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a/2};
a=2时g'
(x)=(2x-1)^2/[x(1-x)]>
=0,原不等式的解集为{x|1/2<
1};
2时x1,2=[a土√(a^2-4)]/4,x2<
x1时g'
0,g(x)↓,
x2<
a/4时不等式成立,
g(0+)=-∞,g(a+/2)=+∞,g(x)在(0,a/2)内连续,所以存在
x3∈(0,x2),x4∈(x2,a/2),使得g(x3)=g(x4)=0,(x3,x4无法用a表示),
原不等式的解集为{x|x3<
a/4,或x4<
a/2}.
3.已知整数边长的周长值的一半与面积相等,求所有这样的三角形.
设三边分别为a,b,c,p=(a+b+c)/2,面积为△,则
内切圆半径r=△/p=1,
由内切圆半径公式,(p-a)(p-b)(p-c)=p=(p-a)+(p-b)+(p-c),
方程xyz=x+y+z(x≤y≤z)恰有唯一正整数解x=1,y=2,z=3.
∴p=6,(a,b,c)=(3,4,5),满足题设的三角形是唯一的。
4.已知命题p:
函数y=loga(1-2x)在定义域上单调递增.
命题q:
不等式(a-2)x^2+2(a-2)x-4<
0对任意实数x恒成立,
若p则q是真命题,求实数a的取值范围.
若p则q是真命题,分两种情况:
1.p假,a>
1;
2.p真,0<
1,
==>
q真,
a-2<
0,且(a-2)^2+16(a-2)=(a-2)(a+14)<
0,
-14<
2.
∴0<
1.
综上,a>
1,或0<
1.
5.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,Sn-1为等差数列
(1)求{an}通项公式;
(2)设bn=1-Sn问是否存在{bn}为等比数列,若存在,求出a1的值,若不存在,说明理由
(1)-a1,Sn,Sn-1为等差数列,
∴2Sn=S<
n-1>
-a1,
以n+1代n,得
2S<
n+1>
=Sn-a1,
相减得2a<
=an,
∴a<
/an=1/2,
∴an=a1/2^(n-1),
(2)Sn=2a1(1-1/2^n),
bn=1-Sn=1-2a1(1-1/2^n),
{bn}为等比数列,
<
b<
/bn={1-2a1[1-1/2^(n+1)]}/[1-2a1(1-1/2^n)]=常数k,
1-2a1[1-1/2^(n+1)]=k-2a1k(1-1/2^n),
a1(1-2k)/2^n=(k-1)(1-2a1),
k=1/2,a1=1/2.
6.已知函数f(x)=αsinx+αcosx+1-α,α∈R,x∈[0,π/2]。
若定义在非零实数集上的奇函数g(x)在(0,+∞)是增函数,且g
(2)=0,求当g[f(x)]<0时α的取值范围
f(x)=αsinx+αcosx+1-α
=a[(√2)sin(x+π/4)-1]+1,α∈R,x∈[0,π/2],
(√2)sin(x+π/4)∈[1,√2],
f(x)介于1与a(√2-1)+1之间.
奇函数g(x)在(0,+∞)是增函数,
∴g(x)在(-∞,0)↑,
由g[f(x)]<0=g(土2),得
f(x)<
2,或f(x)<
-2(舍),
a(√2-1)+1<
2,
∴-(√2+1)<
√2+1.
7已知函数f(x)=x²
+x-1,α,β为方程以f(x)=0的两个根(α>
β),f'
(x)是f(x)的导数,设A1=1,A(n+1)=An-[f(An)/f'
(An)](n=1,2,3…)
1)求α,β的值.
2)已知对任意的正整数n有An>
α,记Bn=ln[(An-β)/(An-α)](n=1,2,3...),求数列{Bn}的前n项和Sn
1)α=(-1+√5)/2,β=(-1-√5)/2.
