高考数学数列求和.docx
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高考数学数列求和
数列求和
【复习目标】
理解数列求和的基本思路,熟练掌握以下方法:
1.公式法求和(等差(比)数列求和.)
2.错位相减法.
3.倒序相加法.
4.裂项相消法求和与并项求和.
5.分组转化法求和
【知识要点】
求数列的前n项和Sn通常要掌握以下方法:
1.直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意等比数列求和时分的讨论.
2.错位相减法:
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和,此法即等比数列求和公式的推导方法.
3.分组求和法:
把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求和.
4.裂项相消法:
把数列的通项折成几项求和,正负相消剩下(首尾)若干项求和.
(1);
(2);
(3).
5.倒序相加法:
即等差数列求和公式的推导方法.
6.公式法(注意公式的推导).常用的公式有:
=;=;
【基础训练】
1、写出等差数列{an}的前n项和的推导过程:
这种求和方法称为
2、写出等比数列{an}的前n项和的推导过程:
这种求和方法称为
3.数列1,3,5,7,…的前n项和Sn=
4.,求{an}前n项和Sn=.
5.已知,求{an},前n项之和Sn=.
【典型例题】
例1、求下面各数列的前n项和:
(1)1×2,2×3,3×4,4×5。
。
。
(2)
例2、设,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(–5)+f(–4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为.
变式:
求和:
例3、数列{an}的通项公式为an=n*则求Sn
例4(2006年·北京海淀期中)已知数列{an}满足:
a1=1,an+1=
(1)求a2,a3;
(2)当n≥2时,求a2n–2与a2n的关系式,并求数列{an}中偶数项的通项公式;
(3)求数列{an}前100项中所有奇数项的和.
【规律总结】
1.若是等差(比)数列求和问题,则直接用公式求和时,注意公式的应用范围(q=1和q≠1两类).
2.非等差(比)数列求和,关键在于转化为等差(比)数列求和;写出通项公式,观察通项形式与特点、或拆项或并项、或错位相减或倒序相加.
3.数列求和需熟练基本方法,积累一定经验.
【考题链接】
1.(05山东文21)已知数列的首项前项和为,且
(I)证明数列是等比数列;
(II)令,求函数在点处的导数,
并比较与的大小.
2、(06湖北)设数列的前n项和为,点均在函数y=3x-2的图像上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
数列求和08016
1.数列,,,…,的前n项和是()
A.1–B.1+
C.1+D.1–
2.已知数列{an}的前n项和Sn=1–5+9–13+17–21+…+(–1)n–1(4n–3),则S15+S22–S31的值为()
A.3B.-76
C.46D.6
3.数列{an}的通项an=2n+1,则由bn=所确定的数列{bn}的前n项之和是()
A.n(n+2)B.n(n+4)
C.n(n+5)D.n(n+7)
4.Sn==.
5.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n–1)an–1(n≥2),则{an}的通项公式an=
6.求和:
(1)Sn=;
(2)Sn=1+2×3+3×7+…+n(2n–1).
7.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=5a2,a3=3.令bn=,n∈N*.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求Tn=b1+b2+…+bn.
8.设数列{an}对所有正整数n都满足:
a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8–5n.
求数列{an}的前n项和Sn.
【知识要点】
求数列的前n项和Sn通常要掌握以下方法:
1.直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意等比数列求和时q=1、q≠1的讨论.
2.错位相减法:
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和,此法即等比数列求和公式的推导方法.
3.分组求和法:
把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求和.
4.裂项相消法:
把数列的通项折成几项求和,正负相消剩下(首尾)若干项求和.
(1);
(2);
(3).
5.倒序相加法:
即等差数列求和公式的推导方法.
6.公式法(注意公式的推导).常用的公式有:
n(n+1)(2n+1);
=n2(n+1)2.
【基础训练】
1、写出等差数列{an}的前n项和的推导过程:
【解析】Sn=a1+a2+…+an–1+an
Sn=an+an–1+…+a2+a1,
两式相加:
2Sn=(a1+an)+(a2+an–1)+…+(an+a1)
=(a1+an)·n
1.得.
这种求和方法称为倒序相加法
.2、写出等比数列{an}的前n项和的推导过程:
【解析】Sn=a1+a1q+…+a1qn–1
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn
由错位相减,得(1–q)Sn=a1–a1qn
.
这种求和方法称为错位相减法
3.数列1,3,5,7,…的前n项和Sn=.
【解析】裂项法:
S=(1+3+5+…+2n–1)+()
【点评】通过裂项,将数列转化为等差、等比数列求和,这是数列求和的基本思路.
