师说高考数学理二轮专题复习练习2向量运算与复数运算算法合情推理含答案解析.docx
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师说高考数学理二轮专题复习练习2向量运算与复数运算算法合情推理含答案解析
课时巩固过关练
(二) 向量运算与复数运算、算法、合情推理A组
一、选择题
1.(2016·广东佛山期中)如图,在△ABC中,已知=2,则等于( )
A.-+ B.+
C.+D.-
解析:
根据平面向量的运算法则可知:
=+=+=+(-)=+.故选C.
答案:
C
2.(2016·福建南安期中)在△ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,+=n,则( )
A.m+n是定值,定值为2
B.2m+n是定值,定值为3
C.+是定值,定值为2
D.+是定值,定值为3
解析:
解法一:
过点C作CE平行于MN交AB于点E.由=n可得=,∴==,由BD=DC可得=,∴==,∵=m,∴m=,整理可得+=3.
解法二:
∵M,D,N三点共线,∴=λ+(1-λ).又=m,=n,∴=λm+(1-λ)n①.又=,∴-=-,∴=+②.由①②知λm=,(1-λ)n=.∴+=3,故选D.
答案:
D
3.(2015·陕西高考)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
解析:
因为|a·b|=||a||b|cos〈a,b〉|≤|a||b|,所以A选项正确;当a与b方向相反时,B选项不成立,所以B选项错误;向量平方等于向量模的平方,所以C选项正确;(a+b)(a-b)=a2-b2所以D选项正确,故选B.
答案:
B
4.(2016·山东淄博期中)已知矩形ABCD中,AB=,BC=1,则·等于( )
A.1B.-1
C.D.2
解析:
解法一:
如图,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(,1),D(0,1),∴=(,1),=(,-1),则·=2-1=1.
解法二:
记=a,=b,则a·b=0,|a|=,|b|=1,∴·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=2-1=1.故选A.
答案:
A
5.(2016·山东德州一中一模)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( )
A.1B.1+2
C.1+2+22D.1+2+22+23
解析:
当n=1时,左边=1+2+22+23.
答案:
D
6.(2016·四川巴蜀中学月考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A.大前提:
无限不循环小数是无理数;小前提:
π是无理数;结论:
π是无限不循环小数
B.大前提:
无限不循环小数是无理数;小前提:
π是无限不循环小数;结论:
π是无理数
C.大前提:
π是无限不循环小数;小前提:
无限不循环小数是无理数;结论:
π是无理数
D.大前提:
π是无限不循环小数;小前提:
π是无理数;结论:
无限不循环小数是无理数
解析:
对于A,小前提与结论应互换,错误;对于B,符合演绎推理过程且结论正确;对于C,大前提和小前提颠倒,错误;对于D,大、小前提和结论颠倒,错误.故选B.
答案:
B
7.(2016·四川雅安中学月考)执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S等于( )
A.4B.5
C.6D.7
解析:
若x=t=2,则第一次循环,1≤2成立,则M=×2=2,S=2+3=5,k=2,第二次循环,2≤2成立,则M=×2=2,S=2+5=7,k=3,此时3≤2不成立,输出S=7,故选D.
答案:
D
8.(2016·江西赣州于都实验中学月考)阅读程序框图,若输入m=4,n=6,则输出a,i分别是( )
A.a=12,i=3B.a=12,i=4
C.a=8,i=3D.a=8,i=4
解析:
由程序框图得:
第一次运行i=1,a=4;第二次运行i=2,a=8;第三次运行i=3,a=12,满足a被6整除,结束运行,输出a=12,i=3.故选A.
答案:
A
9.(2016·安徽江南十校联考)复数在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:
∵==,∴对应的点在第二象限,故选B.
答案:
B
10.(2016·新疆克拉玛依十三中月考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )
A.2+iB.2-i
C.5+iD.5-i
解析:
∵(z-3)(2-i)=5,∴z-3==2+i,∴z=5+i,∴=5-i.故选D.
答案:
D
二、填空题
11.(2016·吉林辽源联考)已知向量a=(1-sinθ,1),b=,且a∥b,则锐角θ等于__________.
解析:
∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)=,∴cosθ=±.又θ为锐角,∴θ=45°.
答案:
45°
12.(2016·江西高安段考)已知向量a,b满足a+b=(5,-10),a-b=(3,6),则b在a方向上的投影为__________.
解析:
根据a+b=(5,-10),a-b=(3,6),求得a=(4,-2),b=(1,-8),根据投影公式可得b在a方向上的投影为==2.