2)f'
(x)=2x+1,
A<
=An-[An^2+An-1]/[2An+1]
=(An^2+1)/(2An+1),
[A<
-β]/[A<
-α]
=[An^2+1+(1+√5)(An+1/2)]/[An^2+1+(1-√5)(An+1/2)]
=[An^2+(1+√5)An+(3+√5)/2]/[An^2+(1-√5)An+(3-√5)/2]
=[(An-β)/(An-α)]^2,
∴B<
=2Bn,
∴数列{Bn}是以B1=ln[(1-β)/(1-α)]=2ln[(3+√5)/2]为首项,2为公比的等比数列,
∴Sn=2ln[(3+√5)/2]*(2^n-1).
8.已知四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠ABC=60°
,CD=1,AD=根号3,PA=PB=PC,M是线段PC上不同于P,C任意一点,且BM⊥PA
求证:
AB//平面PCD
求证平面PAD⊥平面PBC
求三棱锥P-ABC的体积
1)AB∥CD,AB不在平面PCD上,
∴AB∥平面PCD.
2)直角梯形ABCD中作CE⊥AB于E,AB‖CD,∠ABC=60,AE=CD=1,CE=AD=√3,
∴BE=1,∴AC=BC,
∴△ABC是等边三角形。
作PO⊥底面于O,
PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,
∴O是△ABC的中心,
∴AO⊥BC,
∴PA⊥BC,
已知PA⊥BM,
∴PA⊥平面PBC,
∴平面PAD⊥平面PBC.
3)由2),∠APB=∠BPC=∠CPA=90°
,
∴PC⊥PE,
∴PO^2=OC*OE=2/3,
PO=√6/3,
S△ABC=√3,
∴V(P-ABC)=√2/3.
9.三角形ABC中,AC=2,BC=6,已知点O是三角形ABC内一点,且满足OA+3OB+4OC=0(都是向量),求OC与(BA+2BC)的数量积
|AC|=|OC-OA|=2,
∴OC^2-2OA*OC+OA^2=4,
OA*OC=(OA^2+OC^2-4)/2,
同理,OC^2-2OB*OC+OB^2=36,
OB*OC=(OB^2+OC^2-36)/2,
由OA+3OB+4OC=0得
OA=-3OB-4OC,
平方得OA^2=9OB^2+24OB*OC+16OC^2
=9OB^2+12(OB^2+OC^2-36)+16OC^2
=21OB^2+28OC^2-432,①
OA*OC+3OB*OC+4OC^2=0,
∴(OA^2+OC^2-4)/2+3(OB^2+OC^2-36)/2+4OC^2=0,
∴OA^2+3OB^2+12OC^2=112,
24OB^2+40OC^2-432=112,
3OB^2=68-5OC^2,②
把②代入①,OA^2=7(68-5OC^2)+28OC^2-432=44-7OC^2,
OC*(BA+2BC)
=OC*(OA-OB+2OC-2OB)
=OC*(OA-3OB+2OC)
=OA*OC-3OB*OC+2OC^2
=(OA^2+OC^2-4)/2-3(OB^2+OC^2-36)/2+2OC^2
=(1/2)(OA^2-3OB^2+2OC^2-40)
=(1/2)(44-7OC^2+5OC^2-68+2OC^2-40)
=-32.
10在三角形ABC中,AB的模=AC的模=根号2,向量AC与向量CB的夹角为150度,则BC的模为多少?
AC和CB夹角为150°
向量AB=AC+CB
|AB|^2=(AC+CB)^2=|AC|^2+|CB|^2+2AC*CB
2=2+|BC|^2+2√2|CB|cos150°
|BC|^2-√6|BC|=0
(|BC|-√6)|BC|=0
|BC|=√6
解2:
CA和CB夹角C=180°
-150°
=30°
|AB|=|AC|,B=C=30°
,A=120°
。
由正弦定理
|BC|/sin120°
=|AB|/sin30°
|BC|=√3*√2=√6
11.在直角坐标系xOy中,设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数m,n,使得OC向量=mOA向量+nOB向量,则m^2+(n-3)^2的取值范围是什么?
