素数无穷的一种证明Word文档下载推荐.docx
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对于任一奇数M(M>2),关于某一奇素数p,p≤M,设集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中奇数的总个数与集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数的比值为t,则:
(1)、当(2m-1)p=M时,t>1÷
(2)、当(2m-1)p+p-1=M时,t=1÷
(3)、当(2m-1)p+p-1<M时,t<1÷
(4)、当(2m-1)p+p-1>M时,t>1÷
其中(2m-1)p为该形式下不大于正整数M的最大奇数。
因为集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中有m个奇数,集合{1,3,5,7,9,…,M}中有(M+1)÷
2个奇数,那么集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中奇数的总个数与集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数的比值t为下列情形之一:
(ⅰ)、当(2m-1)p=M时,则(M+1)÷
2=(2m-1)p÷
2<mp,所以t=m÷
(M+1)>1÷
p;
(ⅱ)、当(2m-1)p+p-1=M时,则(M+1)÷
2=[(2m-1)p+p-1+1]÷
2=mp,所以t=m÷
(ⅲ)、当(2m-1)p+p-1<M时,则(M+1)÷
2>mp,所以t=m÷
(M+1)<1÷
(ⅳ)、当(2m-1)p+p-1>M时,则(M+1)÷
2<mp,所以t=m÷
(M+1)>1÷
综上所述,引理2成立。
引理3:
对于一个相当大的正整数M,关于任一小于正整数M的奇素数p,设集合{p,2p,3p,…,mp}中正整数的总个数与集合{1,2,3,4,5,6,…,M}中正整数的总个数的比值为t,则t≈1÷
p(其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数)。
对于任一奇素数p,集合{p,2p,3p,…,mp}有m个元素,集合{1,2,3,4,5,6,…,M}有M个无素,那么集合{p,2p,3p,…,mp}中正整数的总个数与集合{1,2,3,4,5,6,…,M}中正整数的总个数的比值t为下列情形之一:
(ⅱ)、当mp≠M时,因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数,那么mp<M,我们令M=mp+h,那么h<p,所以mp<M=mp+h<(m+1)p,则m÷
(m+1)p<t=m÷
M<1÷
p,因为正整数M相当大,那么正整数m也相当大,那么m÷
(m+1)p≈1÷
p≈m÷
M,故t≈1÷
综上所述,引理3成立。
引理4:
对于一个相当大的奇数M,关于任一小于奇数M的奇素数p,设集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中奇数的总个数与集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数的比值为t,则t≈1÷
p(其中(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数)。
对于任一奇素数p,集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}共有m个奇数,集合{1,3,5,7,9,…,M}共有(M+1)÷
(ⅰ)、当(2m-1)p=M时,(M+1)÷
2=mp-(p-1)÷
2,因为m÷
(mp-p)=m÷
(m-1)p,当M为相当大的奇数时,那么m也为相当大的正整数,则m÷
(m-1)p≈1÷
p,即m÷
[mp-(p-1)÷
2]≈1÷
p,t≈1÷
2=mp,那么t=m÷
mp=1÷
(ⅲ)、当(2m-1)p+p-1<M时,我们令(2m-1)p+p-1+h=M,然而1≤h<p+1,这是因为(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数,我们假设令h=p,则(M+1)÷
2=mp+p÷
2<(m+1)p,即mp<mp+p÷
2<(m+1)p,当M为相当大的奇数时,那么m也为相当大的正整数,然而m÷
[(m+1)p]≈1÷
p,故t≈1÷
(ⅳ)、当(2m-1)p+p-1>M时,我们令(2m-1)p+p-1-h=M,然而1≤h≤p-1,这是因为(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数,我们假设令h=p-1,则(M+1)÷