4.,求{an}前n项和Sn=.
【解析】当n=2k(k∈N+)时,
Sn=(1–4)+(1–4)+…+(1–4)=–3k,
当n=2k–1(k∈N*)时,
Sn=S2k+4=–3k+4,
故Sn=
【点评】并项求和.并项后转化为易求和型.
5.已知,求{an},前n项之和Sn=.
【解析】
==
【点评】拆项相消法.
【典型例题】
例1、求下面各数列的前n项和:
(1)1×2,2×3,3×4,4×5。
。
。
(2)
例2【解析】∵,∴=,
∴,设S=f(–5)+f(–4)+…+f(6),
则S=f(6)+f(5)+…+f(–5),∴2S=(f(6)+f(–5)+(f(5)+f(–4))+…+
(f(–5)+f(6))=,∴S=f(–5)+f(–4)+…+f(6)=.
【点评】使用“倒序相加法”求和的题型特征是“与首末两端距离相等的两项的和都相等”.本题中,倒序相加后,对应项的和中自变量的和都等于1,故需探求f(x)+f(1–x)的值.
变式:
求和:
例3、数列{an}的通项公式为an=n*则求Sn
拓展:
设,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],an=,其中n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小,并说明理由.
【解析】
(1)f1(0)=2,,
fn+1(0)=f1[fn(0)]=,
=
=.
∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列,∴.
(2)+2na2n,+…+=a2+2a3+…+(2n–1)a2n–na2n,
∴=a1+a2+…+a2n+na2n
=
=,
∴
=,
∴
,
当n=1时,22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n<Qn;
当n=2时,22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n<Qn;
当n≥3时,
22n=[(1+1)n]2=()2>(2n+1)2,
∴9T2n>Qn.
综上,当n=1,2时,9T2n<Qn;
当n≥3时,9T2n>Qn.
【点评】数列求和中的错位相减法是最近几年高考题中常考内容,往往和解析几何、函数、不等式等知识联系较多,且涉及分类讨论等思想方法,考生须熟练掌握,“错位”是为了对齐同类项,最后一项符号易错,求和时,只有部分成等比(差)数列.
例4【解析】
(1).
(2),
即a2n–1=a2n–2–2(2n–2).,
即.∴.
∴,∴(n∈N*).
(3)∵当n=2k时,a2k+1=a2k–2×2k(k=1,2,…,49).
∴叠加可得所有奇数项的和
1–2×(2+4+…+98)+a2+a4+…+a98=.
【考题链接】
解:
由已知可得两式相减得
即从而当时所以又所以从而
故总有,又从而即数列是等比数列;
(II)由(I)知
因为所以
从而=
=-=
由上-=
=12①
当时,①式=0所以;
当时,①式=-12所以
当时,又
所以即①从而
数列求和08016
1.数列,,,…,的前n项和是(D)
A.1–B.1+
C.1+D.1–
【解析】拆项相消法,或特殊值验证法,选D.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=1–5+9–13+17–21+…+(–1)n–1(4n–3),则S15+S22–S31的值为(B)
A.3B.-76
C.46D.6
【解析】并项求和,选B.
3.数列{an}的通项an=2n+1,则由bn=所确定的数列{bn}的前n项之和是(C)
A.n(n+2)B.n(n+4)
C.n(n+5)D.n(n+7)
【解析】裂项求和,或特殊值验之,选C.
二、填空题
4.Sn==.
【解析】拆项相消法.
5.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n–1)an–1(n≥2),则{an}的通项公式an=.
【解析】当n=1时,a1=1,当n≥2时,由an-an-1=(n-1)an-1,从而化成递推数列用累乘.
三、解答题
6.求和:
(1)Sn=;
(2)Sn=1+2×3+3×7+…+n(2n–1).
【解析】
(1)分a=1和a≠1两种情况.
当a=1时,Sn=1+2+3+…+n=;
当a≠1时,Sn=,
两边同乘以,得
,
两式相减,得
,
即Sn=.
综上所述,得
Sn=
(2)Sn=(1×2–1)+(2×22–2)+…+(n·2n–n)
=(1×2+2×22+…+n·2n)–(1+2+…+n),nnnnnnnnnnnnnnnnn
令.
2,
∴
=2(2n–1)–n·2n+1=–(n–1)·2n+1–2,
∴,
∴n(n+1).
7.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=5a2,a3=3.令bn=,n∈N*.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求Tn=b1+b2+…+bn.
【解析】法一:
(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意得
解得a1
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