高考数学二轮复习第一部分专题一第四讲不等式习题.docx
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高考数学二轮复习第一部分专题一第四讲不等式习题
第四讲不等式
限时规范训练
A组——高考热点强化练
一、选择题
1.设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )
A.a3>b3B.<
C.ab>1D.lg(b-a)<a
解析:
∵0<a<b<1,∴0<b-a<1-a,∴lg(b-a)<0<a,故选D.
答案:
D
2.已知a,b是正数,且a+b=1,则+( )
A.有最小值8B.有最小值9
C.有最大值8D.有最大值9
解析:
因为+=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=且a+b=1,即a=,b=时取“=”,所以+的最小值为9,故选B.
答案:
B
3.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( )
A.-7B.-1
C.1D.2
解析:
画出可行域如图中阴影部分所示,平移直线3x-y=0,可知直线z=3x-y在点A(-2,1)处取得最小值,故zmin=3×(-2)-1=-7,选A.
答案:
A
4.若对任意正数x,不等式≤恒成立,则实数a的最小值为( )
A.1B.
C.D.
解析:
依题意得当x>0时,a≥恒成立.又因为=x+≥2=2,当且仅当x=>0,
即x=1时取等号,的最小值为2,的最大值是,所以a≥,a的最小值是,故选C.
答案:
C
5.若x,y满足则z=x+2y的最大值为( )
A.0B.1
C.D.2
解析:
由x,y满足可得所表示的可行域如图所示.
又∵z=x+2y,∴y=-x+z,
∴目标函数在x=0与x+y-1=0的交点处取得最大值.
∵∴∴zmax=0+2×1=2.
答案:
D
6.不等式组表示的平面区域的面积为( )
A.7B.5
C.3D.14
解析:
作出可行域如图所示.
可得A,B(-2,-1),所以不等式组
表示的平面区域的面积为×4×+×4×1=7,故选A.
答案:
A
7.若a,b,c为实数,则下列命题为真命题的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2B.若a<b<0,则a2>ab>b2
C.若a<b<0,则<D.若a<b<0,则>
解析:
选项A错,因为c=0时不成立;选项B正确,因为a2-ab=a(a-b)>0,ab-b2=b(a-b)>0,
故a2>ab>b2;选项C错,应为>;选项D错,因为-==<0,所以<.
答案:
B
8.已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A.[-1,1]B.[-2,2]
C.[-2,1]D.[-1,2]
解析:
法一:
当x≤0时,x+2≥x2,∴-1≤x≤0,①
当x>0时,-x+2≥x2,∴0 由①②得原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}. 法二: 作出函数y=f(x)和函数y=x2的图象,如图,由图知f(x)≥x2的解集为[-1,1]. 答案: A 9.已知x,y满足条件则z=的最大值为( ) A.2B.3 C.-D.- 解析: 不等式组对应的平面区域是以点(3,8),(3,-3)和为顶点的三角形,在点处z取得最大值3,故选B. 答案: B 10.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元B.120元 C.160元D.240元 解析: 设底面矩形的一条边长是xm,总造价是y元,把y与x的函数关系式表示出来,再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知,体积V=4m3,高h=1m,所以底面积S=4m2,设底面矩形的一条边长是xm,则另一条边长是m,又设总造价是y元,则y=20×4+10×≥80+20=160,当且仅当2x=,即x=2时取得等号,故选C. 答案: C 11.若ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2,或x>4},则对于函数f(x)=ax2+bx+c应有( ) A.f(5) (2) (2) C.f(-1) (2) (2) 解析: ∵ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2,或x>4},∴a<0,而且函数f(x)=ax2+bx+c的图象的对称轴方程为x==1,∴f(-1)=f(3).又∵函数f(x)在[1,+∞)上是减函数,∴f(5)<f(3)<f (2), 即f(5)<f(-1)<f (2),故选B. 答案: B 12.已知点P(x,y)的坐标满足条件那么点P到直线3x-4y-13=0的距离的最小值为( ) A.B.2 C.D.1 解析: 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x-4y-13=0,结合图形(图略)可知,在该平面区域内所有的点中,到直线3x-4y-13=0的距离最近的点是(1,0).又点(1,0)到直线3x-4y-13=0的距离等于=2,即点P到直线3x-4y-13=0的距离的最小值为2,选B. 答案: B 二、填空题 13.设P(x,y)是函数y=(x>0)图象上的点,则x+y的最小值为________. 解析: 因为x>0,所以y>0,且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2,当且仅当x=y时等号成立. 答案: 2 14.若变量x,y满足约束条件则w=4x·2y的最大值是________. 解析: 作出可行域,w=4x·2y=22x+y,要求其最大值,只需求出2x+y=t的最大值即可,由平移可知t=2x+y在A(3,3)处取得最大值t=2×3+3=9,故w=4x·2y的最大值为29=512. 答案: 512 15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(x-2);则不等式xf(x)>0的解集为____________. 解析: 当x>0时,由条件xf(x)>0得f(x)>0,即x(x-2)>0⇒x>2.