2=[mp-(p-1)÷
2]>(m-1)p,即(m-1)p<[mp-(p-1)÷
2]<mp,当M为相当大的奇数时,那么m也为相当大的正整数,则m÷
[(m-1)p]≈1÷
综上所述,引理4成立。
引理5:
对于任一比较大的正整数M,设奇素数p1,p2,p3,…,pt均为不大于√M的全体奇素数(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),那么在区间[√M,M]中任何一个奇合数a,奇合数a均能被集合{p1,p2,p3,…,pt}中某一个奇素数pi(i=1,2,3,…,t)整除。
设奇数a为区间[√M,M]中的一个奇合数,不管奇合数a等于M还是小于M,奇合数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的乘积,不妨设a=b·
c,b≥3,c≥3,那么b或c中至少有一个素因子d,d≤√M。
故引理5成立。
定义2:
在集合{1,3,5,7,9,…,(M-3),(M-1)}中筛除属于集合{3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中的全体元素,这种筛除方式,称之为埃拉托斯特尼顺筛(简称顺筛);
其中M为比较大的偶数,p为小于偶数M的奇素数,(2m-1)p为该形式下小于偶数M的最大奇数。
定义3:
对于正实数x,符号〔x〕表示为不小于x的最小正整数;
符号【x】表示为不大于x的最大正整数。
引理6:
设有一个相当大的正整数M,对于任一小于正整数M的奇素数p,集合{p,2p,3p,…,mp}中正整数的总个数为m,其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数,那么m≤M÷
(ⅰ)、当mp=M时,那么m=M÷
(ⅱ)、当mp≠M时,因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数,我们设M=mp+k,显然k为正整数,且k<p,那么m<(mp+k)÷
p,即m<M÷
综上所述,引理6成立。
引理7:
设有一个相当大的奇数M,对于任一小于奇数M的奇素数p,集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中奇数的总个数为m,其中(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数,那么m≈M÷
对于任一小于奇数M的奇素数p,集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中共有m个奇数,集合{1,3,5,7,9,…,M}中共有(M+1)÷
2个奇数,那么集合{1,3,5,7,9,…,M}中含全体奇素数p的倍数(包括奇素数p在内)的总个数为下列情形之一:
(ⅰ)、当(2m-1)p=M时,集合{1,3,5,7,9,…,M}中共有(M+1)÷
2个奇数,而(M+1)÷
2],因为[mp-(p-1)÷
2]÷
p>(m-1)p÷
p=(m-1),又因为M为相当大的奇数,那么m也为相当大的正整数,故m≈M÷
(ⅱ)、当(2m-1)p+p-1=M时,(M+1)÷
2=mp,则m=M÷
(ⅲ)、当(2m-1)p≠M,(2m-1)p+p-1<M时,我们令(2m-1)p+p-1+h=M,h为正整数,然而1≤h<p+1,这是因为h=p+1时与(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数相矛盾;
我们令h=p,则(M+1)÷
2=[mp+p÷
2]<(m+1)p,即mp<[mp+(p-1)÷
2]<(m+1)p,因为M为相当大的奇数,那么m也为相当大的正整数,故m≈M÷
(ⅳ)、当(2m-1)p≠M,(2m-1)p+p-1>M时,我们令(2m-1)p+p-1-h=M,然而1≤h<p-1,这是因为h=p-1时与(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数相矛盾;
我们令h=p-2,则(M+1)÷
2]<mp,因为M为相当大的奇数,那么m也为相当大的正整数,故m≈M÷
综上所述,引理7成立。
引理8:
对于一个相当大的奇数M,关于任何两个均小于正整数M的奇素数p和q(p≠q),若在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除属于集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中的全体元素和筛除属于集合{q,3q,5q,7q,9q,…,(2m´
-1)q}中的全体元素,则有下列不等式成立:
