二次函数与几何综合压轴题题型归纳.docx
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二次函数与几何综合压轴题题型归纳
学生:
科目:
数学教师:
课题
函数的综合压轴题型归类
教学目标
1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系
2、掌握特殊图形面积的各种求法
重点、难点
1、利用图形的性质找点
2、分解图形求面积
教学容
一、二次函数和特殊多边形形状
二、二次函数和特殊多边形面积
三、函数动点引起的最值问题
四、常考点汇总
4、二次函数与轴的交点为整数点问题。
(方法同上)
例:
若抛物线与轴交于两个不同的整数点,且为正整数,试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:
已知关于的方程(为实数),求证:
无论为何值,方程总有一个固定的根。
解:
当时,;
当时,,,、;
综上所述:
无论为何值,方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题,举例如下:
已知抛物线(是常数),求证:
不论为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。
解:
把原解析式变形为关于的方程;
∴,解得:
;
∴抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。
(题目要求等价于:
关于的方程不论为何值,方程恒成立)
小结:
关于的方程有无数解
7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)
(1)如图,直线、,点在上,分别在、上确定两点、,使得之和最小。
(2)如图,直线、相交,两个固定点、,分别在、上确定两点、,使得之和最小。
(3)如图,是直线同旁的两个定点,线段,在直线上确定两点、(在的左侧),使得四边形的周长最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法:
直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法:
如右图,S△PAB=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y
9、函数的交点问题:
二次函数()与一次函数()
(1)解方程组可求出两个图象交点的坐标。
(2)解方程组,即,通过可判断两个图象的交点的个数
有两个交点
仅有一个交点
没有交点
10、方程法
(1)设:
设主动点的坐标或基本线段的长度
(2)表示:
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
(3)列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的图形
平移
、
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的图形
勾股定理逆定理
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
直角三角形
直角梯形
矩形
跟线段有关的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。
等腰三角形
全等
等腰梯形
跟角有关的图形
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
【例题精讲】
O
x
y
A
B
C
D
一基础构图:
y=(以下几种分类的函数解析式就是这个)
★和最小,差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标
在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标
★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P,使得面积最大,求出P坐标
★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得为直角三角形,
求出P坐标或者在抛物线上求点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.
★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得为等腰三角形,
求出P坐标
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,
且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标
二综合题型
例1(中考变式)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。
交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形,若存在,求出点P的坐标。
若没有,请说明理由
(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式?
关写出X的取值围?
当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?
(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。
当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形?
(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大?
例2考点:
关于面积最值
如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长;
(3)求△PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标.
例3考点:
讨论等腰
如图,已知抛物线y=x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
例4考点:
讨论直角三角
⑴如图,已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上
确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有().
(A)2个(B)4个(C)6个(D)7个
⑵已知:
如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
例5考点:
讨论四边形
已知:
如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),点B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在
(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?
如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
综合练习:
1、平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB,求点P的坐标;
(3)Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的平分线的对称点为,若,求点Q的坐标和此时△的面积。
2、在平面直角坐标系中,已知二次函数的图像与轴交于点,与轴交于A、B两点,点B的坐标为。
(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2)点M是第二象限抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:
2的两部分,求出此时点的坐标;
(3)点P是第二象限抛物线上的一动点,问:
点P在何处时△的面积最大?
最大面积是多少?
并求出此时点P的坐标。
3、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴负半轴交于点,顶点为,且对称轴与轴交于点。
(1)求点的坐标(用含的代数式表示);
(2)为中点,直线交轴于,若(0,2),求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点在直线上,且使得的周长最小,在抛物线上,在直线上,若以为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标。
4、已知关于的方程。
(1)若方程有两个不相等的实数根,求的取值围;
(2)若正整数满足,设二次函数的图象与轴交于两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象;请你结合这个新的图象回答:
当直线与此图象恰好有三个公共点时,求出的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。
5如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(﹣4,0)和B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(﹣2,0).问是否有直线l,使△ODF是等腰三角形?
若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1.已知二次函数y=x2+(m-1)x+m-2的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2.
(1)若x1x2<0,且m为正整数,求该二次函数的表达式;
(2)若x1<1,x2>1,求m的取值围;
(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(4)若过点D(0,)的直线与
(1)中的二次函数图象相交于M、N两点,且=,求该直线的表达式.
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数y=x2+mx+m-5,
(1)求证:
不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;
(2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且m<5,则整数m的值为_____________
例2.已知二次函数y=x2-2mx+4m-8.
(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值围;
A
O
x
y
(2)以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的接正(M,N两点在拋物线上),请问:
△AMN的面积是与m无关的定值吗?
若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;
(3)若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,
求整数m的值.
题型四、抛物线与对称,包括:
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例1.已知抛物线(其中b>0,c≠0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n),且AB=2.
(1)求m,b的值
(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方,且BO=。
求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒:
请画图思考)
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)
例1.已知:
二次函数的图象与x轴交于不同的两点A(,0)、B(,0)(<),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.
(1)数m的取值围;
(2)如果(+1)(+1)=8,求二次函数的解析式;
(3)把
(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移,如果平移后的函数图象与x轴交于点、,顶点为点C1,且△是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式.
综合提升
1.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且|AB|=2,图象的对称轴为x=1
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- 关 键 词:
- 二次 函数 几何 综合 压轴 题型 归纳