高三数学线面面面垂直证明Word格式.docx
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性质定理
垂直于同一个平面的两条直线________
⇒a∥b
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
一个平面过另一个平面的______,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
两个平面垂直,则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边.(三线合一)
2.利用勾股定理的逆定理.
3.矩形,直角三角形,直角梯形的定义。
4.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角.
5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条.
6.利用菱形的对角线互相垂直.
7.利用半圆上的圆周角是直角.
8.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦.
9.邻补角的平分线互相垂直.
10.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
三、解答题(共32小题,每小题12.0分,共384分)
1.如图,直角三角形ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:
SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:
BD⊥平面SAC.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:
EF⊥平面BB1O.
3.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°
,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于点D,求证:
AD⊥平面SBC.
4.如图,已知四边形ABCD是正方形,GC⊥平面ABCD.求证:
BD⊥平面GAC.
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=a,AB=2a,E为C1D1的中点.
DE⊥平面BEC;
(2)求三棱锥C-BED的体积.
6.如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°
,PA=PD,E,F,G分别是BC,PC,AD的中点.
证明:
(1)AD⊥平面PGB;
(2)AD⊥平面DEF.
7.如图,已知P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两互相垂直,H是△ABC的垂心.
求证:
PH⊥平面ABC.
8.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°
,D为BB1的中点.求证:
AD⊥平面A1DC1.
9.如图,已知PA⊥圆O所在平面,AB为圆O的直径,C是圆周上的任意一点,过A作AE⊥PC于点E.
AE⊥平面PBC.
10.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F.
11.如图,BC为圆O的直径,D为圆周上异于B、C的一点,AB垂直于圆O所在的平面,BE⊥AC于点E,BF⊥AD于点F.
BF⊥平面ACD;
12.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,∠ABC=90°
,且SA=AB,点M是SB的中点,AN⊥SC且交SC于点N.
SC⊥平面AMN;
(2)当AB=BC=1时,求三棱锥M-SAN的体积.
13.如图所示是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图.
(1)若F为PD的中点,求证:
AF⊥面PCD;
(2)求几何体BEC-APD的体积.
14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA=90°
,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.
BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角?
并说明理由.
15.如图,在四面体A-BCD中,BD=
a,AB=AD=CB=CD=AC=a,求证:
平面ABD⊥平面BCD.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,PA⊥平面ABCD,M是PD的中点.
OM∥平面PAB;
(2)求证:
平面PBD⊥平面PAC.
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AC,BD交于点E,F是PB的中点.求证:
(1)EF∥平面PCD;
(2)平面PBD⊥平面PAC.
18.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:
平面EDB⊥平面ABCD.
19.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.求证:
平面AEC⊥平面PDB.
20.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,求证:
平面PDC⊥平面PAD.
21.如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点.
平面COD⊥平面AOB.
22.已知在△BCD中,∠BCD=90°
,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°
,E、F分别是AC、AD上的动点,且
=
=λ(0<λ<1).
不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.
23.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:
平面B1DE⊥平面A1C1F.
24.如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°
.
平面PBC⊥平面PAC.
25.如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°
,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°
,PA=BC=
AD.
平面PAC⊥平面PCD.
26.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°
,AA1=BC=2AC=2.若D为AA1的中点,求证:
平面B1CD⊥平面B1C1D.
27.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C⊥AB,侧面BCC1B1为菱形.求证:
平面ABC1⊥平面BCC1B1.
28.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:
平面EFG⊥平面PDC.
29.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,PA⊥平面ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2
,BC=6.求证:
30.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点.求证:
平面C1BD⊥平面BDE.
31.如图所示,已知∠BSC=90°
,∠BSA=∠CSA=60°
,又SA=SB=SC.
平面ABC⊥平面SBC.
32.如图,在四面体ABCD中,△ABD,△ACD,△BCD,△ABC都全等,且AB=AC=
,BC=2,求证:
平面BCD⊥平面BCA.
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- 数学 面面 垂直 证明