W-【W÷
p】-【W÷
q】+【W÷
(pq)】≈【W(1-1÷
p)(1-1÷
q)】。
其中W为集合{1,3,5,7,9,…,M}中元素的个数,(2m-1)p为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2m´
-1)q为该形式下不大于奇数M的最大奇数。
对于一个相当大的奇数M,由引理4和引理6以及引理7可知,关于任一小于奇数M的奇素数g,那么集合{g,3g,5g,7g,9g,…,(2m-1)g}中奇数的总个数与集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数的比值约等于1÷
g,其中(2m-1)g为该形式下不大于奇数M的最大正整数;
那么任何两个均小于正整数M的奇素数p和q(p≠q),若要在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除属于集合{p,3p,5p,7p,9p,…,(2m-1)p}中的全体奇数和筛除属于集合{q,3q,5q,7q,9q,…,(2m´
-1)q}中的全体奇数,又因【W÷
p】≈W÷
p,【W÷
q】≈W÷
q,【W÷
(pq)】≈W÷
(pq),则有W-【W÷
(pq)】≈〔W(1-1÷
p)〕-【W÷
q(1-1÷
p)】≈【W(1-1÷
q)】,其中W为集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数。
故引理8成立。
引理9:
对于一个相当大的奇数M,设奇素数p1,p2,p3,…,pt均为不大于√M的全体奇素数(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),若需在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除全体奇合数,那么只需在集合{1,3,5,7,9,…,M}中筛除属于集合{p1,3p1,5p1,7p1,9p1,…,(2m1-1)p1}中的全体元素,筛除属于集合{p2,3p2,5p2,7p2,9p2,…,(2m2-1)p2}中的全体元素,筛除属于集合{p3,3p3,5p3,7p3,9p3,…,(2m3-1)p3}中的全体元素,…,筛除属于集合{pt,3pt,5pt,7pt,9pt,…,(2mt-1)pt}中的全体元素;
则有下列不等式成立:
W-(【W÷
p1】+【W÷
p2】+【W÷
p3】+…+【W÷
pt】)+[【W÷
(p1p2)】+【W÷
(p1p3)】+【W÷
(p1p4)】+…+【W÷
(pt-1pt)】]-[(【W÷
(p1p2p3)】+【W÷
(p1p2p4)】+【W÷
(p1p2p5)】+…+【W÷
(pt-2pt-1pt)】]+…+(-1)t【W÷
(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】≈【W(1-1÷
p1)(1-1÷
p2)(1-1÷
p3)…(1-1÷
pt-1)(1-1÷
pt)】。
其中W为集合{1,3,5,7,9,…,M}中奇数的总个数,(2m1-1)p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2m2-1)p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2m3-1)p3为该形式下不大于奇数M的最大奇数,…,(2mt-1-1)pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数,(2mt-1)pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。
由引理4和引理5以及引理6和引理7可知,因为在区间[√M,M]中的任何一个奇合数a,奇合数a均能被集合{p1,p2,p3,…,pt}中某一个奇素数pi整除,那么W-(【W÷
(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】=W-【W÷
p1】-(【W÷
p2】-【W÷
(p1p2)】)-(【W÷
p3】-【W÷
(p1p3)】-【W÷
(p2p3)】+【W÷
(p1p2p3)】)-…-(【W÷
pt】-【W÷
(p1pt)】-【W÷
(p2pt)】-【W÷
(p3pt)】-…-【W÷
(pt-1pt)】+【W÷
(p1p2pt)】+【W÷
(p1p3pt)】+【W÷
(p1p4pt)】+…+【W÷
(pt-2pt-1pt)】)-…+(-1)t【W÷
(p1p2p3…pt-2pt-1pt)】≈〔W(1-1÷
p1)〕-【W÷
p2(1-1÷
p1)】-(【W÷
p2)】-(【W÷
p3(1-1÷
