全国初中数学竞赛辅导初3 第19讲 平面几何中的几个著名定理Word格式.docx
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YC×
ZA,
仍然成立.
(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立,即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X,Z,在BC的延长线上取点Y,如果
那么X,Y,Z共线”.梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线.
例1已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF,∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D,求证:
D,E,F共线.
证如图3-99有
相乘后得
由梅内劳斯定理的逆定理得F,D,E共线.
例2(戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中,若AA′,BB′,CC′相交于一点S,则AB与A′B′,BC与B′C′,AC与A′C′的交点F,D,E共线.
证如图3-100,直线FA′B′截△SAB,由梅内劳斯定理有
同理,直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC,得
将这三式相乘得
所以D,E,F共线.
2.塞瓦定理
意大利数学家塞瓦(G.Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理,它是证明共点线的重要定理.
定理在△ABC内任取一点P,直线AP,BP,CP分别与边BC,CA,AB相交于D,E,F,则
证如图3-101,过B,C分别作直线AP的垂线,设垂足为H和K,则
由于△BHD∽△CKD,所以
同理可证
说明
(1)如果P点在△ABC外,同样可证得上述结论,但P点不能在直线AB,BC,CA上,否则,定理的结论中的分母出现零,分子也出现零,这时,定理的结论应改为
BD×
CE×
AF=DC×
EA×
FB,
(2)塞瓦定理的逆定理也成立,即“在△ABC的边BC,CA,AB上分别取点D,E,F,如果
那么直线AD,BE,CF相交于同一点.”
证如图3-102,设AD和BE相交于P,作直线CP,交直线AB于F′,由塞瓦定理得
所以F′B=FB,
即F′与F重合,所以AD,BE,CF相交于同一点.
塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点.
例3求证:
三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点.
证
(1)如果D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,则
由塞瓦定理的逆定理得中线AD,BE,CF共点.
(2)如果D,E,F分别是△ABC的内角平分线AD,BE,CF与边BC,CA,AB的交点,则
由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD,BE,CF共点.
(3)设D,E,F分别是△ABC的高AD,BE,CF的垂足.
(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3-103),D,E,F分别在BC,CA,AB上,有
BD=ccosB,DC=bcosC,CE=acosc,
EA=ccosA,AF=bcosA,FB=acosB,
所以
由塞瓦定理的逆定理得高AD,BE,CF共点.
(ii)当△ABC是钝角三角形时,有
BD=ccosB,DC=bcosC,CE=acosC,
EA=ccos(180°
-A)=-ccosA,
AF=bcos(180°
-A)=-bcosA,
FB=acosB,
由塞瓦定理的逆定理,得高AD,BE,CF共点.
(iii)当△ABC是直角三角形时,高AD,BE,CF都经过直角顶点,所以它们共点.
例4在三角形ABC的边上向外作正方形,A1,B1,C1是正方形的边BC,CA,AB的对边的中点,证明:
直线AA1,BB1,CC1相交于一点.
证如图3-104.设直线AA1,BB1,CC1与边BC,CA,AB的交点分别为A2,B2,C2,那么BA2:
A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比,即
其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1.同理
将上述三式相乘得
根据塞瓦定理的逆定理,得AA1,BB1,CC1共点.
3.斯台沃特定理
定理△ABC的边BC上任取一点D,若BD=u,DC=v,AD=t,则
证过A作AE⊥BC,E为垂足(如图3-105),设DE=x,则有
AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2,
(若E在BC的延长线上,则v-x换成x-v.)于是得
消去x得
(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v),
这就是中线长公式.
(2)当AD是△ABC的内角平分线时,由三角形的内角平分线的性质
设a+b+c=2p,得
这就是内角平分线长公式.
(3)当AD是△ABC的高时,
AD2=b2-u2=c2-v2.
再由u+v=a,解得
若设AD=ha,则
这就是三角形的高线长公式.当D在BC的延长线上时,用-v代替v,同样可得高线长线公式.
这就是三角形的面积公式.
伦公式
例5如图3-106.在△ABC中,c>b,AD是△ABC的角平分线,E在BC上,BE=CD.求证:
AE2-AD2=(c-b)2.
证为方便起见,设BD=u,DC=v,则BE=v,EC=u.由斯台沃特定理得
因为AD是角平分线,所以
于是
4.托勒密定理
托勒密(Ptolemy,约公元85~165年)是古代天文学的集大成者.一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积),实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
定理如果四边形内接于圆,那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积.
证设四边形ABCD有外接圆O,AC和BD相交于P,∠CPD=α(图3-107).若四边形ABCD的四边都相等,则四边形ABCD为圆内接菱形,即正方形,结论显然成立.若四边不全相等,不失一般性,设
∥BD,于是△ABD≌△EDB,从而AD=BE.
又
而 S四边形ABCD=S四边形BCDE,
即
(AD×
BC+AB×
CD)sin∠EBC=AC×
sinα.
由于
∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC,
AD×
CD=AC×
BD.
说明
(1)托勒密定理可以作如下推广:
“在凸四边形ABCD中,
AB×
CD+AD×
BC≥AC×
当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时,等号成立.”
由此可知,托勒密定理的逆定理也成立.
(2)托勒密定理的证明方法很多,这里采用的是面积证法.还可采用相似三角形或余弦定理证明,请读者自行完成.
例6如图3-108.过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P,Q,R,求证:
AP×
AB+AQ×
AD=AR×
AC.
证连结PQ,PR,QR.在圆内接四边形APRQ中,由托勒密定理得
QR+AQ×
PR=AR×
PQ.
又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以△PQR∽△CAB,于是
设上面的比值为k,并考虑到BC=AD,有
QR=k·
AB,PR=k·
AD,PQ=k·
CA,于是可推得
例7如图3-109.等边△ABC内接于△XYZ,A在YZ上,B在ZX上,C在XY上,证明:
证对四边形ABXC运用托勒密定理,得
AX·
BC≤BX·
AC+XC·
AB,
AX≤BX+XC.
同样地
BY≤CY+YA,CZ≤AZ+ZB.
将上述三式相加就得所要证明的不等式.
等号成立的充分必要条件是X,Y,Z在△ABC的外接圆上,但∠ZBX,∠XCY,∠YAZ都等于π,因此等号成立只能是X,Y,Z分别与C,A,B重合的情况.
平面几何中的著名定理,除了上述所介绍的梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外,还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫莱定理等等.这里,限于篇幅,因此不作讨论.
练习十九
1.已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF,∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D.求证:
2.过△ABC的三个顶点A,B,C分别作△ABC的外接圆的切线,分别和BC,CA,AB的延长线交于D,E,F.求证:
D,E,F三点共线.
3.在△ABC的边BC上任取一点D,设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB,AC于F和E.求证:
AD,BE,CF相交于同一点.
4.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥BD,DC=3,BC=7,DA=8,求AB,BD和AC的长.
PA(PA+PC)=PB(PB+PD).
6.设P是等边三角形ABC所在平面上的任意一点,那么根据P落
PC+PA=PB或PC+PA>PB.
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