高考数学十年真题分类汇编专题05三角函数.docx
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高考数学十年真题分类汇编专题05三角函数
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学
专题05三角函数
1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0,,2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵2sin2α=cos2α+1,
∴4sinαcosα=2cos2α.
∵α∈(0,,∴cosα>0,sinα>0,
∴2sinα=cosα.
又sin2α+cos2α=1,
∴5sin2α=1,即sin2α=.
∵sinα>0,∴sinα=.
故选B.
2.(2019·全国2·文T8)若x1=,x2=是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2B.C.1D.
【答案】A
【解析】由题意,得f(x)=sinωx的周期T==2=π,解得ω=2,故选A.
3.(2019·全国2·理T9)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )
A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|
C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为,且在区间()内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为,但在区间()内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.
4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g()=,则f()=( )
A.-2B.-C.D.2
【答案】C
【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.
f(x)=Asinωx.∴g(x)=Asinx.
∵g(x)的最小正周期为2π,∴=2π,∴ω=1.
∴g(x)=Asinx.
由g()=,得Asin,∴A=2.
∴f(x)=2sin2x.∴f()=2sin.故选C.
5.(2019·北京·文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A.4β+4cosβ
B.4β+4sinβ
C.2β+2cosβ
D.2β+2sinβ
【答案】B
【解析】(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=|OA||OB|sin2β=2sin2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为(2|OA|sinβ)(OP+|OA|cosβ)=2sinβ(2+2cosβ)=4sinβ+2sin2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sinβ,故选B.
(方法二)观察图象可知,当P为弧AB的中点时,阴影部分的面积S取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为βr2+S△POB+S△POA=4β+|OP||OB|sin(π-β)+|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4sinβ,故选B.
6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在单调递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
【答案】D
【解析】∵f(x)=sin(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,
∴5π≤2πω+<6π,
解得≤ω<,故④正确.
画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确.
当0 又≤ω<,∴, ∴③正确. 综上可知①③④正确.故选D. 7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα A.B.C.D. 【答案】C 【解析】若P在上,则由角α的三角函数线知,cosα>sinα,排除A;若P在上,则tanα>sinα,排除B;若P在上,则tanα>0,cosα<0,sinα<0,排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a-b|=( ) A.B.C.D.1 【答案】B 【解析】因为cos2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tanα=±. 由于a,b的正负性相同,不妨设tanα>0,即tanα=, 由三角函数定义得a=,b=,故|a-b|=. 9.(2018·全国3·T4)若sinα=,则cos2α=( ) A.B.C.-D.- 【答案】B 【解析】cos2α=1-2sin2α=1-2×. 10.(2018·全国3·文T6)函数f(x)=的最小正周期为( ) A.B.C.πD.2π 【答案】C 【解析】f(x)= =sin2x, ∴f(x)的最小正周期是π.故选C. 11.(2018·全国1·文T8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B 【解析】因为f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=3×+1=cos2x+,所以函数f(x)的最小正周期为=π,当cos2x=1时,f(x)max=4. 12.(2018·天津·理T6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减 C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减 【答案】A 【解析】函数y=sin y=sin=sin2x. 当-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递增. 当+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递减, 结合选项,可知y=sin2x在上单调递增.故选A. 13.(2018·全国2·理T10)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( ) A.B.C.D.π 【答案】A 【解析】f(x)=cosx-sinx=-sinx·-cosx·=-sinx-, 当x∈,即x-时, y=sinx-单调递增,y=-sinx-单调递减.
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