p2)】)-…-(【W÷
p3)】-…+(-1)t【W÷
故引理9成立。
定理1:
素数无穷多。
根据引理5,对于任一比较大的正整数M,设奇素数p1,
p2,p3,…,pt均为不大于√M的全体奇素数(pi<pj,i<j,i、j=1,2,3,…,t),设集合{1,3,5,7,9,…,(2m-3),(2m-1)}中元素的总个数为W;
又设置集合A1={p1,3p1,5p1,7p1,9p1,…,(2m1-1)p1},集合A2={p2,3p2,5p2,7p2,9p2,…,(2m2-1)p2},集合A3={p3,3p3,5p3,7p3,9p3,…,(2m3-1)p3},…,集合At={pt,3pt,5pt,7pt,9pt,…,(2mt-1)pt};
其中奇数(2m1-1)p1为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,奇数(2m2-1)p2为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,奇数(2m3-1)p3为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,…,奇数(2mt-1-1)pt-1为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,奇数(2mt-1)pt为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数。
我们用【W÷
p1】表示集合{p1,3p1,5p1,7p1,9p1,…,(2m1-1)p1}中全体奇数的总个数,【W÷
p2】表示集合{p2,3p2,5p2,7p2,9p2,…,(2m2-1)p2}中全体奇数的总个数,【W÷
(p1p2)】表示集合{p1,3p1,5p1,7p1,9p1,…,(2m1-1)p1}∩{p2,3p2,5p2,7p2,9p2,…,(2m2-1)p2}中全体奇数的总个数,【W÷
p3】表示集合{p3,3p3,5p3,7p3,9p3,…,(2m3-1)p3}中全体奇数的总个数,【W÷
(p1p3)】表示集合{p1,3p1,5p1,7p1,9p1,…,(2m1-1)p1}∩{p3,3p3,5p3,7p3,9p3,…,(2m3-1)p3}中全体奇数的总个数,【W÷
(p2p3)】表示集合{p2,3p2,5p2,7p2,9p2,…,(2m2-1)p2}∩{p3,3p3,5p3,7p3,9p3,…,(2m3-1)p3}中全体奇数的总个数,…,【W÷
(ptpt-1…p3p2p1)】表示集合{p1,3p1,5p1,7p1,9p1,…,(2m1-1)p1}∩{p2,3p2,5p2,7p2,9p2,…,(2m2-1)p2}∩{p3,3p3,5p3,7p3,9p3,…,(2m3-1)p3}∩…∩{pt,3pt,5pt,7pt,9pt,…,(2mt-1)pt}中全体奇数的总个数。
根据减多了要加进来,加多了要减出去的原则;
那么我们令u=W-【W÷
p1】-【W÷
(p1p2)】-【W÷
p3】+【W÷
(p2p3)】-【W÷
(p1p2p3)】-【W÷
p4】+【W÷
(p1p4)】+【W÷
(p2p4)】+【W÷
(p3p4)】-【W÷
(p1p2p4)】-【W÷
(p2p3p4)】-【W÷
(p1p3p4)】+【W÷
(p1p2p3p4)】-【W÷
p5】+…+(-1)t【W÷
(ptpt-1…p3p2p1)】≈【W(1-1÷
p3)(1-1÷
p4)…(1-1÷
对于等式u´
=【W(1-1÷
pt)】,因为u=【W(1-1÷
pt)】=【W×
(2÷
3)×
(4÷
5)×
(6÷
7)×
(10÷
11)×
(12÷
13)×
(16÷
17)×
…×
(1-2÷
pt-1)×
pt)】>W÷
pt,pt为不大于√M的最大奇素数,所以我们从比值(W÷
pt)不难得出这样一个结论:
随着正整数M不断地增大,那么u´
的值也会增大。
现在我们假定素数不存在无限多,那么就必然存在一个正整数X,从这个正整数X开始,后面的自然数不会存在有素数,也就是说对于等式u´
pt)】,从正整数X开始,u´
的值不会随着正整数M的增大而增大,这样就产生了矛盾。
所以假定素数不存在无限多不成立。
综上所述,定理1成立。
参考文献
[1]XX百科
[2]戎士奎,十章数论(贵州教育出版社)1994年9月第1版
[3]王文才,施桂芬,数学小辞典(科学技术文艺出版社)1983年2月第1版
[4]闵嗣鹤,严士健,初等数论(人民教育出版社)1983年2月第6版
[5]刘玉琏,付沛仁,数学分析(高等教育出版社)1984年3月第1版
二〇一五年一月二十六日
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