深圳中考数学优等生系列1角度数量关系问题有详解Word文档格式.docx
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∴∠AOD=∠BOD=1.5x.
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=1.5x﹣x=0.5x.
∵∠COD=25°
∴0.5x=25°
∴x=50°
∴∠AOB=3×
50°
=150°
例3已知点A在点O的北偏西60°
方向,点B在点O的南偏东40°
方向,则∠AOB的度数为( )
A.80°
B.100°
C.160°
D.170°
【考点】方向角.
【分析】直接利用方向角画出图形,进而得出答案.
如图所示:
由题意可得,∠AOC=30°
故∠AOB的度数为:
30°
+90°
+40°
=160°
故选:
C.
例4如图,将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起.
(1)若∠AOD=25°
,则∠AOC= ,∠BOD= ,∠BOC= ;
(2)比较∠AOC与∠BOD的大小关系,并说明理由;
(3)猜想∠AOD与∠BOC的数量关系,并说明理由.
【考点】余角和补角.
【分析】
(1)依据∠AOC+∠AOD=90°
,可求得∠AOC的度数,同理可求得∠BOD的度数,然后依据∠BOC=∠COD+∠DOB求解即可;
(2)依据同角的余角相等进行证明即可;
(3)依据∠BOC=∠AOD+∠AOB﹣∠AOD求解即可.
(1)∠AOC=∠COD﹣∠AOD=90°
﹣25°
=65°
∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=90°
∠BOC=∠COD+∠DOB=90°
+65°
=155°
65°
;
155°
(2)∠AOC=∠BOD.
理由如下:
∵∠AOC+∠AOD=90°
,∠BOD+∠AOD=90°
∴∠AOC=∠BOD.
(3)∠AOD+∠BOC=180°
∵∠AOB=∠COD=90°
∴∠AOB+∠COD=180°
又∵∠AOB=∠AOD+∠BOD,
∴∠AOD+BOD+∠COD=180°
又∵∠BOD+∠COD=∠BOC,
∴∠AOD+∠BOC=180°
例5我们已学习了角平分线的概念,那么你会用他们解决有关问题吗?
(1)如图1所示,将长方形笔记本活页纸片的一角折过去,使角的顶点A落在A′处,BC为折痕.若∠ABC=55°
,求∠A′BD的度数.
(2)在
(1)条件下,如果又将它的另一个角也斜折过去,并使BD边与BA′重合,折痕为BE,如图2所示,求∠2和∠CBE的度数.
(3)如果将图2中改变∠ABC的大小,则BA′的位置也随之改变,那么
(2)中∠CBE的大小会不会改变?
请说明.
【考点】角平分线的定义;
角的计算;
翻折变换(折叠问题).
(1)由折叠的性质可得∠A′BC=∠ABC=55°
,由平角的定义可得∠A′BD=180°
﹣∠ABC﹣∠A′BC,可得结果;
(2)由
(1)的结论可得∠DBD′=70°
,由折叠的性质可得
=
=35°
,由角平分线的性质可得∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=
180°
=90°
(3)由折叠的性质可得,
,∠2=∠EBD=
∠DBD′,可得结果.
(1)∵∠ABC=55°
∴∠A′BC=∠ABC=55°
∴∠A′BD=180°
﹣∠ABC﹣∠A′BC
=180°
﹣55﹣55°
=70°
∴
由折叠的性质可得,
∴∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=
(3)不变,
∠DBD′,
∴∠1+∠2=
不变,永远是平角的一半.
例6在学习了角的相关知识后,老师给张萌留了道作业题,请你帮助张萌做完这道题.
作业题
已知∠MON=100°
,在∠MON的外部画∠AON,OB,BO分别是∠MOA和∠BON的平分线.(题中所有的角都是小于平角的角)
(1)如图1,若∠AON=40°
,求∠COA的度数;
(2)如图2,若∠AON=120°
,求∠COA的度数.
