江苏省盐城市届高三数学第四次模拟考试试题含答案Word格式.docx
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本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥ABCD中,AE⊥BC于E,M,N分别是AE,AD的中点.
(1)求证:
MN∥平面BCD;
(2)若平面ABC⊥平面ADM,求证:
AD⊥BC.
16.(本小题满分14分)
设向量a=(2cosx,2sinx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·
b-.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f()=-,且α∈(,π),求cosα的值.
17.(本小题满分14分)
如图,某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓,其中AB=99m,AD=49.5m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元;
另外,还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=1m),这部分的建设造价为每平方米31.4元.
(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积(结果保留π);
(2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低?
(计算中π取3.14)
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
0)经过点P(,1),且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上存在两点Q,R,使得△PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O,试求直线QR的方程.
19.(本小题满分16分)
设函数f(x)=x-aex(e为自然对数的底数,a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上具有单调性,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=(ex-e)f(x)有且仅有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1<
x2<
x3,x3-x1≤1,求证:
x1+x3≤.
20.(本小题满分16分)
在无穷数列{an}中,an>
0(n∈N*),记{an}前n项中的最大项为kn,最小项为rn,令bn=.
(1)若{an}的前n顶和Sn满足Sn=.
①求bn;
②是否存在正整数m,n满足=?
若存在,请求出这样的m,n;
若不存在,请说明理由;
(2)若数列{bn}是等比数列,求证:
数列{an}是等比数列.
2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修42:
矩阵与变换)
已知直线l:
2x-y-3=0在矩阵M=所对应的变换TM下得到直线l′,求直线l′的方程.
B.(选修44:
坐标系与参数方程)
已知点P是曲线C:
(θ为参数,π≤θ≤2π)上一点,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,求点P的坐标.
C.(选修45:
不等式选讲)
求不等式4-2|x+2|≤|x-1|的解集.
【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
23.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3,将这个玩具抛掷n次,记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an,数列{an}的前n和为Sn.记Sn是3的倍数的概率为P(n).
(1)求P
(1),P
(2);
(2)求P(n).
2019届高三模拟考试试卷(盐城)
数学参考答案及评分标准
1.{-1,0,3} 2. 3.2 4.6.8 5.37 6. 7.-1 8. 9.1 10.
11.(-6,4] 12.(-1,1) 13.8 14.(-∞,2e-]
15.证明:
(1)连结DE,因为M,N分别是AE,AD的中点,
所以MN∥DE.(2分)
又MN
平面BCD,DE
平面BCD,
所以MN∥平面BCD.(6分)
(2)因为平面ABC⊥平面ADM,平面ABC∩平面ADM=AE,
BC
平面BCD,BC⊥AE,
所以BC⊥平面ADM.(12分)
又AD
平面ADM,所以AD⊥BC.(14分)
16.解:
(1)因为f(x)=a·
b-=(2cosx,2sinx)·
(cosx,cosx)-
=2cos2x+2sinxcosx-=cos2x+sin2x=2sin(2x+).(4分)
所以f(x)的最小正周期为T==π.(6分)
(2)因为f()=-,所以2sin(α+)=-,即sin(α+)=-.(8分)
因为α∈(,π),所以α+∈(,),
故cos(α+)=-=-=-,(10分)
所以cosα=cos[(α+)-]=cos(α+)+sin(α+)
=×
(-)+×
(-)=-.(14分)
17.解:
(1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r.
当n=20时,共有19个空地,所以r==2m,(2分)
所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为
S=πr2+πr×
AD=π×
22+2π×
49.5=103π(m2).
即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103πm2.(6分)
(2)设两项费用的和为f(n).
因为r==,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为
()2+π×
49.5×
,(8分)
则f(n)=10nS+31.4×
1×
49.5(n-1)
=10n+31.4×
=31.4×
[+49.5×
+49.5(n-1)]
[+99(100-n)+198(n-1)]
(+100n+9502)=×
[100×
(+n)+9502].(12分)
所以,当且仅当=n,即n=10时,f(n)取得最小值.