因为f(x)为奇函数,图象关于原点对称,则当x<0时,由xf(x)>0得f(x)<0,则由图象(图略)可得x<-2.综上,xf(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). 答案: (-∞,-2)∪(2,+∞) 16.已知a>b,ab≠0,则下列不等式中: ①a2>b2;②<;③a3>b3;④a2+b2>2ab. 恒成立的不等式的个数是________. 解析: 当a=1,b=-2时,显然①②不成立;对于③,当a,b异号时,a>0>b时,显然有a3>0>b3,当a,b同号时,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0,所以③恒成立;对于④,a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,即④恒成立.综上所述,不等式恒成立的个数为2. 答案: 2 B组——12+4高考提速练 一、选择题 1.如果a A.-<-B.ab C.-ab<-a2D.|a|<|b| 解析: 利用作差法逐一判断.因为-=<0,所以-<-,A正确;因为ab-b2=b(a-b)>0,所以ab>b2,B错误;因为ab-a2=a(b-a)<0,所以-ab>-a2,C错误;a|b|,D错误,故选A. 答案: A 2.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( ) A.(-3,0)B.[-3,0) C.[-3,0]D.(-3,0] 解析: 当k=0时,显然成立;当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则解得-3<k<0.综上,满足不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0],故选D. 答案: D 3.已知直线ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是( ) A.9B.8 C.4D.2 解析: 圆x2+y2-2y-5=0化成标准方程,得x2+(y-1)2=6,所以圆心为C(0,1). 因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C,所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1. 因此+=(b+c)=++5.因为b,c>0,所以+≥2=4.当且仅当=时等号成立. 由此可得b=2c,且b+c=1,即b=,c=时,+取得最小值9. 答案: A 4.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sinπx(0 A.+1B.4 C.3+2D.6 解析: ∵y=1+sinπx(0 答案: C 5.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为( ) A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞)D.(-1,0) 解析: f′(x)=2x-2-=,由f′(x)>0得>0, 解得-1<x<0或x>2,又f(x)的定义域为(0,+∞),∴f′(x)>0的解集为{x|x>2},故选C. 答案: C 6.设函数f(x)=则不等式f(x)>f (1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) 解析: 由题意得或解得-3<x<1或x>3. 答案: A 7.已知实数x,y满足若目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,则实数m的取值范围是( ) A.[-1,2]B.[-2,1] C.[2,3]D.[-1,3] 解析: 在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线-mx+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,10)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=-mx+y取得最大值;当平移到经过该平面区域内的点(2,-2)时,相应直线在y轴上的截距达到最小,此时z=-mx+y取得最小值,结合图形可知,实数m的取值范围是[-1,2],故选A. 答案: A 8.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是( ) A.B. C.D. 解析: 目标函数可化为y=-x+z.要使目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则-=kAC=1,则a=-1.故=,其几何意义为可行域内的点(x,y)与点M(-1,0)的连线的斜率,可知max=kMC=,故选A. 答案: A 9.已知点M(x,y)的坐标满足N点的坐标为(1,-3),点O为坐标原点,则·的最小值是( ) A.12B.5 C.-6D.-21 解析: 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,设z=·,则z=x-3y,作出直线l0: x-3y=0,并平移,易知z=·在点B处取得最小值,由得B(3,8),所以z=·的最小值为3-3×8=-21,故选D. 答案: D 10.函数f(x)=若f(x0)≤,则x0的取值范围是( ) A.B.∪ C.∪D.∪ 解析: 本题考查不等式的解法.利用分段函数建立不等式组求解.f(x0)≤⇔或解得0≤x0≤log2或≤x0≤2,故选C. 答案: C 11.定义在上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f′(x)·tanx成立,则( ) A.f>fB.f (1)<2fsin1 C.f>fD.f<f 解析: 因为0<x<,f(x)<f′(x)tanx,所以f′(x)sin-f()cosx>0,因为′=>0,所以y=在上单调递增,所以<,即f<f,故选D. 答案: D 12.若a<0,则下列不等式成立的是( ) A.
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- 高考 数学 二轮 复习 第一 部分 专题 第四 不等式 习题