第9讲 数字谜一Word格式.docx

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82＝5-3＝9-7。

例4将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立：

　　□+□=6，□×

□=8，

　　□-□=6，□□÷

□=8。

因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：

1＋5或2＋4；

对于乘式也只有两种填法：

1×

8或2×

4。

加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能：

（1）加式为1＋5，乘式为2×

4；

（2）加式为2+4，乘式为1×

8。

　　对于

（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；

　　对于

（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷

7。

答案如下：

　　2＋4＝6，1×

8＝8，

　　9－3＝6，56÷

7＝8。

　　例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。

这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。

例5从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：

　　[○÷

○×

（○+○）]-[○×

○+○-○]。

为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。

为叙述方便，将原式改写为：

　　[A÷

B×

（C＋D）]-[E×

F＋G－H]。

　　通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；

B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。

于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。

将它们代入算式，得到

[9÷

（8＋7）]－[2×

3＋4－6]=131。

练习9

　　1．在下面的算式里填上括号，使等式成立：

（1）4×

6+24÷

6–5=15；

（2）4×

6-5=35；

　　（3）4×

6–5=48；

　　（4）4×

6–5＝0。

　　2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立：

　　12345＝100。

　　3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

　　□+□=□，

　　□-□=□，

　　□×

□=□□。

　　4．在下面的□里填上+，-，×

，÷

，（）等符号，使各个等式成立：

　　4□4□4□4＝1，

　　4□4□4□4＝3，

　　4□4□4□4＝5，

　　4□4□4□4＝9。

　　5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立：

　　□+□-□=□×

□÷

□。

　　6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值：

　　□□□×

□□□×

□□□。

　　7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值：

　　□□×

□□×

□□。

第10讲数字谜

（二）

例1把下面算式中缺少的数字补上：

一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。

四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。

由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。

（1）填百位与千位。

由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。

（2）填个位。

由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。

　　（3）填十位。

由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。

　　所求算式如右式。

　　由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。

例2在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：

　　分析与解：

（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。

　　从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：

2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。

　　如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。

此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。

因此“学”≠2。

　　如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。

百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。

　　满足条件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。

由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。

同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。

　　满足条件的算式如右下式。

　　例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。

例3下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。

由于个位上的“赛”×

“赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。

　　下面采用逐一试验的方法求解。

（1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。

被乘数为444444÷

2＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。

（2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿

（1）讨论，也不行。

　　（3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。

666666÷

4得不到整数商，不合题意。

　　（4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。

被乘数为999999÷

7＝142857，符合题意。

　　（5）若“赛”＝8或9，仿上讨论可知，不合题意。

　　所以，被乘数是142857。

例4在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。

为清楚起见，我们用A，B，C，D，…表示□内应填入的数字（见右上式）。

　　由被乘数大于500知，E=1。

由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。

若C＝5，则有

　　6□□×

5=（600+□□）×

5=3000+□□×

5，

　　不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。

再由B=5推知G=0或5。

若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。

此时已求出被乘数是645，经试验只有645×

7满足□5□5，所以C=7；

最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。

　　右式为所求竖式。

　　此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。

有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。

例5在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。

把左上式改写成右上式。

根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知A＝C-9。

至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。

　　此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。

例6把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。

由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是0，即商为

。

　　因为除数与8的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是9，即商为9807。

　　因为“除数×

9”是三位数，所以除数≥12；

又因为“除数×

8”是两位数，所以除数≤12。

推知除数只能是12。

被除数为9807×

12＝117684。

除法算式如上页右式。

练习10

　　1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立：

　　2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

问：

“小”代表什么数字？

　　3．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。

求出下列各式：

　　4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

这些算式中各字母分别代表什么数字？

第11讲归一问题与归总问题

　　在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。

用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。

所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

例1一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？

（损耗忽略不计）

以一根钢轨的重量为单一量。

（1）一根钢轨重多少千克？

　　1900÷

4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根钢轨？

　　95000÷

475＝200（根）。

95000÷

（1900÷

4）＝200（根）。

　　答：

可以制造200根钢轨。

例2王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。

（1）1头奶牛1天产奶多少千克？

　　630÷

5÷

7＝18（千克）。

（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

　　18×

8×

15＝2160（千克）。

（630÷

7）×

15=2160（千克）。

可产牛奶2160千克。

例3三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。

（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？

　　2400÷

3÷

2.5=320（千克）。

（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？

　　25600÷

320÷

8=10（时）。

　　综合列式为

（2400÷

2.5）÷

例44辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。

现在有沙土420吨，要求5趟运完。

需要增加同样的卡车多少辆？

以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？

　　336÷

4÷

7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？

　　420÷

12÷

5＝7（辆）。

　　（3）需要增加多少辆卡车？

　　7-4＝3（辆）。

（336÷

7）÷

5-4＝3（辆）。

　　与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。

所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例5一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？

