最新导数的几何意义68673Word文档格式.docx
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是半径«
的函数«
,求圆在«
时的面积瞬时变化率,并解释此时圆面积的瞬时变化规律。
4.球体积«
,问:
球在«
时的体积瞬时变化率,并解释此时球体积的瞬时变化规律。
参考答案:
的本质是函数«
在«
处的瞬时变化率,即:
«
,所以«
。
运动员在«
时的瞬时速度为«
这说明运动员在«
附近,正以大约«
的速率下落。
3.«
=«
这说明圆在«
的附近,面积正以大约«
的瞬时变化率增大。
(思考,动画)
=«
这说明球在«
的附近,体积正以大约«
二.
(一)引入:
函数的思想中,数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。
我们已经学习了导数的本质及其物理意义或者实际意义,我们不禁要问:
导数的几何意义是什么?
例如:
上述的三个问题中,«
«
的几何意义分别是什么?
我们利用数形结合,画出函数的图像,看看通过函数的图像研究,能有什么新的体会。
(二)转化:
为了使研究更具有操作性,我们抛开问题的实际背景,从研究更简单的函数入手,这也是数学研究的常用方法。
(三)问题与探索:
求函数«
处的导数«
,说说它的本质,并用数形结合的方法,探索«
的几何意义。
«
所以«
处的瞬时变化率是«
,即函数«
的附近正以大约«
画出函数«
的图像,从图像上的哪几个点开始研究?
A
P
Q
B1
M
N
B
联想:
定义«
从点«
.点«
入手。
那么点«
点«
的几何意义是什么?
请在图形中体现体现出来。
填表,讨论,发言,展示。
静态
动态«
静态
有关量
几何意义
A«
坐标
的几何
表示
B«
点«
横坐标
的差
(自变量的增量)
纵坐标
割线«
的
斜率
(极限位置)即:
切线«
动态
=切线«
的斜率
(四)动画演示,阅读课本,小结:
1.平均变化率«
在趋向于某一时刻的变化过程中,自变量的增量«
越来越小,能越过任意小的间隔,但始终不能为0,不然,我们就得不到平均变化率的值;
平均变化率在图形中的几何意义是割线AB的斜率。
2.当«
趋近于0时,平均变化率«
无限趋近于的常数就是«
,从图形上看,当«
趋近于0时,点B沿曲线趋近于点A,割线绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线叫做此曲线在点A处的切线。
于是当«
时,割线AB的斜率趋近于过点A的切线的斜率,即:
还可以利用点斜式求出切线AD的方程:
,即:
(展示学生作品)
(五)训练:
分别在函数«
,«
和«
的图像上,用图形来体现导数«
的几何意义,并用数学语言表述出来。
1.
2.3.
三.学生继续动手:
(一)在函数«
的图像中,请描述,比较曲线«
附近增(减)以及增(减)快慢的情况。
附近呢?
(二)请估计曲线«
的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出。
函数的瞬时
变化率«
反思,发现。
1.导函数。
(探索作业求«
)
2.单调性:
在某个区间上,当«
单调递增;
当«
单调递减。
3.求出«
,验证你的结论。
验证:
(1)数据;
(2)单调性。
思考:
1.如图表示人体血管中的药物浓度«
)随时间«
)变化的函数图像,根据图像,估计«
时,血管中药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出。
有什么发现?
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的
瞬时变化率
2.下图是利用信息技术画出的函数«
的图像,请根据图像,估计«
时,气球的瞬时膨胀率。
四.小结:
1.知识结构:
基本初等函数导数公式
平均速度瞬时速度(物理意义)及导数运算法则
平均变化率瞬时变化率(导数本质)导数
平均变化率瞬时变化率(导数本质)导数与函数单调性的关系
导数与极(最)值的关系
2.数学思想:
运动变化的观点(以静态刻划动态),
数形结合(函数思想)
以直代曲(以近似求精确)(微积分思想方法)
作业:
习题3.1A5,6.B2,3.书上。
探索作业1、求«
2。
用导数定义及单调性定义解释:
(参考:
一般地,当«
在某个区间上,
(令«
所以,«
)«
或«
在此区间上单调递增。
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