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),
由向量OC=mOA+nOB得
x=mx1+nx2,y=my1+ny2,
A,B,C是圆x2^+y^2=1上相异三点,
∴1=x^2+y^2=(mx1+nx2)^2+(my1+ny2)^2
=m^2(x1^2+y1^2)+2mn(x1x2+y1y2)+n^2(x2^2+y2^2)
=m^2+n^2+2mn(x1x2+y1y2),
由柯西不等式,(x1x2+y1y2)^2<
=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)=1,
∴-1<
=x1x2+y1y2<
=1,m,n>
∴m^2+n^2-2mn<
=1<
=m^2+n^2+2mn,
∴|n-1|<
=m<
=n+1,
∴m^2+(n-3)^2>
=2n^2-8n+10=2(n-2)^2+2>
=2,当m=1,n=2时取等号;
m^2+(n-3)^2<
=2n^2-4n+10,无最大值。
综上,m^2+(n-3)^2的取值范围是[2,+∞)
12.设函数f(x)=mx^-mx-1.
1.f(x)<0恒成立,求m的范围
2.对于m属于【-2,2】,f(x)<-m+5恒成立,求x的范围.
1.f(x)<0恒成立,分两种情况:
1)m=0时f(x)=-1<
0;
2)m<
0,△=(-m)^2+4m=m(m+4)<
-4<
m<
0.
综上,-4<
=0.
2.m∈[-2,2],f(x)<
-m+5恒成立,
g(m)=m(x^2-x+1)-6<
g
(2)=2(x^2-x+1)-6<
0,且g(-2)=-2(x^2-x+1)-6<
化为x^2-x-2<
0,且x^2-x+4>
解得-1<
13在等比数列{an}中,已知a1>
0,q≠0且q>
-1,bn=a<
n+2>
+a<
,数列{an}、{bn}的前几项之和An、Bn,比较An、Bn的大小
/bn=[a<
n+3>
]/[a<
]=q,
∴Bn/An=(a3+a2)/a1=q^2+q,
-1<
q<
0时Bn/An<
0,An=a1(1-q^n)/(1-q)>
∴Bn<
An;
q>
0时,An=a1[1+q+……+q^(n-1)]>
(-1+√5)/2时,0<
Bn/An<
1,Bn<
q=(-1+√5)/2时Bn=An;
(-1+√5)/2时Bn>
An.
已发博文
14.不用导数,求以A(0,1)为圆心的圆与函数y=1/(x-1)的图像有公共点,求圆A的半径的最小值.
设圆A:
x=rcost,y=rsint+1(t为参数),代入y=1/(x-1)得
(rcost-1)(rsint+1)=1,
r^2*sintcost+r(cost-sint)-2=0,①
设u=cost-sint(这是关键),则u∈[-√2,√2],sintcost=(1-u^2)/2,
代入①*(-2),整理得
r^2*u^2-2ru+4-r^2=0,②
△/4=r^2-r^2(4-r^2)=r^2(r^2-3)≥0,
∴r^2≥3,r≥√3.
r=√3时,②变为3u^2-2√3u+1=0,u=1/√3.
∴圆A的半径的最小值为√3.
15.已知a1=1/2,且{an}的前n项和满足Sn=n^2an-n(n-1),求{an}的通项公式.
Sn=n^2an-n(n-1),①
n>
1时S<
=(n-1)^2a<
-(n-1)(n-2),②
①-②,an=n^2an-(n-1)^2a<
+2-2n
∴0=(n+1)an-(n-1)a<
-2,
∴(an-1)/(a<
-1)=(n-1)/(n+1),
(a<
-1)/(a<
n-2>
-1)=(n-2)/n,
……
(a2-1)/(a1-1)=(2-1)/(2+1),
累乘得(an-1)/(a1-1)=1*2/[n(n+1)],a1=1/2,
∴an=1-1/[n(n+1)].
n=1时上式也成立。
16.已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上,三次都正面朝上的概率为1/27
(1)求将这枚硬币连抛三次,恰有两次正面朝上的概率;
(2)若将这枚硬币连抛两次之后,再另抛一枚质地均匀的硬币一次.在这三次抛掷中,正面朝上的总次数为ξ,求ξ的分布列及期望Eξ
设抛残缺不均匀的硬币落地正面朝上的概率为p,依题意p^3=1/27,
∴p=1/3.
(1)将这枚硬币连抛三次,恰有两次正面朝上的概率
=c(3,2)*p^2*(1-p)=3*(1/3)^2*2/3=2/9.