(1)根据已知条件得到∠AOM=140°
,根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=
,由角的和差即可得到结论;
(2)根据已知条件得到∠AOM=140°
,由角的和差即可得到结论.
(1)∵∠MON=100°
,∠AON=40°
∴∠AOM=140°
∵OB,CO分别是∠MOA和∠BON的平分线,
∴∠AOB=∠BOM=
∴∠BON=∠AOB﹣∠AON=30°
∴∠BOC=
=15°
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=55°
(2)∵∠MON=100°
,∠AON=120°
∴∠AOM=360°
﹣∠AON﹣∠MON=140°
∴∠BON=∠BOM+∠MON=170°
=85°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=155°
专题突破
类型一角的有关概念
1.23.46°
的余角的补角是( )
A.113.46°
B.66.14°
C.156.14°
D.113.14°
2.已知∠α是锐角,∠α与∠β互补,∠α与∠γ互余,则∠β﹣∠γ的值等于( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.180°
3.钟表在8:
25时,时针与分针的夹角是( )度.
A.101.5B.102.5C.120D.125
4.若∠α和∠β互为余角,则∠α和∠β的补角之和是( )
A.90°
B.180°
C.270°
D.不能确定
5.如图所示,∠AOB是平角,∠AOC=30°
,∠BOD=60°
,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,∠MON等于 度.
6.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于O,则∠AOC+∠DOB= .
7..如图,已知射线OC,OD在∠AOB的内部,OC是∠AOD的平分线,OD是∠COB的平分线,若∠COD=35°
,则∠AOB的度数为 .
8.如图所示,已知∠AOB=90°
,∠BOC=30°
,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数?
类型二角的计算
1.如图,点A、B、O在同一条直线上,∠COE和∠BOE互余,射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE,则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是( )
A.∠AOF+∠BOD=∠DOFB.∠AOF+∠BOD=2∠DOF
C.∠AOF+∠BOD=3∠DOFD.∠AOF+∠BOD=4∠DOF
2.如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若∠AOD=150°
,则∠BOC等于( )
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
3.若∠A=64.4°
,则∠A的补角等于( )
A.25°
36′B.25°
24′C.115°
36′D.115°
24′
4.如图,已知直线AB和CD相交于O点,OC⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°
,则∠BOD的度数 .
5.如果一个角的余角是它的补角的
,则这个角的度数是 .
6.15°
30′= °
,6.75°
= °
′.
7.如图,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20°
8.如图所示,已知点O在直线AB上,∠AOE:
∠EOD=1:
3,OC是∠BOD的平分线,∠EOC=115°
,求∠AOE和∠BOC.
类型三方向角问题
1.8点30分时刻,钟表上时针与分针所组成的角为 度.
2.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°
的方向,同时轮船B在南偏东15°
的方向,那么∠AOB的大小为( )
A.69°
B.111°
C.141°
D.159°
类型四角与其它图形的综合性问题
1.如图,将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B,C重合),使点C落在长方形内部点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数α是( )
<α<180°
B.0°
<α<90°
C.α=90°
D.α随折痕GF位置的变化而变化
2.如图所示,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°
(1)∠AOD的余角是 ,∠COD的余角是 .
(2)OE是∠BOC的平分线吗?
请说明理由.
3.如图,OD是∠AOB的平分线,OE是∠BOC的平分线,且∠AOC=130°
,求∠DOE的度数.
4.如图,已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOC
(1)若∠AOB是直角,∠BOC=60°
,求∠EOF的度数.
(2)若∠AOC=x°
,∠EOF=y°
,∠BOC=60°
,请用x的代数式来表示y.(直接写出结果就行).
5.如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,已知0°
<∠AOC<90°
,射线OD平分∠AOC,射线OE平分∠BOC,射线OF平分∠DOE.
(1)求∠DOE的度数;
(2)求∠FOB+∠DOC的度数.
