数学人教版八年级下册1612二次根式Word下载.docx
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思路一
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)×
= ,= ;
(2)×
(3)×
= ,= .
参考上面的结果,用“>
<
或=”填空.
×
×
.
老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.
老师点评:
(1)被开方数都是正数;
(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.
提问:
二次根式的乘法法则是什么?
字母表达式是怎样的?
学生总结二次根式的法则:
·
=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.
[设计意图] 培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.
[知识拓展]
(1)·
=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.
(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如·
=(a≥0,b≥0,c≥0).在·
=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·
n=mn(a≥0,b≥0).
思路二
出示教材第6页“探究”.
= , ;
= ,= .
学生自己计算,并力争独立发现规律:
=,×
=.
教师演算:
×
=×
5=, = =,则 ×
= .
由上面的特殊例子引导学生总结:
[过渡语] 你会应用二次根式的乘法法则吗?
尝试练习(教材例1):
计算:
(1)×
;
(2) ×
学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.
[设计意图] 由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.
2.积的算术平方根的性质
[过渡语] ·
=反过来也成立吗?
计算并思考:
①== ,×
=2×
5= ;
② = = ,×
=6×
= ;
③== ,×
=0.1×
3= .
你认为= (a≥0,b≥0).
学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:
根据算术平方根的意义,得==10,×
5=10,则=×
同样, = =,×
=,则有=×
;
==0.3,×
3=0.3,则有=×
.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.
进一步明确:
=·
(a≥0,b≥0).
[设计意图] 让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.
[过渡语] 把·
=反过来,就得到=·
利用它就可以将二次根式化简.
尝试练习:
化简:
(1);
(2)(m>
0).
学生讨论,得出:
(1)先把被开方数化为202×
10,再利用=·
计算;
(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·
计算.
解:
(1)原式=×
=20.
(2)原式==·
=9m.
教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:
两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·
[设计意图] 鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.
[知识拓展]
(1)当a<
0,b<
0时,虽然有意义,但是=·
而不等于·
.
(2)积的算术平方根性质可推广为:
当a≥0,b≥0,c≥0时,=·
.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.
3.例题讲解
(教材例1)计算:
引导学生结合前面尝试练习分析:
根据二次根式的乘法法则·
=(a≥0,b≥0)进行计算.
(2) ×
= ==3.
(教材例2)化简:
(1);
(2).
教师引导发现:
被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·
进行二次根式的化简.
(1)=×
=4×
9=36.
(2)=·
=2·
a·
=2ab.
(教材例3)计算:
(2)3×
2;
(3)·
.
〔解析〕 根据二次根式的乘法法则·
=(a≥0,b≥0)计算,其中3×
2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.
===×
=7.
(2)3×
2=3×
2=6=6×
=6×
5=30.
(3)·
= ==·
=x.
[解题策略] 化简二次根式的方法:
①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;
②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;
③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.
【变式训练】 判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.
(1)=×
=4=8.
(1)不正确.改正:
==×
3=6.
(2)不正确.改正:
= ×
= ==4.
[设计意图] 让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.·
=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如·
=(a≥0,b≥0,c≥0).
2.=·
(a≥0,b≥0),用语言叙述为:
积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.
1.若=·
则a的取值范围是 ( )
A.-4≤a≤4 B.a>
-4
C.a≤4 D.-4<
a<
4
解析:
由题意可知:
4-a≥0且4+a≥0,得a≤4且a≥-4,因此-4≤a≤4.故选A.
2.下列各式成立的是 ( )
A.4×
2=8
B.5×
4=20
C.4×
3=7
D.5×
A错,正确结果为40;
B错,正确结果为20;
C错,正确结果为12;
D正确.故选D.
3.一个长方形的长和宽分别是 cm和cm,则这个长方形的面积是 .
= =25(cm2).故填25cm2.
4.已知x>
0,y>
0,则·
= .
=xy.故填xy.
5.化简:
(2)(a≥0,b≥0).
9=54.
(2)=·
=3·
=3a·
=3ab.
6.计算:
(2)4×
7;
(3)3 ×
5;
(4)·
==6.
(2)4×
7=4×
7=28=252. (3)3 ×
5=3×
5 =15. (4)·
= =a.
例1 例2 例3
一、教材作业
【必做题】
教材第7页练习第1,2,3题;
教材第10页习题16.2第1题.
【选做题】
教材第11页习题16.2第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各数中,与的积为有理数的是 ( )
A. B.3 C.2 D.
2.(2015·
安徽中考)计算×
的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
3.已知m=×
(-2),则有 ( )
A.5<
m<
6 B.4<
5
C.-5<
-4 D.-6<
-5
4.k,m,n为三个整数,若=k,=15,=6,则下列有关k,m,n的大小关系正确的是 ( )
A.k<
m=n B.m=n<
k
C.m<
n<
k D.m<
k<
n
【能力提升】
5.张老师在计算机上设计了一个长方形,已知长方形的长是cm,宽是cm.他又想设计一个面积与其相等的圆,则圆的半径是 .
6.·
是一个整数,那么最小正整数a的值为 .
7.计算:
(2)×
0.5(a≥0);
(3)×
(-)×
8.一个底面为30cm×
30cm的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的长方体铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20cm,求铁桶的底面边长是多少厘米.(容器的尺寸为从里面量得的)
9.若y=,且x,y为实数,求·
的值.
【拓展探究】
10.观察下列各式:
=2 , =3 , =4 ,….
(1)你能发现上述式子有什么规律吗?
将猜想到的规律用含自然数n(n为正整数)的代数式表示出来是 ;
(2)请你运用所发现的规律,写出第9个式子;
(3)请你验证所发现的规律.
本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.
学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.
进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.
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- 学人 教版八 年级 下册 1612 二次 根式
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