答案:
2
13.(2016·河北南宫一中周测)某天,小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影,他们到达电影院之后发现,当天正在放映A,B,C,D,E五部影片,于是他们商量一起看其中的一部影片:
小赵说:
只要不是B就行;
小张说:
B,C,D,E都行;
小李说:
我喜欢D,但是只要不是C就行;
小刘说:
除了E之外,其他的都可以.
据此判断,他们四人可以共同看的影片为__________.
解析:
根据小赵,小李和小刘的说法可排除B,C,E,剩余A和D,再根据小张的说法可知选D影片.
答案:
D
14.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是8,则框图内m的取值范围是__________.
解析:
第一次运行:
S=2×1,k=2;第二次运行:
S=2×1+2×2,k=3;…;当输出结果是8时,此时S=2×1+2×2+…+2×7=56,故m≤56,并且m>2×1+2×2+…+2×6=42.综上可知m的取值范围是(42,56].
答案:
(42,56]
15.(2016·黑龙江大庆实验中学期末)化简的结果是__________.
解析:
原式==2-i.
答案:
2-i
B组
一、选择题
1.(2016·广东深圳调研)设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充要条件是( )
A.a=-bB.a∥b且方向相同
C.a=2bD.a∥b且|a|=|b|
解析:
非零向量a、b使=成立⇔a=b⇔a与b共线且方向相同,故选B.
答案:
B
2.(2016·江西南昌一联)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为△ABC的( )
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心
D.AB边的中点
解析:
设AB的中点为M,则+=,∴=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,∴P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.
答案:
B
3.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( )
A.|b|=1B.a⊥b
C.a·b=1D.(4a+b)⊥
解析:
如图,由题意,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误.因为|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,又·=2a·(2a+b)=4|a|2+2a·b=2×2cos60°=2,所以a·b=-1,故B,C错误,设B,C中点为D,则+=2,且⊥,而2=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)⊥,故选D.
答案:
D
4.(2016·河南南阳期中)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则·的值为( )
A.-B.
C.-D.
解析:
∵3+4+5=0,
∴3+4=-5,∴92+24·+162=252,∵A,B,C在圆上,∴||=||=||=1.代入原式得·=0,∴·=-(3+4)·(-)=-(3·+42-32-4·)=-.
答案:
A
5.(2016·甘肃会宁四中期末)将正整数排列如下:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则在表中数字2016出现在( )
A.第44行第81列B.第45行第81列
C.第44行第80列D.第45行第80列
解析:
依题意可知第n行有(2n-1)个数字,前n行的数字个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2(个),∵442=1936,452=2025,且1936<2016,2025>2016,∴2016在第45行,又2025-2016=9,且第45行有2×45-1=89个数字,∴2016在第89-9=80列.故选D.
答案:
D
6.(2016·广西钦州调研)如图所示的算法中,令a=tanθ,b=sinθ,c=cosθ,若在集合中,给θ取一个值,输出的结果是sinθ,则θ值所在范围是( )
A.B.
C.D.
解析:
程序框图的功能是求a,b,c的最大值.∵输出的结果是sinθ,∴sinθ最大,
即
解得<θ<π,故选D.
答案:
D
7.(2016·广东佛山期中)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如表所示的数据.
观测次数i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数),则输出的S的值是( )
A.5B.6
C.7D.8
解析:
∵=(40+41+43+43+44+46+47+48)=44,S=(42+32+12+12+02+22+32+42)=7,故选C.
答案:
C
8.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是( )
解析:
由题图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1),故A正确.
答案:
A
9.(2016·安徽三校联考)已知复数(x∈R)在复平面内对应的点位于以原点O为圆心,以为半径的圆周上,则x的值为( )
A.2B.1+3i
C.±2D.±
解析:
==+i,所以该复数对应的点为,该点在x2+y2=2上,所以2+2=2,解得x=±2,故选C.
答案:
C
二、填空题
10.(2016·福建厦门适应性考试)如图,在△ABC中,·=0,=3,过点D的直线分别交直线AB,AC于点M,N.若=λ,=μ(λ>0,μ>0),则λ+2μ的最小值是__________.
解析:
=+=+(-)=+.设=x+y(x+y=1),则=xλ+yμ,则故故λ+2μ=
=
≥=.当且仅当x=y=时,等号成立.故答案为.
答案:
11.(2016·河北衡水期中)已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点,则·(+)=__________.
解析:
由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点,可得=(+),·=||·||·cosA=4×4×=8,则·(+)=(+)2=(2+2+2·)=×(16+16+16)=24.
答案:
24
12.(2016·辽宁抚顺月考)已知不等式1+<,1++<,1+++<,照此规律总结出第n个不等式为__________.
解析:
由已知条件1+<,1++<,1+++<,可归纳猜想得出其第n个不等式为1+++…+
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