6.已知线段AB=30cm
(1)如图1,点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动,同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动,几秒钟后,P、Q两点相遇?
(2)如图1,几秒后,点P、Q两点相距10cm?
(3)如图2,AO=4cm,PO=2cm,当点P在AB的上方,且∠POB=60°
时,点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止,同时点Q沿直线BA自B点向A点运动,假若点P、Q两点能相遇,求点Q的运动速度.
时,∠BOE的度数是 64°
.
,则∠AOC= 65°
,∠BOD= 65°
,∠BOC= 155°
;
B.66.14°
C.156.14°
D.113.14°
23.46°
角的余角是90°
﹣23.46°
=66.14°
66.14°
角的余角的补角是180°
﹣66.14°
=113.46°
A.
B.60°
C.90°
D.180°
由题意得,∠α+∠β=180°
,∠α+∠γ=90°
两式相减可得:
∠β﹣∠γ=90°
A.101.5B.102.5C.120D.125
∵时针在钟面上每分钟转0.5°
,分针每分钟转6°
∴钟表上8:
25时,时针与分针的夹角可以看成时针转过8时0.5°
25=12.5°
,分针在数字5上.
∵钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°
∴8:
25时分针与时针的夹角3×
+12.5°
=102.5°
B.
B.180°
C.270°
D.不能确定
【分析】表示出∠α和∠β的补角之和,代入∠α+∠β=90°
,可得出答案.
∠α和∠β的补角之和=+=360°
﹣(∠α+∠β),
∵∠α和∠β互为余角,
∴∠α+∠β=90°
∴∠α和∠β的补角之和=360°
﹣90°
=270°
故选C.
,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,∠MON等于 135 度.
【分析】根据平角和角平分线的定义求得.
∵∠AOB是平角,∠AOC=30°
∴∠COD=90°
(互为补角)
∵OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
∴∠MOC+∠NOD=
(30°
+60°
)=45°
(角平分线定义)
∴∠MON=90°
+45°
=135°
故答案为135.
6.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于O,则∠AOC+∠DOB= 180°
设∠AOD=a,∠AOC=90°
+a,∠BOD=90°
﹣a,
所以∠AOC+∠BOD=90°
+a+90°
﹣a=180°
,则∠AOB的度数为 105°
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠COD,∠COD=∠BOD,再由∠COD=35°
可得答案.
∵OC是∠AOD的平分线,
∴∠AOC=∠COD,
∵OD是∠COB的平分线,
∴∠COD=∠BOD,
∵∠COD=35°
∴∠AOB=35°
3=105°
105°
∵∠AOB=90°
∴∠AOC=90°
+30°
=120°
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=
∠AOC=
120°
=60°
∵ON平分∠BOC,
∴∠CON=
∠BOC=
∴∠MON=∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON=120°
﹣60°
﹣15°
=45°
A.∠AOF+∠BOD=∠DOFB.∠AOF+∠BOD=2∠DOF
∠AOF+∠BOD=3∠DOF.理由如下:
设∠COF=∠EOF=x,∠DOE=∠BOD=y,
∵2x+2y=90゜,
∴∠DOF=x+y=45゜,
∴∠AOF+∠BOD=90゜+x+y=135゜,
∴∠AOF+∠BOD=3∠DOF,
B.45°
C.50°
D.60°
【考点】角的计算.
【分析】从如图可以看出,∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数,从而问题可解.
,∠AOD=150°
∴∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°
﹣150°
=30°
故选A.
36′B.25°
24′C.115°
36′D.115°
∵∠A=64.4°
∴∠A的补角=180°
﹣64.4°
=115.6°
=115°
36′.
,则∠BOD的度数 22°
∵CO⊥OE,
∴∠COE=90°
∵∠COF=34°
∴∠EOF=90°
﹣34°
=56°
又∵OF平分∠AOE
∴∠A
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