(2)ξ=0时P(0)=(2/3)^2*1/2=2/9,
同理,P
(1)=c(2,1)*1/3*2/3*1/2+(2/3)^2*1/2=2/9+2/9=4/9,
P
(2)=(1/3)^2*1/2+c(2,1)*1/3*2/3*1/2=1/18+4/18=5/18,
P(3)=(1/3)^2*1/2=1/18.
ξ...........0.....1......2.....3
P(ξ)....2/9...4/9...5/18..1/18.
Eξ=∑<
ξ=0,3>
ξ*P(ξ)=0*2/9+1*4/9+2*5/18+3*1/18
=(8+10+3)/18=7/6.
17.O为三角形ABC的外心,AB向量的模=16,AC向量的模=10根号2,诺AO向量=xAB向量+yAC向量,且32x+25y=25,求AO向量.
解:
由32x+25y=25得y=1-32x/25,
∴向量AO=xAB+(1-32x/25)AC,
BO=BA+AO=(x-1)AB+(1-32x/25)AC,
CO=CA+AO=xAB-32x/25*AC,
O为△ABC的外心,
∴AO^2=BO^2=CO^2,
|AB|=16,|AC|=10√2,
∴256x^2+200(1-32x/25)^2+2x(1-32x/25)AB*AC
=256(x-1)^2+200(1-32x/25)^2+2(x-1)(1-32x/25)AB*AC
=256x^2+200(32x/25)^2-64x^2/25*AB*AC,
∴200(1-64x/25)+2xAB*AC=0,
256(1-2x)+200(1-64x/25)+2(57x/25-1)AB*AC=0.
∴100-256x+xAB*AC=0,①
228-512x+(57x/25-1)AB*AC=0.②
①*(57x/25-1)-②*x,得
(100-256x)(57x/25-1)-x(228-512x)=0,
(100-256x)(57x-25)-25x(228-512x)=0,
-256*57x^2+(5700+6400)x-2500
+25*512x^2-5700x=0,
-7*256x^2+6400x-2500=0,
7*64x^2-1600x+625=0,
△=1600^2-4*7*64*625
=100^2(256-112)
=100^2*12^2,
x1=(1600+1200)/(14*64)=25/8,
x2=25/56,
∴向量AO=xAB+(1-32x/25)AC=(25/8)AB-3AC或(25/56)AB+(3/7)AC.
18.已知三角形ABC的三条边AB=4,AC=3,BC=2倍根号3,O为三角形ABC的外心,求向量AO与向量BC的数量积
记|OA|=r,由余弦定理,cosCAO=3/(2r),cosBAO=2/r,
∴向量AO*BC=AO*(AC-AB)=r(3cosCAO-4cosBAO)=9/2-8=-3.5.
19.在平面直角坐标系中,一条直线L经过点M(√3,1)与X轴,Y轴分别交于A.B两点,且MA=MB。
圆O1是三角形AOB的内切圆,半径为R1。
圆O2与圆O1,直线l,y轴分别相切,半径为R2,圆O3与圆O2,直线l,y轴分别相切,半径为R3……,按此规律,则圆O2010的半径R2010=?
直线L经过点M(√3,1)与X轴,Y轴分别交于A.B两点,且MA=MB,
∴A(2√3,0),B(0,2),∠ABO=60°
R1=√3-1。
∵圆Oi与直线L、y轴相切,
∴圆心Oi在∠ABO的平分线上,∠OBOi=30°
,i=1,2,3,……。
作OiNi⊥y轴于Ni,作O<
i+1>
Pi⊥OiNi,则∠OiO<
Pi=30°
,OiPi=Ri-R<
∵圆Oi与圆O<
外切,
∴OiO<
=Ri+R<
=2(Ri-R<
),
∴R<
/Ri=1/3,
∴R2010=R1*(1/3)^2009=(√3-1)/3^2009.
20.反比例函数xy=k的图像,-4≤x≤-1时,-4≤y≤-1.若M,N分别在反比例函数图像的两分支上的两个动点。
若以点O,点M,点N为顶点,组成一个三角形,求△MNO的周长的取值范围
-4≤x≤-1时,-4≤y≤-1,∴k=4.
