届高三数学一轮复习 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系.docx
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届高三数学一轮复习第7章第3节空间点直线平面之间的位置关系
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
1.平面的基本性质
(1)公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
(2)公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.
(2)范围:
.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.(教材改编)如图731所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
图731
A.30° B.45°
C.60°D.90°
C [连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,
故∠D1B1C为所求的角,
又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.]
3.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A [A不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;B,C,D是平面的基本性质公理.]
4.(2016·山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故选A.]
5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是________.
b与α相交或b⊂α或b∥α
平面的基本性质
如图732,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
图732
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
【导学号:
01772249】
[证明]
(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥BA1.2分
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.5分
(2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈直线CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD.8分 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.12分 [规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法: (1)直接法: 证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法: 先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法: 先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. 2.证明点共线问题的常用方法: (1)基本性质法: 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法: 选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. [变式训练1] 如图733所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点. 图733 (1)证明: 四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面? 为什么? [解] (1)证明: 由已知FG=GA,FH=HD,得GH綊AD.2分 又BC綊AD, ∴GH綊BC,∴四边形BCHG是平行四边形.5分 (2)C,D,F,E四点共面,理由如下: 由BE綊AF,G为FA的中点知BE綊GF, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.8分 由 (1)知BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.12分 空间直线的位置关系 (1)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) 【导学号: 01772250】 A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 (2)(2017·郑州模拟)在图734中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号). ① ② ③ ④ 图734 (1)D (2)②④ [ (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交. (2)图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图②④中,GH与MN异面.] [规律方法] 1.异面直线的判定方法: (1)反证法: 先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. (2)定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. [变式训练2] (2017·烟台质检)a,b,c表示不同的直线,M表示平面,给出四个命题: ①若a∥M,b∥M,则a∥b或a,b相交或a,b异面;②若b⊂M,a∥b,则a∥M;③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确的为( ) A.①④ B.②③ C.③④D.①② A [对于①,当a∥M,b∥M时,则a与b平行、相交或异面,①为真命题.②中,b⊂M,a∥b,则a∥M或a⊂M,②为假命题.命题③中,a与b相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,命题④为真命题,所以①④为真命题.] 异面直线所成的角 (1)如图735,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ) 图735 A. B. C. D. (2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ) A.B. C.D. (1)D (2)A [ (1)连接BC1,易证BC1∥AD1, 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C1,由AB=1,AA1=2, 则A1C1=,A1B=BC1=, 在△A1BC1中,由余弦定理得 cos∠A1BC1==. (2)设平面CB1D1∩平面ABCD=m1. ∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等,即∠CD1B1为m,n所成的角. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形, 故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为.] [规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤: (1)作: 通过作平行线,得到相交直线的夹角. (2)证: 证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)求: 解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. [变式训练3] 如图736,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 图736 [取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD, 则因为C是圆柱下底面弧AB的中点, 所以AD∥BC, 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点, 所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形, 所以C1D=AD, 所以直线AC1与AD所成角的正切值为, 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.] [思想与方法] 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法: 证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为相交直线的夹角,体现了转化与化归思想. [易错与防范] 1.异面直线不同在任何一个平面内,不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
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