B卷08考题答案答案Word下载.docx
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[][[[]][[]]][]0CABEAEABEBEAB,所以上式化简为:
(,)XRtt22[]cos()cos()[]sin()sin()EAttEBtt5[cos()cos()sin()sin()]tttt5cos(),故X(t)是平稳的,同理Y(t)也是平稳的。
(22)(,)[()()]XYRttEXtYt{[cos()sin()][cos()sin()]}EAtBtBtAt22[cos()sin()sin()cos()cos()cos()sin()sin()]EAttBttABttABtt22[]cos()sin()[]sin()cos()5sinEAttEBtt所以,XX,YY是联合平稳的。
二、(010分)两随机变量X,Y,其联合概率密度函数:
(),0,1XYfxyAxyxy,,另有随机变量量Z=X+Y。
(1)确定常数AA
(2)求随机变量YX,Y的特征函数,并求ZX,Z的均值。
解:
(11)因为联合概率密度函数需要满足归一性,所以:
1100,1()XYfxydxdyAxydxdyA(22)XX的边缘概率密度函数:
101()(,)(),012XXYfxfxydyxydyxxXX的特征函数:
120()(exp())()1322()22juxXXjujujuxuEjuXfxedxjujueexedxu1017()()212XEXxfxdxxxdx()21411126EZEXYEXEYEX三、设有一脉冲数字通信系统,它传送的信号是脉宽为TT的脉冲信号,每隔TT发出一个脉冲。
脉冲的幅度()Vt是一个随机变量,它可能的取值有四个:
1[()2][()1][()1][()2]4PVtPVtPVtPVt。
不同周期内脉冲幅度是相互独立的,图中给出了其中的一条样本函数。
试:
a)计算随机信号()Vt的一维概率密度函数(;
)fvt;
b)计算随机信号()Vt的均值函数和相关函数;
c)求随机信号()Vt的二维概率密度函数12(,;
1.5,5.5)fvvTT。
(010分)V(t)t0+1-1-2+2T2T3T解:
(11)1[()2][()1][()1][()2]4PVtPVtPVtPVt1(;
)
(2)
(1)
(1)
(2)4fvtvvvv(22)1111[()]
(2)
(1)
(1)
(2)04444EVt当12,tt在同一周期内时,即12ttTT时:
22222121211(,)[()()][()]
(2)
(1)
(1)
(2)2.54RttEVtVtEVt当12,tt在不同周期内时,即12ttTT时:
121212(,)[()()][()][()]0RttEVtVtEVtEVt(33)(1.5)(5.5)(1.5)(5.5)VTVTVTVT与在不同周期内,与彼此独立1212(,;
1.5,5.5)(;
1.5)(;
5.5)fvvTTfvTfvT111122221
(2)
(1)
(1)
(2)
(2)
(1)
(1)
(2)16vvvvvvvv四、若随机信号0()cos()XttNta,其中0a和是常数,随机变量[0,2)U。
高斯白噪声()Nt满足:
()(0,1)NtN,且与独立。
试求:
a)随机信号()Xt的均值函数;
b)随机信号()Xt的协方差函数12(,)Ctt和相关函数12(,)Rtt。
解:
(11)0[()][cos()]0EXtEtNta(22)()Nt是高斯白噪声,所以1212(,)()NRtttt由于()Nt与独立,所以0cos()tNta与独立又因为[()]0ENt,所以0cos()tNta与不相关,正交12011022(,)cos()cos()XRttEtNttNtaa2010201202112coscoscos()cos()()()EtttNttNtNtNtaaa010201202112coscoscos()cos()()()EtttNttNtNtNtaa201212cos()()2tttta212121201212(,)(,)[()][()]cos()()2XXCttRttEXtEXttttta五、考虑两个各态历经的噪声电压的和:
12()()ntntnt,1()nt为的功率为55瓦,2()nt的功率为010瓦,1()nt的直流分量为2伏,2()nt的直流分量为1伏,确定在以下条件下()nt的功率:
(aa)1()nt和2()nt是正交的。
(bb)1()nt和2()nt是互不相关的。
(cc)1()nt和2()nt的互相关在0时为22。
(010分):
