频域分析法新.ppt
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高阶系统的分析难以进行;,难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响;,当系统某些元件的传递函数难以列写时,整个系统的分析工作将无法进行。
引言:
时域分析的优点和局限,优点,利用微分方程求解系统输出随时间变化的情况比较直观、准确、易于理解。
缺点,易于实验分析;系统中存在难以用数学模型描述的某些元、部件时,可用实验方法求出系统的频率特性,进而对系统有效分析。
可推广应用于某些非线性系统(如含有延迟环节的系统),频域分析法(图解分析方法),频域分析法是进行系统稳定性分析、品质分析、系统设计的一种有效方法。
根据开环频率特性来研究闭环系统的性能;,无需求解微分方程,图解(频率特性图)法间接揭示系统性能,并指明改进性能的方向;,一、频率响应的概念,设系统的传递函数:
G(s),系统的稳态输出分量可写成:
t,稳定系统,xi=Aisint,xo=Ao()sint+(),4.1频率响应和频率特性,当正弦信号作用于稳定的线性系统时,系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号,这种过程称为系统的频率响应。
即:
稳定的系统对正弦输入的稳态响应,称为频率响应。
频率响应的定义,系统输出为:
传递函数,频率响应的特点,稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数;,相位比输入相位滞后一个角度。
稳态输出与输入相比,都是同频率的正弦函数,但幅值不同,相位不同。
稳态响应:
线性稳定系统在正弦信号作用下,当频率从零变化到无穷时,稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性,称为频率特性。
二、频率特性的定义,幅值比,频率特性定义:
相位差,幅频特性,相频特性,幅频特性、相频特性统称为频率特性,对于上例,,系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性,它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。
系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性,它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的超前、迟后特性。
幅频特性,相频特性,2.直接从传递函数求取,1.根据已知系统的微分方程,输入正弦信号,求其稳态解,取输出稳态分量的复数之比(幅值比、相位差)。
三、频率特性的求取方法,3.实验法,频率特性的求取举例,对于正弦输入xi(t)=Aisint,根据频率特性的定义:
解:
求频率特性,例2:
已知系统的传递函数,求系统的稳态输出。
求稳态输出,频率特性是传递函数的特例,是定义在复平面虚轴上的传递函数,因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。
尽管频率特性是一种稳态响应,但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数,因此,系统动态过程的规律性也全寓于其中。
应用频率特性分析系统性能的基本思路:
实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱数。
因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
几点说明:
以RC滤波网络为例:
频率特性的物理意义:
频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性;,表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。
当频率低时,系统能正确响应、跟踪、复现输入信号;当频率高时,系统输出幅值衰减近似为0,相位严重滞后,系统不能跟踪、复现输入。
控制系统具有低通滤波器特性。
四、频率特性的图解方法介绍,频率特性的主要图解方法,极坐标图Nyquist图,对数坐标图Bode图,Nichols图,1.奈奎斯特(Nyquist)图(极坐标图),U():
实频特性,在复平面上,随(0)的变化,向量G(j)端点的变化曲线(轨迹),称为系统的幅相频率特性曲线。
得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。
V():
虚频特性,2.波德(Bode)图(对数频率特性图),
(1)对数幅频特性图,横坐标:
以10为底的对数分度表示的角频率单位rad/s或Hz,纵坐标:
线性分度,表示幅值A()对数的20倍,即:
(2)对数相频特性图,横坐标:
同上,在实际工程中,计算不方便,故取:
纵坐标:
线性分度,频率特性的相角,2.波德Bode图的坐标系,注:
在实际标注时,横坐标以标注,其意义还是代表以10为底的对数分度表示的角频率。
频率变化十倍称为一个十倍频程,对应横坐标的间隔距离为一个单位记为decade或简写为dec,一、比例环节,4.2典型环节的频率特性图,比例环节的频率特性图:
Nyquist图,A()=K,()=00,L()=20lgK,二、惯性环节,传递函数:
频率特性:
相频特性:
()=-arctgT,幅频特性:
对数幅频特性:
对数相频特性:
()=-arctgT,惯性环节的Nyquist图,NyquistDiagram,惯性环节的Bode图,对数幅频特性:
对数相频特性:
惯性环节的Bode图横坐标变换1,转折频率,惯性环节的Bode图横坐标变换2,转折频率,渐近线误差,-4,-3,-2,-1,0,0.1,1,10,惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线,dB,三、一阶微分环节,对数相频特性:
()=arctg,传递函数:
频率特性:
对数幅频特性:
幅频特性:
相频特性:
()=arctg,三、一阶微分环节,0,Re,Im,一阶微分环节的Nyquist图,一阶微分环节的Bode图,注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数(设:
=T),根据对数频率特性图的特点,一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称,相频特性曲线关于零度线对称。
显然,一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。
三、一阶微分环节,惯性环节幅频特性:
一阶微分环节幅频特性:
惯性环节相频特性:
