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三角形内角、外角的应用
例2如图,一副分别含有30°
和45°
角的两个直角三角板,拼成如下图形,其中∠C=90°
,∠B=45°
,∠E=30°
,则∠BFD的度数是( )
A.1
5°
B.25°
C.30°
D.10°
先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数,根据三角形内角和定理即可得出结论.
∵Rt△CDE中,∠C=90°
,
∴∠BDF=∠C+∠E=90°
+30°
=120°
∵△BDF中,∠B=45°
,∠BDF=120°
∴∠BFD=180°
-45°
-120°
=15°
.
故选A.
本题考查的是三角形外角的性质,熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.
2.一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是( )
A.165°
B.120°
C.150°
D.135°
考点三:
三角形全等的判定和性质
例3如图,已知△ABC≌
△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.
找到两三角形全等的条件,三角形全等就写出来,选择一组证明即可.
△AEM≌△ACN,△BMF≌△DNF,△ABN≌△ADM.
选择△AEM≌△ACN,
理由如下:
∵△ADE≌△ABC,
∴AE=AC,∠E=∠C,∠EAD=∠CAB,
∴∠EAM=∠CAN,
∵在△AEM和△ACN中,
∴△AEM≌△CAN(ASA).
本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质;
判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
例4如图:
已知D、E分别在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
BE=CD.
要证明BE=CD,把BE与CD分别放在两三角形中,证明两三角形全等即可得到,而证明两三角形全等需要三个条件,题中已知一对边和一对角对应相等,观察图形可得出一对公共角,进而利用AAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等,利用全等三角形的对应边相等可得证.
证明:
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴BE=CD(全等三角形的对应边相等).
此题考查了全等三角形的判定与性质,常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题,在证明三角形全等时,要注意公共角及公共边,对顶角等隐含条件的运用.
3.如图,△ABC与△CDE均是
等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°
,D在AB上,连结BE.请找出一对全等三角形,并说明理由.
4.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:
AD=AE.
考点四:
全等三角形开放性问题
例5如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是
∠C=∠E
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
(1)可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件;
(2)根据全等三角形的判定方法证明即可.
(1)∵AB=AD,∠A=∠A,
∴若利用“AAS”,可以添加∠C=∠E,
若利用“ASA”,可以添加∠ABC=∠ADE,或∠EBC=∠CDE,
若利用“SAS”,可以添加AC=AE,或BE=DC,
综上所述,可以添加的条件为∠C=∠E(或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC);
故答案为:
∠C=∠E;
(2)选∠C=∠E为条件.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(AAS).
本题主要考查了全等三角形的判定,开放型题目,根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同.
5.(2013•昭通)如图,AF=DC,BC∥EF,只需补充一个条件BC=EF
,就得△ABC≌△DEF.
【聚焦中考】
1.(2013•威海)将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°
,AB=AC.∠E=30°
,∠BCE=40°
,则∠CDF=25°
2.(2013•菏泽)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°
,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
(1)求证:
△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°
,求∠BDC的度数.
3.(2013•临沂)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线
于点F,连接CF.
求证:
AF=DC;
4.(2013•东营)
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;
若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
【真题过关】
一、选择题
1.(2013•泉州)在△ABC中,∠A=20°
,∠B=60°
,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形
2.(2013•宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )
A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,4
3.(2013•衡阳)如图,∠1=100°
,∠C=70°
,则∠A的大小是( )
A.10°
B.20°
D.80°
4.(2013•河北)如图1,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°
,∠C=100°
,如图2.则下列说法正确的是( )
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远
D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远
5.(2013•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
6.(2013•台州)已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,
对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.①正确,②错误B.①错误,②正确
C.①,②都错误D.①,②都正确
7.(2013•河北)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°
,则∠1+∠2=( )
A.90°
B.100°
C.130°
D.180°
8.(2013•陕西)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
二、填空题
9.(2013•黔东南州)在△ABC中,三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B,则∠B=60
度.
10.(2013•柳州)如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x=20
11.(2013•巴中)如图,已知点B、C、F、E在同一直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是CA=FD
.(只需写出一个)
12.(2013•郴州)如图,点D、E分别在线段AB,AC上,AE=AD,不添加新的线段和字母,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是∠B=∠C(答案不唯一)
(只写一个条件即可).
13.(2013•达州)如图,在△ABC中,∠A=m°
,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;
∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;
…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013,则∠A2013=度.
三、解答题
14.(2013•玉林)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.
△ABC≌△AED.
15.(2013•湛江)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,求证:
AC=DF.
16.(2013•佛山)课本指出:
公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.
(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS;
(2)证明推论AAS.
要求:
叙述推论用文字表达;
用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.
17.(2013•随州)如图,点F、B、E、C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DE
F.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?
如果能,请给出证明;
如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明.
提供的三个条件是:
①AB=DE;
②AC=DF;
③AC∥DF.
18.(2013•内江)已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACD=∠DCE=90°
,D为AB边上一点.求证:
BD=AE.
19.(2013•舟山)如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.
△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°
,求∠EBC的度数?
20.(2013•荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°
,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
能力拓展:
如图
(1)所示,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.
请你参考这个作全等三角形方法,解答下列问题:
(1)如图
(2),在△ABC中,∠ACB=90°
,AC、CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线交于F,试判断FE与FD之间的数量关系.
(2)如图(3),在△ABC中,若∠ACB≠90°
,而
(1)中其他条件不变,请问
(1)中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;
若不成立,说明理由.
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