设M(m,4/m),N(n,4/n),m>
0>
n,m+n≠0,
OM=√[m^2+(4/m)^2]>
=√(2m^2*16/m^2)=2√2,当m=土2时取等号,
同理ON|min=2√2.
下面用导数求w=MN^2=(m-n)^2+(4/m-4/n)^2=(m-n)^2*[1+16/(mn)^2]的驻点坐标:
w’m=2(m-n)[1+16/(mn)^2]-32(m-n)^2/(m^3n^2)=0,
化简得m^3n^2+16m-16(m-n)=0,m^3n=-16,
同理由w’n=0得n^3m=-16.
解得m=2,n=-2,这时w=32,|MN|=4√2.
∴△MNO的周长L=OM+ON+MN>
8√2,为所求。
21.设函数f(x)=e^x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).
(1)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(2)当a=1╱3时,若存在x1,x2∈[0,+∞)使得f(x1)=g(x2),求x2-x1的最小值;
(3)当x∈[0,+∞)时,F(x)≥F(-x)恒成立,求a的取值范围.
(1)F'
(x)=e^x+cosx-a,
x=0是F(x)的极值点,
∴F'
(0)=2-a=0,a=2.
(2)令x=x1,由f(x1)=g(x2)得x2=3f(x),
设w=x2-x1=3(e^x+sinx)-x,x>
=0,
则w’=3(e^x+cosx)-1>
0,w↑,
∴w|min=w(0)=3,为所求。
(3)x∈[0,+∞)时,F(x)≥F(-x)恒成立,
e^x+sinx-ax>
=e^(-x)-sinx+ax,
e^x-e^(-x)+2sinx>
=2ax,
x=0时上式成立;
0时a<
=[e^x-e^(-x)+2sinx]/(2x),记为h(x),
h'
(x)={x[e^x+e^(-x)+2cosx]-[e^x-e^(-x)+2sinx]}/(2x^2)
={(x-1)e^x+(x+1)e^(-x)+2xcosx-2sinx}/2x^2),
设H(x)=(x-1)e^x+(x+1)e^(-x)+2xcosx-2sinx,x>
则H'
(x)=xe^x-xe^(-x)-2xsinx=x[e^x-e^(-x)-2sinx],
设G(x)=e^x-e^(-x)-2sinx,x>
0,则
G'
(x)=e^x+e^(-x)-2cosx>
∴G(x)↑,G(x)>
G(0)=0,
∴H'
0,H(x)↑,H(x)>
H(0)=0.
∴h'
0,h(x)↑,h(x)>
h(0+)=2,
=2.
22.y=f(x)为偶函数且对任意x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1,求f(x)的解析式。
解1:
令x=y=0,得f(0)=2f(0)+1,f(0)=-1.
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)-2x^2+1,
y=f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴f(x)=x^2-1.
令y=x,得f(2x)=2f(x)+2x^2+1,
设f(2x)+a(2x)^2+b=2[f(x)+ax^2+b],则
-2ax^2+b=2x^2+1,a=-1,b=1.
∴f(2x)-(2x)^2+1=2[f(x)-x^2+1],
∴f(x)-x^2+1=2^n[f(x/2^n)-(x/2^n)^2+1]
→2^n[f(0)-(x/2^n)^2+1]→0,(n∈N+,n→∞),
23.已知方程x²
+mx+4=0和x²
-(m-2)x-16=0有一个相同的根.求m值及这个相同的根
解1x²
+mx+4=0①和x²
-(m-2)x-16=0②有一个相同的根,
①-②,(2m-2)x+20=0,x=10/(1-m),③
代入①,100/(1-m)^2+10m/(1-m)+4=0,
两边都乘以(1-m)^2/2,得
50+5m(1-m)+2(1-m)^2=0,
50+5m-5m^2+2-4m+2m^2=0,
52+m-3m^2=0,
3m^2-m-52=0,
解得m=-4,或13/3.
m=-4时由③,相同的根=2,
同理,m=13/3时相同的根=-3.
解2x²
①+②,2x^2+2x-12=0,
x^2+x-6=0,
解得x1=2,x2=-3.
由①,m=-(
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