初三相似知识点及典型习题Word下载.docx
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3.推论的逆定理:
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即利用比例式证平行线)
4.定理:
平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
5.平行线等分线段定理:
三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等,难么在另一条直线上截得的线段也相等。
例一,如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是:
____________
例二,(2013•新疆)如图,△ABC中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,则BC的长是( )
重要结论:
梯形,在AD、BC、EF中,已知任何两条线段的长度,都可以求出第三条线段的长度。
例二,已知:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于点O,EF经过点O且和两底平行,交AB于E,交CD于F
求证:
OE=OF
(三)相似三角形
相似三角形的判定:
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS(ASA)
HL
相似三角形
的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
相似三角形的性质:
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比(相似三角形的对应边的比,叫做相似比)。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例一,(2013•内江)如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:
S△ABF=4:
25,则DE:
EC=( )
A.
2:
5
B.
3
C.
3:
D.
2
例
G、H分别在AC、AB上,BC=15cm,BC边上的高AD=10cm,求正方形的面积。
射影定理(要记住)
例一,如图,在矩形ABCD中,E是CD的中点,BE⊥AC于F,过F作FG∥AB交AE于G,
AG2=AF·
FC
常用到的性质:
※等腰三角形的“三线合一”:
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
例一,(2013•自贡)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=
,则△EFC的周长为( )
11
10
9
8
例二,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积。
例三,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AD平分∠CAB交BC于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于点G,AE·
AD=16,AB
,
(1)求证:
CE=EF
(2)求EG的长
※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的
直角三角形,其中一个锐角等于30º
,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60º
的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有:
①勾股定理:
(注意区分斜边与直角边)
②在直角三角形中,如有一个内角等于30º
,那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现)
※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
(注意着重号的意义)
<
直线与射线有垂线,但无垂直平分线>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理:
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。
(如图1所示,AO=BO=CO)
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理:
在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。
※平行四边的定义:
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
※平行四边形的性质:
平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
例一,(2013•恩施州)如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:
FC=( )
1:
4
例二,(2013•雅安)如图,在▱ABCD中,E在AB上,CE、BD交于F,若AE:
BE=4:
3,且BF=2,则DF= ..
40、(2013•巴中)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B
(1)求证:
△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6
,AF=4
,求AE的长.
※平行线之间的距离:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:
具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
例一,(2013•苏州)如图,点P是菱形ABCD对角线AC上的一点,连接DP并延长DP交边AB于点E,连接BP并延长交边AD于点F,交CD的延长线于点G.
△APB≌△APD;
(2)已知DF:
FA=1:
2,设线段DP的长为x,线段PF的长为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x=6时,求线段FG的长.
※矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:
具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)
※矩形的判定:
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例一,(2013泰安)如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°
,E为AB的中点,
AC2=AB•AD;
(2)求证:
CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求
的值.
64、(2013•娄底压轴题)如图,在△ABC中,∠B=45°
,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
;
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?
并求出最大面积;
正方形的定义:
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)
※正方形常用的判定:
有一个内角是直角的菱形是正方形;
邻边相等的矩形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形。
例一,(2013•衡阳)如图,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4.
(1)试说明AE2+CF2的值是一个常数;
(2)过点P作PM∥FC交CD于点M,点P在何位置时线段DM最长,并求出此时DM的值.
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):
※梯形定义:
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
例一,(2013•雅安)如图,DE是△ABC的中位线,延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S△CEF:
S四边形BCED的值为( )
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
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