311随机事件的概率 教案人教A版必修3Word文档下载推荐.docx
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必然事件、不可能事件和随机事件
【问题导思】
1.考察下列事件:
(1)导体通电时发热;
(2)向上抛出的石头会下落.这两个事件就其发生与否有什么共同特点?
【提示】 都是必然要发生的事件.
2.考察下列事件:
(1)在没有水分的真空中种子发芽;
(2)在常温常压下钢铁融化;
(3)服用一种药物使人永远年轻.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
【提示】 都是不可能发生的事件.
3.考察下列事件:
(1)某人射击一次命中目标;
(2)山东地区一年里7月15日这一天最热;
(3)抛掷一个骰子出现的点数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点?
【提示】 都是可能发生也可能不发生的事件.
事件的概念及分类
事件
)
频率与概率
做一个简单的实验:
把一枚骰子掷多次,观察出现的结果,并记录各结果出现的频数.
1.在本实验中出现了几种结果?
【提示】 一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果.
2.一次试验中的试验结果试验前能确定吗?
【提示】 不能.
3.若做大量地重复试验,你认为出现每种结果的次数有何关系?
【提示】 大致相等.
频数与频率:
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的频率.
概 率
1.频率的取值范围是什么?
概率的取值范围是什么?
【提示】 频率与概率的取值范围都是[0,1].
2.概率为1的事件是否一定发生?
概率为0的事件是否一定不发生?
为什么?
【提示】 不一定,概率为1只是发生的可能性很大,而概率为0的事件也不是一定不发生(即也可能发生).
1.概率:
概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.
2.概率与频率联系:
对于给定的随机事件A,事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
事件类型的判断
例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭.
(2)若a为实数,则|a|≥0.
(3)抛掷硬币10次,至少有一次正面向上.
(4)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹,其中50%的炮弹击中目标.
(5)没有水分,种子发芽.
【思路探究】 解答本题可依据随机事件,必然事件和不可能事件的定义逐一验证.
【自主解答】
(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭,也可能不是3次,是随机事件.
(2)对任意实数a,|a|≥0总成立,是必然事件.
(3)抛掷硬币10次,也可能全是反面向上,也可能有正面向上,是随机事件.
(4)同一门炮向同一目标发射,命中率可能是50%,也可能不是50%,是随机事件.
(5)没有水分,种子不可能发芽,是不可能事件.
1.正确理解并掌握必然事件、不可能事件和随机事件的概念是解答本题的关键.
2.要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生.一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
指出下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)某体操运动员将在运动会上获得全能冠军;
(2)一个三角形的大边所对的角小,小边所对的角大;
(3)如果a>
b,那么b<
a;
(4)某人购买福利彩票中奖;
(5)某人的手机一天接到20个电话.
【解】
(1)(4)(5)是随机事件,
(2)是不可能事件,(3)是必然事件.
试验结果分析
例2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
【思路探究】 明确条件和结果,据生活经验按一定顺序逐一列出全部结果.
【自主解答】
(1)条件为:
从袋中任取1球,结果为:
红、白、黄、黑4种.
(2)条件为从袋中任取2球,若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球,结果为(红,白)、(红,黄)、(红,黑)、(白,黄)、(白,黑)、(黄,黑)6种.
1.把握住随机试验的实质,要明确一次试验就是将事件的条件实现一次,如取出“红球、白球”就实现了条件“任取2个小球”一次.
2.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明确事件发生的条件.根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果没有重复,也没有遗漏.
指出下列试验的结果:
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.
【解】
(1)结果:
红球,白球;
红球,黑球;
白球,黑球.
(2)结果:
1-3=-2,3-1=2,
1-6=-5,6-1=5,
1-10=-9,10-1=9,
3-6=-3,6-3=3,
3-10=-7,10-3=7,
6-10=-4,10-6=4.
概率与频率的关系及求法
例3 下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果,n为抛掷硬币的次数,m为硬币正面向上的次数.计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率,并考察它的概率.
试验序号
抛掷的次数n
正面向上的次数m
“正面向上”出现的频率
4
500
253
5
251
6
246
7
244
8
258
9
262
10
247
【思路探究】 先由公式fn(A)=
分别求出各项试验对应的频率然后估计概率.
【自主解答】 由fn(A)=
,可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494.这些数在0.5附近摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上”的概率为0.5.
规律方法
1.频率与概率的关系:
频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数,是客观存在的,与试验次数无关,概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越大时,频率向概率靠近.
2.此类题目的解题方法是:
先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
变式训练
某质检员从一大批种子中抽取若干组种子,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:
种子粒数
25
70
130
700
2000
3000
发芽粒数
24
60
116
639
1806
2713
发芽频率
(1)计算各组种子的发芽频率,填入上表;
(2)根据频率的稳定值估计种子的发芽率.
【解】
(1)种子的发芽频率从左到右依次为:
0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90.
(2)由
(1)知发芽频率逐渐稳定在0.90,因此可以估计种子的发芽率为0.90.
易错易误辨析
忽视试验结果导致解题错误
典例 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则:
(1)一共可能出现多少种不同的结果?
(2)出现“一枚正面,一枚反面”的结果有多少种?
(3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少?
【错解】
(1)一共可能出现“两枚正面”,“两枚反面”,“一枚正面,一枚反面”三种不同的结果.
(2)出现“一枚正面,一枚反面”的结果有一种.
(3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率是
.
