招生全国统一考试数学试题文全国卷3参考解析.docx

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招生全国统一考试数学试题文全国卷3参考解析

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】由题意可得：

.本题选择B选项.

2．复平面内表示复数z=i（–2+i）的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】由题意：

.本题选择B选项.

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2018年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A

【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；

本题选择A选项.

4．已知，则=

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】.

本题选择A选项.

5．设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是

A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]

【答案】B

【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值.在点处取得最大值.

本题选择B选项.

6．函数f（x）=sin（x+）+cos（x−）的最大值为

A．B．1C．D．

【答案】A

【解析】由诱导公式可得：

，

则：

函数的最大值为.

本题选择A选项.

7．函数y=1+x+的部分图像大致为

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】当时，，故排除A,C,当时，，故排除B,满足条件的只有D,故选D.

8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5B．4C．3D．2

【答案】D

【解析】若,第一次进入循环，成立，，成立，第二次进入循环，此时，不成立，所以输出成立，所以输入的正整数的最小值是2，故选D.

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．B．C．D．

【解析】如果，画出圆柱的轴截面

，所以，那么圆柱的体积是，故选B.

10．在正方体中，E为棱CD的中点，则

A．B．C．D．

【答案】C

11．已知椭圆C：

，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，，故选A.

12．已知函数有唯一零点，则a=

A．B．C．D．1

【答案】C

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，且a⊥b，则m=.

【答案】2

【解析】由题意可得：

.

14．双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a=.

【答案】5

【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：

，结合题意可得：

.

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知C=60°，b=，c=3，则A=_________。

【答案】75°

【解析】由题意：

，即，结合可得，则

16．设函数则满足的x的取值范围是__________。

【答案】

【解析】由题意得：

当时恒成立，即；当时恒成立，即；当时，即；综上x的取值范围是

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

[10，15）

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

解：

（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于，从表中可知有54天，

∴所求概率为.

（2）的可能值列表如下：

最高气温

[10，15）

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

300

900

900

900

低于：

；

：

；

不低于：

∴大于0的概率为.

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：

AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

（1）证明：

取中点，连

∵，为中点，

∴，

又∵是等边三角形，

∴，

又∵，∴平面，平面，

∴.

20．（12分）

在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0,1）.当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？

说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

解：

（1）设，则是方程的根，

所以，

则，

所以不会能否出现AC⊥BC的情况。

（2）解法1：

过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心，则，由得，化简得，所以圆E的方程为，

令得，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，所以

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值

解法2：

设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，

由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，

又，所以，

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，为定值.

21．（12分）

已知函数=lnx+ax2+（2a+1）x．

（1）讨论的单调性；

（2）当a﹤0时，证明．

解：

（1）

当时，，则在单调递增

当时，则在单调递增，在单调递减.

（2）由

（1）知，当时，

，令（）

则，解得

∴在单调递增，在单调递减

∴，∴，即，∴.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ+sinθ）−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.

（1）直线的普通方程为

直线的普通方程为

消去k得，

即C的普通方程为.

（2）化为普通方程为

联立得

∴

∴与C的交点M的极径为.

23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）

已知函数=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式≥1的解集；

（2）若不等式≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围.

（2）原式等价于存在，使

成立，即

设

由

（1）知

当时，

其开口向下，对称轴

∴

当时

其开口向下，对称轴为

∴

当时，

其开口向下，对称轴为

∴

综上

∴的取值范围为.