版三维方案数学同步人教A版必修5 第二章 22第二课时 等差数列的性质.docx
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第二课时 等差数列的性质
预习课本P39练习第4、5题,思考并完成以下问题
(1)等差数列通项公式的推广形式是什么?
(2)等差数列的运算性质是什么?
1.等差数列通项公式的推广
通项公式
通项公式的推广
an=a1+(n-1)d
(揭示首末两项的关系)
an=am+(n-m)d
(揭示任意两项之间的关系)
2.等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列,正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
(1)特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak.
(2)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
(3)若{an}是公差为d的等差数列,则
①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;
③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列.
(4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列( )
(2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列( )
(3)若{an}是等差数列,则对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2( )
(4)数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等( )
解析:
(1)错误.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.
(2)错误.如数列-1,2,-3,4,-5其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列.
(3)正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2成立.
(4)正确.因为an=3n+5的公差d=3,而直线y=3x+5的斜率也是3.
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14等于( )
A.32 B.33
C.-33D.29
解析:
选B ∵数列{an}是等差数列,
∴a5,a8,a11,a14也成等差数列且公差为9,
∴a14=6+9×3=33.
3.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=( )
A.90B.270
C.180D.360
解析:
选C 因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,
所以a5=90,所以a2+a8=2a5=2×90=180.
4.在等差数列{an}中,已知a2+2a8+a14=120,则2a9-a10的值为________.
解析:
∵a2+a14=2a8,∴a2+2a8+a14=4a8=120,∴a8=30.∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=30.
答案:
30
等差数列的性质应用
[典例]
(1)已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+a3+a4+a5=( )
A.30 B.15
C.5D.10
(2)设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=( )
A.0B.37
C.100D.-37
[解析]
(1)∵数列{an}为等差数列,
∴a1+a2+a3+a4+a5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3=(a2+a4)=×6=15.
(2)设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,
则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,
c2=a2+b2=100,
∴{cn}的公差d=c2-c1=0.
∴c37=100,即a37+b37=100.
[答案]
(1)B
(2)C
本例
(1)求解主要用到了等差数列的性质:
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
对于此性质,应注意:
必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7+a8,但a6+a9=a7+a8;a1+a21≠a22,但a1+a21=2a11.
本例
(2)应用了等差数列的性质:
若{an},{bn}是等差数列,则{an+bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质,可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力,应注意加强这方面的锻炼.
[活学活用]
1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
A.14B.12
C.28D.36
解析:
选C ∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,则a4=4,
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
2.已知数列{an}是等差数列,且a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15的值.
解:
∵在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,∴a1+a17=a5+a13.由条件等式,得a9=117.
∴a3+a15=2a9=2×117=234.
灵活设元求解等差数列
[典例]
(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.
(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
[解]
(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d,
则
解得∴这三个数为4,3,2.
(2)法一:
设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
法二:
若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),
依题意,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
把a=1-d代入a(a+3d)=-8,
得=-8,
即1-d2=-8,
化简得d2=4,所以d=2或-2.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,
a=-2.
故所求的四个数为-2,0,2,4.
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:
a-d,a+d,公差为2d;
(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:
a-d,a,a+d,公差为d;
(3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d.
[活学活用]
已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.
解:
设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d).
由题设知
解得或
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
等差数列的实际应用
[典例] 某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
[解] 设从第一年起,第n年的利润为an万元,
则a1=200,an+1-an=-20(n∈N*),
∴每年的利润构成一个等差数列{an},
从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an=220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
[活学活用]
某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费________元.
解析:
根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
答案:
23.2
层级一 学业水平达标
1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( )
A.12 B.16
C.20D.24
解析:
选B 因为数列{an}是等差数列,所以a2+a10=a4+a8=16.
2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( )
A.5B.6
C.8D.10
解析:
选A 由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,
又∵a1+a9=10,即2a5=10,
∴a5=5.
3.下列说法中正确的是( )
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
解析:
选C 因为a,b,c成等差数列,则2b=a+c,
所以2b+4=a+c+4,
即2(b+2)=(a+2)+(c+2),
所以a+2,b+2,c+2成等差数列.
4.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )
A.5B.8
C.10D.14
解析:
选B 由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=10,又a1=2,所以a7=8.
5.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于( )
A.8B.4
C.6D.12
解析:
选A 因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8.
6.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.
解析:
设这三个数为a-d,a,a+d,
则
解得或
∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.∴它们的积为-21.
答案:
-21
7.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为________.
解析:
∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,
∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案:
1或2
8.已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,则a4+a8=________.
解析:
根据等差数列的性质,可得a2+a10=a4+a8=2a6,由a2+a6+a10=1,得3a6=1,∴a6=.∴a4+a8=2a6=.
答案:
9.在等差数列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.
解:
法一:
由等差数列的性质得
a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.
∴(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).
∴
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