　　15×

8＝120（时）。

（2）12个人完成这项工程需要多少小时？

　　120÷

12＝10（时）。

15×

8÷

12人需10时完成。

例6一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。

若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。

（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？

　　60×

5=300（千米）。

（2）4时到达，每小时需要行多少千米？

　　300÷

4＝75（千米）。

　　（3）每小时多行多少千米？

　　75－60＝15（千米）。

（60×

5）÷

4——60＝15（千米）。

每小时需要多行15千米。

例7修一条公路，原计划60人工作，80天完成。

现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？

80＝4800（劳动日）。

（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？

　　4800-60×

20=3600（劳动日）。

　　（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？

　　3600÷

（60＋30）=40（天）。

80-60×

20）÷

（60＋30）＝40（天）。

答：

再用40天可以完成。

练习11

1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？

2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？

3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。

48秒钟可以放映多少张片子？

4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？

5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。

由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。

每天要工作几小时？

6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。

结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。

鸡蛋价格下调后是每千克多少元？

7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。

供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。

这些煤共可以供暖多少天？

第12讲年龄问题

　　年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。

　　年龄问题的主要特点是：

二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；

二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；

二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。

　　根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。

例1儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？

儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×

6＝30（岁），因此母亲今年是

　　30＋5=35（岁）。

例2今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？

今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。

当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是

　　（48——20）÷

（5——1）＝7（岁）。

　　由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。

例3兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。

兄、弟二人今年各多少岁？

根据题意，作示意图如下：

　　由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷

（3－1）＝6（岁）。

由此得到

　　弟今年6＋4＝10（岁），

　　兄今年10＋5＝15（岁）。

例4今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？

在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。

又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。

　　由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为

　　55÷

（3+2）×

3=33（岁）。

例5哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？

由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。

由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。

由“和差问题”解得，

　　兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷

2＝48（岁），

　　妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷

2=39（岁）。

例61994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。

2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。

父亲出生在哪一年？

如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。

　　父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×

6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。

由

　　1段＋12岁=2段＋3岁，

　　推知1段是9岁。

所以父亲1994年的年龄是9×

4＝36（岁），他出生于

　　1994——36＝1958（年）。

　　例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。

父子今年各多少岁？

解法一：

假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。

这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。

　　事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为

　　（20×

4－20）÷

（4－2）－20＝10（岁），

　　父亲今年的年龄为10×

4＝40（岁）。

解法二：

如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。

　　20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。

　　1段＋20=2段＋10，

　　求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。

例8今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。

几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？

今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。

每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。

因而只需求出12里面有几个2即可。

[78－（27＋23＋16）]÷

（1＋1＋1－1）＝6（年）。

6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。

练习12

1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？

2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。

他们二人各几岁？

3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？

4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。

父女两人现在各多少岁？

5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。

三人各是多少岁？

6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？

7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。

祖孙三人各多少岁？

8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：

“当我像你这么大时，你才3岁；

当你像我这么大时，我已经42岁了。

”你能算出刘老师有多少岁吗？

第13讲鸡兔同笼问题与假设法

　　鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。

许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

　　例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

小梅家的鸡与兔各有多少只？

假设16只都是鸡，那么就应该有2×

16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

有兔（44-2×

16）÷

（4-2）=6（只），

　　有鸡16-6＝10（只）。

有6只兔，10只鸡。

　　当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×

16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。

我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。

因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

　　有鸡（4×

16-44）÷

（4-2）=10（只），

　　有兔16——10＝6（只）。

　　由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；

也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。

因此这类问题也叫置换问题。

例2100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

大、小和尚各有多少人？

本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

　　假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