精品专题八年级数学下平行四边形的性质和判定的应用专题训练含答案与试题解析.docx
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精品专题八年级数学下平行四边形的性质和判定的应用专题训练含答案与试题解析
2021年平行四边形的性质和判定的应用专题训练
应用1利用平行四边形的性质和判定求线段的长
1.(2019秋•莱芜区期末)如图,已知平行四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.
(1)求证:
四边形CMAN是平行四边形
(2)已知DE=8,FN=6,求BN的长.
应用2利用平行四边形的性质和判定证明线段的平分关系
2.(2018春•盐湖区期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于H、G.求证:
(1)四边形AECF是平行四边形.
(2)EF与GH互相平分.
应用1利用平行四边形的性质和判定证明线段的垂直关系
3.如图,▱ABCD中,E是BC的中点,AE=9,BD=12,AD=10.
(1)求证:
AE⊥BD;
(2)求▱ABCD的面积.
应用1利用平行四边形的性质和判定证明线段间的平方关系
4.(2018春•古冶区期中)如图,将▱ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:
四边形BCED′是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC:
①则四边形BCED′是 ;(填哪一种特殊的平行四边形)
②求证:
AB2=AE2+BE2.
应用5利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系(归一法)
5.(2020秋•招远市期末)在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点F.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:
DE+DF=AC;
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式(不需要证明);
(3)若AC=10,DE=7,问:
DF的长为多少?
应用6利用平行四边形的性质和判定探究动点问题
6.(2009春•海曙区期中)如图所示:
在四边形ABCD中,AD∥BC、BC=18cm,CD=15cm,AD=10cm,AB=12cm,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以2cm/秒的速度由A向D运动,点Q以3cm/秒的速度由C向B运动.
(1)几秒钟后,四边形ABQP为平行四边形?
并求出此时四边形ABQP的周长;
(2)几秒钟后,四边形PDCQ为平行四边形?
并求出此时四边形PDCQ的周长.
应用1利用平行四边形的性质和判定探究条件问题
7.(2019•双峰县一模)如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
(1)求证:
△ACD≌△CBF;
(2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.
2021年平行四边形的性质和判定的应用专题训练
参考答案与试题解析
一.试题(共7小题)
1.(2019秋•莱芜区期末)如图,已知平行四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.
(1)求证:
四边形CMAN是平行四边形
(2)已知DE=8,FN=6,求BN的长.
【解答】
(1)证明:
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AM∥CN,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形;
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADE=∠CBF,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,
在△ADE与△CBF中,∠ADE=∠CBF,∠AED=∠CFB,AD=BC,
∴△ADE≌△CBF(AAS);
∴DE=BF=8,
∵FN=6,
∴.
2.(2018春•盐湖区期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于H、G.求证:
(1)四边形AECF是平行四边形.
(2)EF与GH互相平分.
【解答】证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由
(1)得:
四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE,
∵AE=CF,AB∥CD,AB=CD,
∴BE∥DF,BE=DF,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴BF∥DE,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∴EF与GH互相平分.
3.如图,▱ABCD中,E是BC的中点,AE=9,BD=12,AD=10.
(1)求证:
AE⊥BD;
(2)求▱ABCD的面积.
【解答】解:
(1)如图,过点D作DH∥AE交BC延长线于点H,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AE∥DH,
∴四边形AEHD是平行四边形,
∴AE=DH=9,AD=EH=10,
∵E是BC的中点,
∴BEAD=5,
∴BH=15,
∵DH2+BD2=225,BH2=225,
∴DH2+BD2=BH2,
∴∠BDH=90°,
∵AE∥DH,
∴AE⊥BD;
(2)设AE交BD于F.
∵AE⊥BD,
∴S△BEF•BF•EF=6,
又∵S△BFE:
S△ABF=EF:
FA=1:
2,
∴S△ABF=12,得S△ABE=18,
∵E是BC的中点,
∴S▱ABCD=4S△ABE=72.
4.(2018春•古冶区期中)如图,将▱ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:
四边形BCED′是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC:
①则四边形BCED′是 菱形 ;(填哪一种特殊的平行四边形)
②求证:
AB2=AE2+BE2.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠D=∠ABC,
由折叠的性质可知,∠D=∠AD′E,
∴∠AD′E=∠ABC,
∴D′E∥BC,又AB∥CD,
∴四边形BCED′是平行四边形;
(2)①解:
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBA=∠EBC,
∵AB∥CD,
∴∠EBA=∠BEC,
∴∠BEC=∠EBC,
∴CE=CB,
∴平行四边形BCED′是菱形,
故答案为:
菱形;
②证明:
由折叠的性质可知,∠DAE=∠D′AE∠DAB,
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,
∴AB2=AE2+BE2.
5.(2020秋•招远市期末)在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点F.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:
DE+DF=AC;
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式(不需要证明);
(3)若AC=10,DE=7,问:
DF的长为多少?
【解答】解:
(1)∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴DE=AF,∠FDC=∠B,
又∵∠AB=AC,
∴∠B=∠C
∴∠FDC=∠C,
∴DF=FC,
∴DE+DF=AF+FC=AC;
(2)当点D在边BC的延长线上时,在图②,DE﹣DF=AC;
当点D在边BC的反向延长线上时,在图③,DF﹣DE=AC.
(3)当在图①的情况,DF=AC﹣DE=10﹣7=3;
当在图③的情况,DF=AC+DE=10+7=17.
6.(2009春•海曙区期中)如图所示:
在四边形ABCD中,AD∥BC、BC=18cm,CD=15cm,AD=10cm,AB=12cm,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以2cm/秒的速度由A向D运动,点Q以3cm/秒的速度由C向B运动.
(1)几秒钟后,四边形ABQP为平行四边形?
并求出此时四边形ABQP的周长;
(2)几秒钟后,四边形PDCQ为平行四边形?
并求出此时四边形PDCQ的周长.
【解答】解:
(1)x秒后,四边形ABQP为平行四边形.则2x=18﹣3x,解得x=3.6.
3.6秒钟后,四边形ABQP为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm.
(2)y秒后,四边形PDCQ为平行四边形.10﹣2y=3y,解得y=2秒钟后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是6×2+15×2=42cm.
7.(2019•双峰县一模)如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
(1)求证:
△ACD≌△CBF;
(2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.
【解答】证明:
(1)由△ABC为等边三角形,AC=BC,∠FBC=∠DCA,
在△ACD和△CBF中,
,
所以△ACD≌△CBF(SAS);
(2)当D在线段BC上的中点时,四边形CDEF为平行四边形,且角DEF=30度
按上述条件作图,
连接BE,
在△AEB和△ADC中,
AB=AC,∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°,即∠EAB=∠DAC,AE=AD,
∴△AEB≌△ADC(SAS),
又∵△ACD≌△CBF,
∴△AEB≌△ADC≌△CFB,
∴EB=FB,∠EBA=∠ABC=60°,
∴△EFB为正三角形,
∴EF=FB=CD,∠EFB=60°,
又∵∠ABC=60°,
∴∠EFB=∠ABC=60°,
∴EF∥BC,
而CD在BC上,∴EF平行且相等于CD,
∴四边形CDEF为平行四边形,
∵D在线段BC上的中点,
∴F在线段AB上的中点,
∴∠FCD60°=30°
则∠DEF=∠FCD=30°.
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