()=-arctgT,一阶微分环节相频特性:
()=arctg,0,10,20,30,90,45,0,L()/(dB),(),BodeDiagram,转折频率,实际幅频特性,渐近线,20dB/dec,一阶微分环节的Bode图,四、积分环节,Nyquist图,0,Re,Im,积分环节的Bode图,-40,-20,0,20,0.1,1,10,100,L()/(dB),(),BodeDiagram,20dB/dec,四、积分环节,五、振荡环节,传递函数:
频率特性:
实频特性:
虚频特性:
幅频特性:
相频特性:
幅频特性:
相频特性:
NyquistDiagram,=0.1,=0.2,-3,-2,-1,0,1,2,3,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,=0.3,1.二阶振荡环节的Nyquist图,幅频特性:
相频特性:
NyquistDiagram,=0.1,=0.2,-3,-2,-1,0,1,2,3,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,=0.3,1.二阶振荡环节的Nyquist图,2.振荡环节的Bode图,对数幅频特性,振荡环节波德Bode图,对数相频特性,对数幅频特性,对数幅频特性的实际Bode图,五振荡环节,-180,-135,-90,-45,0,0.1,1,10,/n,()/(deg),=0.1=0.2=0.3,-40,-30,-20,-10,0,10,20,L()/(dB),-40dB/dec,=0.1=0.2,=0.3,BodeDiagram,转折频率,=0.5,=0.5,振荡环节在不同值时的修正曲线,-8,-4,0,4,8,12,16,20,0.1,1,10,=0.05=0.10=0.15=0.20=0.25,=0.30=0.35=0.40,=0.80=0.90=1.00,=0.50=0.60=0.707,/n,Error(dB),由图可见,当较小时,由于在=n附近存在谐振,幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差,越小,误差越大。
当0.380.7时,误差不超过3dB。
因此,在此范围内,可直接使用渐近对数幅频特性,而在此范围之外,应使用准确的对数幅频曲线。
准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上,通过误差曲线修正而获得或直接计算。
六、延迟环节,传递函数:
频率特性:
幅频特性:
相频特性:
一、最小相位系统,极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。
反之,称为非最小相位系统。
显然,对于稳定的非最小相位系统只存在位于s右半平面的零点。
易知,最小相位系统的相角变化范围一定小于相应的非最小相位系统的相角变化范围。
4.3系统开环频率特性图,一、最小相位系统,例如:
0,-180,-90,0,90,180,1/T1,1/T2,()/(deg),Ga(s),Gb(s),Gc(s),(rad/sec),Bode证明:
最小相位系统的幅频特性与相频特性存在唯一确定的关系。
二、系统开环Nyquist图的绘制,基本步骤,1.将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式:
2.求系统的频率特性:
3.求A(0)、(0);A()、(),4.补充必要的特征点(如与坐标轴的交点),根据A()、()的变化趋势,画出Nyquist图的大致形状。
解:
例1:
已知系统的开环传递函数如下:
试绘制系统的开环Nyquist图。
二、系统开环Nyquist图的绘制,0,Re,Im,=0,0,Re,Im,Nyquist图的一般形状,考虑系统的开环传递函数:
0型系统(v=0),二、系统开环Nyquist图的绘制,奈氏图始于正实轴,且起点处奈氏图的切线和正实轴垂直。
奈氏图趋于原点。
Re,Im,0,K,只包含惯性环节的0型系统Nyquist图,0,二、系统开环Nyquist图的绘制,m=0,Re,Im,0,K,0,m=1,I型系统(v=1),Re,Im,0,n=3,n=4,0,二、系统开环Nyquist图的绘制,只包含惯性环节的I型系统Nyquist图,II型系统(v=2),Re,Im,0,0,二、系统开环Nyquist图的绘制,只包含惯性环节的II型系统Nyquist图,注意,Re,Im,0,当系统加了零点(一阶微分环节)则使系统相角超前,奈氏曲线弯曲。
考虑系统:
三、系统开环Bode图的绘制,对数幅频特性,对数相频特性,已知系统的开环传递函数如下:
试绘制系统的开环Bode图。
三、系统开环Bode图的绘制,例:
转折频率:
2=2rad/s,转折频率:
4=0.5rad/s,转折频率:
5=10rad/s,三、系统开环Bode图的绘制,比例环节:
积分环节:
惯性环节:
一阶微分环节:
振荡环节:
(转折频率=1/T),开环对数幅频及相频特性为:
三、系统开环Bode图的绘制,-20,BodeDiagram,-60,-40,-20,0,20,40,0.1,-270,-180,-90,0,90,1,100,(rad/sec),(),-40,-20,-60,2,4,5=10,低频段,渐近线,折线、组合,转折频率,折线斜率,Bode图特点,低频段的斜率取决于积分环节的数目v,斜率为20vdB/dec。
三、系统开环Bode图的绘制,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示,则对数幅频特性为一系列折线,折线的转折点为各环节的转折频率。
对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点,其斜率相应发生变化,斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。
对惯性环节,斜率下降20dB/dec;振荡环节,下降40dB/dec;一阶微分环节,上升20dB/dec;二阶微分环节,上升40dB/dec。
四、传递函数的实验确定法,
(一)基本思路,根据Bode图的渐近线确定转折频率及各典型环节,得到系统的传递函数。
待测系统,显示器记录仪绘图仪,4.3系统开环频率特性图,四、传递函数的实验确定法,
(二)由Bode图求系统的传递函数的步骤,1.确定对数幅频特性的渐近线。
用斜率为0dB/dec、20dB/dec、40dB/dec的直线逼近实验曲线。
2.根据低频段渐近线的斜率,确定系统包含的积分环节的个数。
注意到系统低频段渐近线可近似为:
3.确定系统增益,理解:
不管是一阶环节或者是二阶环节,其低频渐近线都为0分贝,故:
低频渐近线的斜率完全由积
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