答:
当大棚的个数为10个时,上述两项费用的和最低.(14分)
18.解:
(1)由题意,得(2分)
解得所以椭圆C的方程为+=1.(4分)
(2)设Q(x1,y1),R(x2,y2).因为QR⊥PO,而kPO=,所以kQR=-,
故可设直线QR的方程为y=-x+m.(6分)
联立消去y,得5x2-4mx+2m2-4=0.
由Δ>
0得32m2-20(2m2-4)>
0,解得m2<
10 (*),
且x1+x2=,x1x2=.(8分)
又QO⊥PR,所以kQO·
kPR=-1,得·
=-1,
即·
=-1,整理,得3x1x2-m(x1+x2)+m2-m=0,(12分)
所以3×
-m×
+m2-m=0,
即3m2-5m-12=0,解得m=3或m=-均适合(*)式.(14分)
当m=3时,直线QR恰好经过点P,不能构成三角形,不合题意,故舍去.
所以直线QR的方程为y=-x-.(16分)
(注:
若增解未舍的,扣1分)
19.
(1)解:
当a=1时,f(x)=x-ex,f′(x)=1-ex,f′
(1)=1-e,f
(1)=1-e,
故f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(1-e)=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x.(2分)
(2)解:
由f′(x)=1-aex,
①若函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,则f′(x)=1-aex≥0恒成立,得a≤e-x恒成立.
∵x∈(0,1),∴e-x∈(,1),∴a≤;
(5分)
②若函数f(x)在区间(0,1)上单调递减,则f′(x)=1-aex≤0恒成立,得a≥e-x恒成立.
∵x∈(0,1),∴e-x∈(,1),∴a≥1.
综上,a的取值范围是(-∞,]∪[1,+∞).(8分)
(3)证明:
函数g(x)=(ex-e)f(x)的零点即为方程(ex-e)f(x)=0的实数根,
故ex-e=0或f(x)=0.
由ex-e=0,得x=1,(9分)
∴f(x)=0有且仅有2个不等于1的不同零点.
由f(x)=0,得-a=0,设h(x)=-a,则h′(x)=.
由h′(x)=>
0,得x<
1;
由h′(x)=<
0,得x>
1.
故h(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故h(x)=0有且仅有2个不等实数根,且1个根小于1,1个根大于1.
∵g(x)=(ex-e)f(x)有且仅有3个不同的零点x1,x2,x3,x1<
x3,
∴x1<
x2=1<
x3,x1,x3为h(x)=-a=0的2个不等实数根,(12分)
∴x1=aex1,x3=aex3,两式相减,得x3-x1=a(ex3-ex1),∴a=,
两式相加,得x1+x3=a(ex1+ex3)=(ex1+ex3)=(x3-x1).
设x3-x1=t,由x1<
x3且x3-x1≤1,得0<
t≤1,x1+x3=.
设φ(t)=,t∈(0,1],(14分)
则φ′(t)=.设p(t)=e2t-2tet-1,t∈(0,1],则p′(t)=2et(et-t-1).
设q(t)=et-t-1,t∈(0,1],则q′(t)=et-1>
0在t∈(0,1]上恒成立,
∴q(t)=et-t-1在(0,1]上单调递增,∴q(t)>
q(0)=0在(0,1]上恒成立,
则p′(t)>
0在(0,1]上恒成立,∴p(t)在(0,1]上单调递增,
∴p(t)>
p(0)=0在(0,1]上恒成立,则φ′(t)>
0在(0,1]上恒成立,
∴φ(t)在(0,1]上单调递增,
∴φ(t)≤φ
(1)=,即x1+x3≤.(16分)
20.
(1)解:
①在Sn=中,令n=1,得a1=S1=,解得a1=1,所以Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n,
综上,an=n(n∈N*).(2分)
显然{an}为单调递增数列,所以kn=an=n,rn=a1=1,所以bn=.(4分)
②假设存在满足条件的正整数m,n,则=,所以=×
.
设cn=,则cn+1-cn=-=,所以c1=c2>
c3>
c4>
c5>
….
由=×
,得cm=cn<
cn,所以m>
n,则m≥n+1.(6分)
当m=n+1时,=显然不成立,
当m>
n+1时,==2m-n-1.
设m-n-1=t,则t∈N*,=2t,得n=.(8分)
设dn=,则dn+1-dn=-=<
0恒成立,
所以数列{dn}单调递减,而d1=2,d2=1,d3=<
1,则n≥3时,dn<
1恒成立,
故方程n=的解有且仅有t=1,n=2或t=2,n=1.
