袁聪原创专题2动点产生的直角三角形问题.docx
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袁聪原创专题2动点产生的直角三角形问题
专题2动点产生的直角三角形问题
问题1
在平面中找点P,使得点P与已知点A,B构成直角三角形。
第一类点:
以AB为直角边:
分别过A,B作垂线,则两条垂线上的点(除去与A,B重合的点)都能与A,B构成直角三角形。
第二类点:
以AB为斜边:
以AB为直径作圆O,可知圆O上的点(除去与A,B重合的点)都能够与A,B构成直角三角形
总结:
这就是两垂一圆模型
问题2
熟练掌握判定直角的方法:
(1)两锐角互余
(2)勾股定理的逆定理:
若,则为直角三角形。
(3)相似法:
三垂直模型
(4)两条直线斜率:
,则二者互相垂直(水平线与铅直线除外)
问题3
熟练掌握直线与X轴的夹角与斜率的关系:
问题4
若A点的坐标为,B点的坐标为,则斜率
1.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),点B(2,−3).试问,坐标轴上是否存在一点P,使得△ABP为直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
2.如图所示,抛物线与x轴交于A(1,0),B(−3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求此抛物线的解析式。
(2)在BC直线上找点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是直角三角形,求点P的坐标。
3.如图,抛物线y=−12x2+bx+c与x轴分别相交于点A(−2,0),B(4,0),与y轴交于点C,顶点为点P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点M、N从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B. C方向运动,过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.
①当四边形OMHN为矩形时,求点H的坐标;
②是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?
若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由。
4.已知二次函数y=ax2的图象经过点(2,1).
(1)求二次函数y=ax2的解析式;
(2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(x1、y1)、B(x2、y2)两点。
①当m=1.5时(图①),求证:
△AOB为直角三角形;
5.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(2,0),B(3,3),BC⊥x轴于点C,连接OB,等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上,点E的坐标为(-4,0),点F与原点重合.
(1)求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴;
(2)△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,运动时间为t秒,当点D落在BC边上时停止运动,设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S,求出S关于t的函数关系式;
(3)点P是抛物线对称轴上一点,当△ABP是直角三角形时,请直接写出所有符合条件的点P坐标.
6.抛物线y=14x2−32x+2与x轴交于A,B两点(OA (1)求点A,B,C的坐标; (2)点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间为t秒(0 ①过点E作x轴的平行线,与BC相交于点D(如图所示),当t为何值时,的值最小,求出这个最小值并写出此时点E,P的坐标; ②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F,使△EFP为直角三角形? 若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由。 7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k≠0)经过B,C两点,已知A(1,0),C(0,3),且BC=5. (1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式); (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形? 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。 8.如图,分别以菱形BCED的对角线BE、CD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2−6ax−16a(a<0)过B. C两点,与x轴的负半轴交于点A,且∠ACB=90∘.点P是x轴上一动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作直线l垂直于x轴,交抛物线于点Q. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P在线段OB上运动时,直线l交BD于点M,试探究: ①填空: MQ=___;(用含m的化简式子表示,不写过程) ②当m为何值时,四边形CQBM的面积取得最大值,并求出这个最大值。 (3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形? 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。 9.已知: 如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C. (1)求抛物线的函数表达式; (2)设P(x,y)(0 ①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少? ②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。 10.已知: 直角三角形AOB中,∠AOB=90∘,OA=3厘米,OB=4厘米。 以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系。 设P、Q分别为AB边,OB边上的动点,它们同时分别从点A. O向B点匀速运动,移动的速度都为1厘米每秒。 设P、Q运动的时间为t秒(0⩽t⩽4). (1)求△OPQ的面积S与(厘米2)与t的函数关系式;并指出当t为何值时S的最大值是多少? (2)当t为何值时,△BPQ和△AOB相似; (3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形; (4)①试证明无论t为何值,△OPQ不可能为正三角形; ②若点P的移动速度不变,试改变点Q的运动速度,使△OPQ为正三角形,求出点Q的运动速度和此时的t值。
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