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2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形;
若a
2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边);
2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)
4.勾股定理的作用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边。
(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。
(3)用于证明线段平方关系的问题。
(4)利用勾股定理,作出长为n的线段
考点三、锐角三角函数的概念
1、如图,在△ABC中,∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记为sinA,即
sinA
A
的对边
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记为cosA,即
cosA
的邻边
b
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记为tanA,即
tanA
1
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记为cotA,即
cotA
A的对边
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数30°
45°
60°
sinα
3
cosα
tanα
313
cotα31
4、各锐角三角函数之间的关系
(1)互余关系:
sinA=cos(90°
—A),cosA=sin(90°
—A);
(2)平方关系:
sin2Acos2A1
(3)倒数关系:
tanAtan(90°
—A)=1
(4)商(弦切)关系:
tanA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°
~90°
之间变化时,
sin
cos
(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
(4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
考点四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有
未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c
(1)三边之间的关系:
2b2c2
a(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
正弦sin,余弦cos,正切tan
(4)面积公式:
(hc为c
边上的高)
考点五、解直角三角形应用
1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解
2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例:
(1)仰角:
视线在水平线上方的角;
俯角:
视线在水平线下方的角。
视线铅垂线
仰角
俯角
水平线
h
ih:
l
α
视线
l
(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。
用字母i表示,即
i
。
坡度一般写成1:
m的形式,如
i1:
5等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角),那么itan
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别
是:
45°
、135°
、225°
。
解直角三角形的基本类型及其解法公式(总结)
1、解直角三角形的类型与解法
已知、解法
三角已知条件解法步骤
类型
Rt△ABC
两直角边(如a,b)
由tanA=,求∠A;
∠B=90°
-A,c=
2b
两
斜边,一直角边(如c,a)
由SinA=,求∠A;
-A,b=
c2-a2
2-a2
边
AbC
一
一角边
锐角,邻边
(如∠A,b)
-A,a=b·
SinA,c=cosA
cosA
角
和
一锐角
锐角,对边
(如∠A,a)
tanA
,c=
sinA
斜边,锐角(如c,∠A)∠B=90°
-A,a=c·
SinA,b=c·
cosA
2、测量物体的高度的常见模型
1)利用水平距离测量物体高度
数学模型所用应测数据数量关系根据
工具原理
tanα=,tanβ=
xx
ι
x1x2
β
侧倾α、β、
=a·
tanα·
tanβ
tanα+tanβ
直角
三角
器
皮尺
水平距离a
tanα=tanβ=
axx
形的
边角
关系
αβ
ax
tanβ-tanα
2)测量底部可以到达的物体的高度
=
,h=
aa
13
镜子
目高a1
水平距离a2
反射
定律
aa3
水平距离a3
aa2
标杆
标杆高a1
标杆影长a2
物体影长a3
h=
同一时刻物高与影
长成正比
αh
侧倾器高a1
tanα=
矩形的性质和直角
三角形的边角关系
倾斜角α
h=a1+a2tanα
侧倾
仰角α
俯角β
tanβ=
h=h1+h2=a1(tanα+tanβ)
水平距离a1
3)测量底部不可到达的物体的高度
(1)
工具理论
h1
x
,tanβ=
β俯角β
4
高度a
tanα
h=a+h1=a+a=a(1+
tanβ
)
矩形的性质和直
角三角形的边角
a-h
关系
俯角α
∴x=
atanα
∴h=a-
高度
测量底部不可到达的物体的高度
(2)
数字模型所用应测距离数量关系根据
1tanβ=
仰角α,
仰角β
水平距离a1
侧倾器高a2
1
tan
∴=h1
h=a2+h1=a2+
hh-a
tanβ=
h=
tanα-tanβ
矩形的性质
和直角三角
tanβ=、h=
形的边角关
系
ha+h
tanα=,tanβ=
tabβ-tanα
5
第三部分真题分类汇编详解2007-2012
(2007)19.(本小题满分6分)一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°
方向有一座小岛C,继续向东航
行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°
方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛
C最近?
(参考数据:
sin21.3°
≈
9
25
,tan21.3°
,sin63.5°
10
,tan63.5°
≈2)
北
C
东
AB
(2008)19.(本小题满分6分)在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如
图所示,其中,AB表示窗户,且AB2米,BCD表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的
最小夹角为18.6,最大夹角为64.5.请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米?
(结
果保留两个有效数字)
sin18.60.32,tan18.60.34,sin64.50.90,tan64.52.1)
CD
C
D
F
GE
BD
第19题图
6
(2009)19.(本小题满分6分)在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度.他们首先从A处
安置测倾器,测得塔顶C的仰角CFE21°
,然后往塔的方向前进50米到达B处,此时测得仰角CGE37°
,
已知测倾器高1.5米,请你根据以上数据计算出古塔CD的高度.
sin37
°
≈3,tan37°
≈3,sin21°
≈9,tan213
°
≈)°
54258
(2010)19.(本小题满分6分)小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB=80米.为测量这座居民楼与大厦之间
的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°
,大厦底部B的俯角为48°
.求小明家所在居民楼与
大厦的距离CD的长度.(结果保留整数)
解:
o3o3o7o11
sin37,tan37,sin48,tan48)
541010
37°
D
48°
C
第19题图
(2011)19.(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由
原来的40o减至35o.已知原楼梯AB长为5m,调整后的楼梯所占地
35o40o
面CD有多长?
CBD
(结果精确到0.1m.参考数据:
sin40o≈0.64,cos40o≈0.77,sin35o≈0.57,tan35o≈0.70)
(2012)20.(8分)
7
附历年真题标准答案:
(2007)19.(本小题满分6分)
解:
过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到Rt△ACD与Rt△BCD.
设BD=x海里,
在Rt△BCD中,tan∠CBD=
CD
BD
,∴CD=x·
tan63.5°
.
CDABD
在Rt△ACD中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tan∠A=
AD
∴CD=(60+x)t·
an21.3°
.∴x·
=(60+x)·
tan21.3°
,即
2x60x.解得,x=15.
答:
轮船继续向东航行15海里,距离小岛C最近.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6′
(2008)19.(本小题满分6分)
设CD为x,在Rt△BCD中,BDC18.6,
∵
BC
tan,∴BCCDtanBDC0.34x.·
·
2′
BDC
在Rt△ACD中,ADC64.5,∵
AC
tanADC,∴ACCDtanADC2.1x.
∵ABACBC,∴22.1x0.34x.x≈1.14.
CD长约为1.14米.
(2009)19.(本小题满分6分)
由题意知CD⊥AD,EF∥AD,
∴CEF90°
,设CEx,
在Rt△CEF中,tanCFECE
EF
CE
在Rt△CEG中,tan
CGE
GE
CEx8
EFx
;
,则
tanCFEtan21°
3
CEx4
GEx
tanCGEtan37°
D
∵EFFGEG,∴
84
x50x.x37.5,∴CDCEED37.51.539(米).
33
古塔的高度约是39米.·
·
6分
(2010)19.(本小题满分6分)
8
设CD=x.在Rt△ACD中,tan37
则3
,∴
ADx.
在Rt△BCD中,tan48°
=BD
11
则
∴11
BDx.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
∵AD+BD=AB,∴31180
xx.
410
解得:
x≈43.
小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2011)19.(本小题满分6分)
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