【错因分析】 将“一正,一反”与“一反,一正”两种情形错认为是一种情形,若在题干中强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”就必须注意顺序问题.
【防范措施】 1.把握随机试验的实质,明确一次试验的含义.
2.按一定的顺序用有序数组的形式写出,要不重不漏.
【正解】
(1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“第一枚正面,第二枚反面”“第一枚反面,第二枚正面”四种情况.
(2)出现“一枚正面,一枚反面”的结果有2种.
(3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率为
课堂小结
1.随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A的概率),这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大;
反之,常数越接近于0,事件A发生的可能性就越小.
2.概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
当堂双基达标
1.下列事件是随机事件的有( )
①掷一枚硬币,反面向上;
②x为实数,则x2<
0;
③明年高考数学试题很容易.
A.② B.①② C.①③ D.②③
【解析】 ①③为随机事件,②为不可能事件.
【答案】 C
2.下列说法正确的是( )
A.任何事件的概率总在(0,1)内
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.概率是随机的,在试验前不能确定
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
【解析】 任何事件的概率总在[0,1]内,频率与试验次数有关,C中概率是客观存在的,故A、B、C都不正确.
【答案】 D
3.北京去年6月份共有7天为阴雨天气,设阴雨天气为事件A,则事件A出现的频数为________,事件A出现的频率为________.
【解析】 由频数的意义知,事件A出现的频数为7,频率为
【答案】 7
4.从甲、乙、丙、丁四名同学中选2名代表学校参加一项活动,可能的选法有哪些?
【解】 可能的选法为:
(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁).
课后知能检测
一、选择题
1.给出关于满足AB的非空集合A,B的四个命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;
②若任取x∉A,则x∈B是不可能事件;
③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;
④若任取x∉B,则x∉A是必然事件.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 由真子集的定义可知:
①③④是正确命题,②假命题.
2.(2013·
德州高一检测)事件A的频率
满足( )
A.
=0B.
=1
C.0<
<
1D.0≤
≤1
【解析】 ∵0≤m≤n,∴0≤
≤1.
3.在掷一枚硬币的试验中,共掷了100次,“正面向上”的频率为0.49,则“正面向下”的次数为( )
A.0.49 B.49 C.0.51 D.51
【解析】 “正面向上”的次数为100×
0.49=49.
故“正面向下”的次数为100-49=51.
4.掷一枚硬币,反面向上的概率是
,若连续抛掷同一枚硬币10次,则有( )
A.一定有5次反面向上
B.一定有6次反面向上
C.一定有4次反面向上
D.可能有5次反面向上
【解析】 掷一枚硬币,“正面向上”和“反面向上”的概率为
,连掷10次,并不一定有5次反面向上,可能有5次反面向上.
5.(2013·
广州高一检测)从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码
1
2
3
取到的次数
11
18
则取到号码为奇数的频率是( )
A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37
【解析】 取到号码为奇数的频率是
=0.53.
【答案】 A
二、填空题
6.从3双鞋子中,任取4只,其中至少有两只鞋是一双,这个事件是________(填“必然”,“不可能”或“随机”)事件.
【解析】 由题意知该事件为必然事件.
【答案】 必然
7.设某厂产品的次品率为2%,则该厂1000件产品中不合格品的件数约为________.
【解析】 1000×
2%=20.
【答案】 20
8.已知随机事件A发生的频率是0.01,事件A出现了10次,则一共进行了________次试验.
【解析】 设共进行了n次试验,则
=0.01,∴n=1000.
【答案】 1000
三、解答题
9.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件?
(1)某地1月1日刮西北风;
(2)当x是实数时,x2≥0;
(3)手电筒的电池没电,灯泡发亮;
(4)一个电影院某天的上座率超过50%.
【解】
(1)(4)是随机事件;
(2)是必然事件;
(3)是不可能事件.
10.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的频率,假设此人射击一次,问中靶的概率约是多少?
【解】 设射击次数为n,中靶次数为m.射击10次,∴n=10,有9次中靶,∴m=9,
∴中靶频率
=0.9.
由频率估计概率,故假设此人射击一次,中靶概率约为0.9.
11.某人做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取小球两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字,y为第二次取到的小球上的数字”.
(1)求这个试验结果的种数;
(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【解】
(1)当x=1时,有(1,2),(1,3),(1,4)三种结果.
当x=2时,有(2,1),(2,3),(2,4)三种结果.
当x=3时,有(3,1),(3,2),(3,4)三种结果.
当x=4时,有(4,1),(4,2),(4,3)三种结果.
故这个试验共有3×
4=12种结果.
(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:
时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组
[0,900)
[900,1100)
[1100,1300)
[1300,1500)
[1500,1700)
[1700,1900)
[1900,+∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.
【思路探究】
(1)频率=频数÷
总数.
(2)先求出灯管使用寿命在[0,1500)的频数,再应用公式fn(A)=
求解.
【自主解答】
(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1500小时的频数是48+121+208+223=600,所以样本中使用寿命不足1500小时的频率是
=0.6.即估计灯管使用寿命不足1500小时的概率为0.6.
对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下:
调查件数
50
100
200
300
450
合格件数
47
92
192
285
429
根据上表所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格产品,大约需要抽取多少件产品?
【解】 5次抽查的合格频率分别为0.94,0.92,0.96,0.95,0.953,则合格概率估计为0.95.
设若想抽到950件合格品,大约抽n件产品,
则
=0.95,所以n=1000.
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