故满足条件的m,n存在,m=4,n=1或n=2.(10分)
(2)证明:
因为an>
0(n∈N*),且kn,rn分别为{an}前n项中的最大项和最小项,
所以kn+1≥kn,rn+1≤rn.设数列{bn}的公比为q,显然q>
0,
①当q=1时,=1,得=,
若kn+1>
kn,则rn+1<
rn,由kn与rn的含义可知kn+1>
kn与rn+1<
rn不可能同时成立,
故kn+1=kn,则rn+1=rn,则kn=k1=a1,rn=r1=a1,所以an=a1,所以=1,
所以数列{an}是等比数列.(12分)
②当q>
1时,=q>
1,得=q2>
1,
所以>
≥1,所以kn+1>
kn恒成立.
而kn≥an,所以kn+1=an+1,所以an+1>
an恒成立,
所以kn=an,rn=a1,代入=q2得=q2,即=q2,
所以数列{an}是等比数列.(14分)
③当0<
q<
1时,0<
<
1,得=q2<
所以<
≤1,所以rn+1<
rn恒成立,而rn≤an,所以rn+1=an+1,所以an+1<
所以kn=a1,rn=an,代入=q2得=q2,即=q2,
所以数列{an}是等比数列.
综上①②③,数列{an}是等比数列.(16分)
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.解:
在直线l上取点A(1,-1),则
=,故A(1,-1)在矩阵M的变换下得到A′(-1,3).(4分)
再在直线l上取点B(2,1),则
=,在矩阵M的变换下得到B′(-2,9).(8分)
连结A′B′,可得直线l′:
6x+y+3=0.(10分)
B.解:
由题意,得曲线C的直角坐标方程为+=1(y≤0),(3分)
直线OP的方程为x.(6分)
联立方程组解得(舍去)或
故点P的直角坐标为(-,-).(10分)
C.解:
①当x≤-2时,原不等式可化为4+2(x+2)≤1-x,解得x≤-,此时x≤-;
(3分)
②当-2<
x<
1时,原不等式可化为4-2(x+2)≤1-x,解得x≥-1,此时-1≤x<
(6分)
③当x≥1时,原不等式可化为4-2(x+2)≤x-1,解得x≥,此时x≥1.(9分)
综上,原不等式的解集为(-∞,-]∪[-1,+∞).(10分)
22.解:
(1)设BC的中点为E,由AB=AC,可知AE⊥BC,
故以AE,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图所示),(2分)
则A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,3,0),B(,-2,0),C(,2,0).
(1)设θ为两直线所成角,
由=(,-2,-4),=(-,1,0),
得cosθ==,
即异面直线PB与CD所成角的余弦值为.(6分)
(2)设n1=(x,y,z)为平面PBC的法向量,
因为=(,-2,-4),=(,2,-4),
由·
n=0,·
n=0,
得取n1=(4,0,).
又平面PAD的一个法向量为n2=(1,0,0).
设α为两个平面所成的锐二面角的平面角,则cosα=||=.
所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.(10分)
23.解:
(1)抛掷一次,出现一个0和一个3时符合要求,故P
(1)=.(1分)
抛掷两次,出现1+2,2+1,0+0,3+3,0+3,3+0时符合要求,共6种情况,
故P
(2)==.(3分)
(2)(解法1)设Sn被3除余1的概率为P1(n),Sn被3除余2的概率为P2(n).
则有P(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n) ①,
P1(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n) ②,
P2(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n) ③,(6分)
①-(②+③),得P(n+1)-[P1(n+1)+P2(n+1)]=-[P1(n)+P2(n)],
化简,得4P(n+1)=P(n)+1,(8分)
即P(n+1)-=[P(n)-].
又P
(1)=,可得P(n)=+·
.(10分)
(解法2)设Sn被3除余1的概率为P1(n),Sn被3除余2的概率为P2(n),
则P2(n)=1-P(n)-P1(n).
又P(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n),
所以P(n+1)=P(n)+P1(n)+[1-P(n)-P1(n)],得4P(n+1)=P(n)+1,以下同解法1.
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