代数式表示)
②如图2,延长的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE,若的面积为,则=(用含的代数式表示)
③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到(如图3),若阴影部分的面积为,=(用含的代数式表示)
⑵发现:
像上面那样,将各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到(如图4),此时,我们称向外扩展了一次。
可以发现,扩展一次后得到的的面积是原来面积的倍
⑶应用:
如图5,若△ABC面积为1,第一次操作:
分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连结A1,B1,C1,得到△A1B1C1.第二次操作:
分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连结A2,B2,C2,得到△A2B2C2,第三次操作…,按此规律,要使得到的三角形的面积超过2010,最少要经过 次操作.
12、如图所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,点E是CD的中点,连接AE、BE,
求证:
S△ABE=S四边形ABCD。
13、如图,M是ABCD中AB边的中点。
CM交BDD
C
B
M
A
E
于点E,则图中阴影部分面积与ABCD面积之比为
14、如图所示,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则等于:
A、B、C、D、
七、倍长中线
15、如图,△ABC中,D为BC中点,AB=5,AD=6,AC=13。
求证:
AB⊥AD
16、如图,点D、E三等分△ABC的BC边,求证:
AB+AC>AD+AE
17、如图,D为线段AB的中点,在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE、DF、EF,
求证:
△DEF为等腰直角三角形。
八、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理”
18、半径是5cm的圆中,圆心到8cm长的弦的距离是________
19、半径为的圆O中有一点P,OP=4,则过P的最短弦长_________,
最长弦是__________,
20、如图,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为____________cm。
21、如图,在⊙O中,直径AB和弦CD的长分别为10cm和8cm,则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
22、如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于E,若AE=2cm,BE=6cm,∠CEA=300,
求:
CD的长;
23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图5所示。
请你帮他们求出A
B
C
滴水湖的半径。
倍长中线:
1.(2011平谷二模)24.已知:
如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,
过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(均不要求证明)
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图②
②遇到中点引发六联想
1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质
例1、如图1所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于【】
A.B.C.D.
分析:
由AB=AC=5,所以,三角形ABC是等腰三角形,且边BC是底边;由点M为BC中点,如果连接AM,则根据等腰三角形的三线合一,得到AM是底边BC上的高线,这样就能求出三角形ABC的面积,而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半,在三角形AMC中利用三角形的面积公式,求可以求得MN的长。
解:
连接AM,∵AB=AC=5,点M为BC中点∴AM⊥BC,
在直角三角形AMC中,AC=5,CM=BC=3,∴AM==4,
S△ABC=×BC×AM=×6×4=12,S△ACM=S△ABC=6;
∴6=×AC×MN,∴MN=.所以,选择C。
2、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半”
例2、在三角形ABC中,AD是三角形的高,点D是垂足,点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,
求证:
四边形EFGD是等腰梯形。
分析:
由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,根据三角形中位线定理,知道FG∥BC,FE∥AC,FE=AC,由直角三角形ADC,DG是斜边上的中线,因此,DG=AC,所以,EF=DG,这样,我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。
证明:
∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,∴FG∥BC,FE∥AC,FE=AC,
∵AD是三角形的高,∴△ADC是直角三角形,
∵DG是斜边上的中线,∴DG=AC,∴DG=EF,∴梯形EFGD是等腰梯形。
3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”
例1求证:
顺次连结四边形四边的中点,所得的四边形是平行四边形。
已知:
如图4所示,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证:
四边形EFGH是平行四边形。
分析:
由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
我们就自然联想到三角形的中位线定理,但是在这里,我们发现缺少三角形,因此,我们只要连接四边形的一条对角线,就出现我们需要的三角形了。
证明:
连接AC,∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
∴EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。
4、遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三角形
例4、如图6所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,点E是CD的中点,连接AE、BE。
求证:
S△ABE=S四边形ABCD。
分析:
如果直接证明,是不容易,联想到AD∥BC,点E是CD的中点,我们延长AE,与BC的延长线交于点F,这样,我们就构造出一对八字型的三角形,
并且这对三角形是全等的。
这样,就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上,问题就
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题 中点 妙用 初三 数学