(aa)1()nt和2()nt是正交的,有12112212()()(,)0nnEntntRtt。
22221211222212()()2()()51015PEntEntntEntntntntEntEntwatts(bb)1()nt和2()nt是互不相关的,121212121122(,)(,)()()0nnnnCttRttEntEnt2221122221112222()()2()()52
(2)
(1)1011PEntEntntntntEntEntEntEntwatts(cc)1()nt和2()nt的互相关在0时为22,有1212()()(0)2nnEntntR。
12222112222122()()2(0)5221019nnPEntEntntntntEntREntwatts、六、(11)判断以下函数是否满足自相关函数的性质:
(aa)00sin(bb),0aea(22)判断以下函数是否能成为实过程的功率谱函数:
(aa)2452fe(bb)25(16)f(010分):
(11)判断以下函数是否满足自相关函数的性质:
(aa)00sin,00
(1)()();
(2)(0)();
sin(3)_tan.RRRRFNonnegativerecgleYes(bb),0aea
(1)()();
RRRR不满足No(22)判断以下函数是否能成为实过程的功率谱函数:
(aa)2452fe
(1);
(2)()0;
(3)()()XXXalwaysrealSfSfSfNo)(bb)25(16)f
(1);
(3)()()XXXalwaysrealSfSfSfNo七、设随机信号()()YtXtZ,其中X(t)是一均值各态历经信号。
试讨论ZZ在以下两种情况下,信号Y(t)的均值各态历经性。
(11)在ZZ为常数时?
?
(22)在ZZ为方差不等于00的随机变量时?
(010分)解:
Y(t)的均值为:
[][][][]EYtEXtZEXtEZY(t)的时间平均为:
[][][][][][]AYtAXtZAXtAZEXtAZ(11)在在ZZ为常数时:
[][]AYtEYt信号Y(t)具有均值各态历经性。
(22)在在ZZ为方差不等于00的随机变量时:
[][]AYtEYt信号Y(t)不具有均值各态历经性。
八、已知零均值平稳高斯噪声000()()cos()sin,200Xtittqtt其功率谱密度如下图所示,试求:
(010分)3()Xsww1900190210210(11)同相与正交分量的自相关函数;
(22)同相与正交分量的联合密度函数(,;
)iqfiqtt。
(11)因为()Xt是零均值平稳随机信号,所以有:
000()()()()0XXiqSSSS其它功率谱图形如下:
同相与正交分量的自相关函数为:
sin10()()3iqRR(22)正交分量的一维概率密度函数为:
2221(;
)2XiiXfite,2221(;
)2XqqXfqte式中,230X正交分量在同一时刻独立,其联合概率密度函数为:
222221(,;
)(;
)(;
)2XiqiqiqXfiqttfitfqte九、如图所示LRL低通滤波器,输入电压()cos(4)Xtat,为[[0,2]]上均匀分布的随机变量,aa为常数。
求11.Y(t)是否广义平稳?
2.输出电压Y(t)的功率谱)(YS。
33.Y(t)的相关函数),(ttRY及输出信号功率。
)(tx)(tyLR)(ti(010分)解:
1.3()()iqswsw、w1001012122212cos40,cos4cos4cos4cos422XEXtEatRttEatataatt所以X(t)是广义平稳的,通过LRL电路,Y(t)也是广义平稳的L2.RL电路的传递函数:
22222RRHHRjLRL2442XaS2YXSHS222222222244244162RaRLRaRL3.22222cos4162YRaRRL222220192YRaRRL十、设某积分电路输入输出之间满足以下关系()()ttTYtXd,式中,TT为积分时间。
1.求证输出功率谱密度为224()()sin2XYSTS2.求该系统的等效噪声带宽。
提示:
a.()()()YtXtht,而()()()htututT,是矩形方波。
b.22FTtriTSaT证明:
:
(11)因为()()ttTYtXd所以()()()htututT0/22sin/2TjtjtjTHjhtedthtedtTe所以222224sin22TTHjTSa2222002224()()sin22224()sin2YXXNNTTTSSHjSaST0()2YNTRtriT022000/211120YNRNTBNNTTH
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