高中教育最新高中数学学业质量标准自测新人教A版选修1Word下载.docx
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5×
5+17。
5=50,
∴50=,
∴m=60,故选D.
5.用反证法证明命题“+是无理数”时,下列假设正确的是( D )
A.假设是有理数
B.假设是有理数
C.假设或是有理数
D.假设+是有理数
[解析] “+是无理数”的否定是“+不是无理数”,故选D.
6.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,其中可以输出的函数是( D )
A.f(x)=x2B.f(x)=
C.f(x)=lnx+2x-6D.f(x)=sinx
[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数,第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点.结合选项知,函数f(x)=sinx为奇函数,且存在零点,故选D.
7.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时,通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度,如果k>
5。
024,那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( D )
p(K2>
k)
0。
50
40
25
15
10
k
455
708
1。
323
2。
072
706
05
025
010
005
001
3。
84
024
6。
635
7。
879
10。
83
A.25%B.75%
C.2。
5%D.97。
5%
[解析] 查表可得K2>
024。
因此有97。
5%的把握认为“x和y有关系”.
8.如图是《选修1-2》第二章“推理与证明”的知识结构图,不是证明方法的是( A )
A.类比B.综合法
C.反证法D.分析法
[解析] 据推理的相关知识及结构图知,类比不是证明方法.故选A.
9.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1,则∠A1FB1等于( C )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
[解析] 如图由抛物线的定义得,|AF|=|AA1|,
|BF|=|BB1|,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
又∠1+∠2+∠3+∠4+∠A1AF+∠B1BF=360°
,
且∠A1AF+∠B1BF=180°
,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°
,∴2(∠2+∠4)=180°
,即∠2+∠4=90°
故∠A1FB1=90°
。
10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( D )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
[解析] 由题知c=,设双曲线方程为-=1(t>
0)
由消去y得,
(7-2t)x2+2tx-8t+t2=0。
由题意知=-,
∴x1+x2==-,∴t=2,
∴双曲线方程为-=1。
11.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值依次是( B )
A.12,-15B.5,-15
C.5,-4D.-4,-15
[解析] y′=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)·
(x+1),令y′=0,得x=-1或x=2,∵x∈[0,3],
∴x=-1舍去.
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
-
+
f(x)
5
极小值-15
-4
由上表可知,函数在[0,3]上的最大值为5,最小值为-15,故选B.
12.已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x),则( D )
A.f
(2)<
e2f(0)B.f
(2)≤e2f(0)
C.f
(2)=e2f(0)D.f
(2)>
e2f(0)
[分析] 所给四个选项实质是比较f
(2)与e2f(0)的大小,即比较与的大小,故构造函数F(x)=解决.
[解析] 设F(x)=,则f′(x)=>
0,
∴F(x)在R上为增函数,故F
(2)>
F(0),
∴>
,即f
(2)>
e2f(0).
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)
13.已知命题p:
∃x∈R,使sinx=,则¬
p= ∀x∈R,使sinx≠ 。
[解析] 全称命题的否定是特称命题.
14.(20xx·
福建×
×
市高二检测)已知复数z满足z(1+i)=1(i为虚数单位),则z= -i 。
[解析] z===-i。
15.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第五个等式应为__5+6+7+8+9+10+11+12+13=81__。
[解析] 第1个等式有1项,从1开始;
第2个等式有3项,从2开始;
第3个等式有5项,从3开始;
第4个等式有7项,从4开始.
每个等式左边都是相邻自然数的和,右边是项数的平方,故由已知4个等式的变化规律可知,第5个等式有9项,从5开始,等式右边是92,故为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81。
16.已知点A(x1,ax1)、B(x2,ax2)是函数y=ax(a>
1)的图象上任意不同的两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间的函数图象的上方,因此有结论>
a成立.运用类比的思想方法可知,若点A(x1,sinx1)、B(x2,sinx2)是函数y=sinx(x∈(0,π))的图象上任意不同的两点,则类似地有 <
sin 成立。
[解析] 依据函数y=sinx(x∈(0,π))的图象可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方,所以有<
sin。
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)
(1)计算()2+;
(2)复数z=x+yi(x、y∈R)满足z+2i=3+i,求复数z的对应点Z所在的象限.
[解析]
(1)原式=+
=i+=+i。
(2)由z+2i=3+i得
(x+2y)+(y+2x)i=3+i,
∴,
解得x=-,y=,
∴z=-+i,
∴复数z对应点Z的坐标为(-,),即在第二象限.
18.(本题满分12分)已知命题p:
方程+=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线,命题q:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,又p∨q为真,¬
q为真,求实数m的取值范围。
[解析] p:
,∴m>
故p:
m>
q:
△=16(m-2)2-16<
即m2-4m+3<
∴1<
m<
故q:
1<
又∵p∨q为真,¬
q为真,
∴p真q假,
即,
∴m≥3。
19.(本题满分12分)(20xx·
广东×
市高二检测)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了50人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:
年龄
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
支持“生育二胎”
4
12
8
1
由以上统计数据填下面2×
2列联表,并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异。
年龄不低于45岁
年龄低于45岁
合计
支持
不支持
参考数据:
P(K2≥k)
050
841
828
[解析] 列联表如下:
29
32
7
11
18
由公式得K2=
=≈6。
272<
635。
故没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.
20.(本题满分12分)已知a、b、c是全不相等的正实数,求证:
++>
[解析] 解法一:
(分析法)
要证++>
3,
只需证明+-1++-1++-1>
即证+++++>
而事实上,由a、b、c是全不相等的正实数,
得+>
2,+>
从而+++++>
故++>
3得证.
解法二:
(综合法)
∵a、b、c全不相等,
∴与,与,与全不相等.
∴+>
三式相加得+++++>
6,
∴(+-1)+(+-1)+(+-1)>
即++>
21.(本题满分12分)(20xx·
全国Ⅲ文,20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?
说明理由.
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
[解析]
(1)解:
不能出现AC⊥BC的情况.理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),
则x1,x2满足x2+mx-2=0,
所以x1x2=-2。
又点C的坐标为(0,1),
故AC的斜率与BC的斜率之积为·
=-,
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明:
BC的中点坐标为(,),可得BC的中垂线方程为y-=x2(x2-).
由
(1)可得x1+x2=-m,
所以AB的中垂线方程为x=-。
联立
又x+mx2-2=0,
可得
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-,-),半径r=。
故圆在y轴上截得的弦长为2=3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
22.(本题满分12分)(20xx·
全国Ⅱ文,21)设函数f(x)=(1-x2)ex。
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
f′(x)=(1-2x-x2)ex。
令f′(x)=0得x=-1-或x=-1+。
当x∈(-∞,-1-)时,f′(x)<
0;
当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)>
当x∈(-1+,+∞)时,f′(x)<
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)单调递减,在(-1-,-1+)单调递增.
(2)解:
f(x)=(1+x)(1-x)ex。
当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,
则h′(x)=-xex<
0(x>
0),
因此h(x)在[0,+∞)单调递减.
而h(0)=1,故h(x)≤1
所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1。
当0<
a<
1时,设函数g(x)=ex-x-1,
则g′(x)=ex-1>
所以g(x)在[0,+∞)单调递增.
而g(0)=0,故ex≥x+1。
x<
1时,f(x)>
(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),
取x0=,
则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,
故f(x0)>
ax0+1。
当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>
(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1。
综上,a的取值范围是[1,+∞).
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