中考知识点二次函数1.docx

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中考知识点二次函数1

2018中考知识点

二次函数1

1、综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：

当m为何值时，是等腰三角形．

考点：

求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构

成

分析：

（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式

点B坐标：

利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标

点E坐标：

E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令

其横坐标为，即可求出点E的坐标

（2）利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所

以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标

（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解

解答：

（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），

解得

抛物线的函数表达式为

，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）

设直线l的函数表达式为．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．

直线l的函数表达式为

点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为（3，－4）

（2）抛物线上存在点F，使≌．

点F的坐标为（）或（）．

（3）解法一：

分两种情况：

①当时，是等腰三角形．

点E的坐标为（3，－4），，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，

点M的坐标为（0，－5）．

设直线ME的表达式为，，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为（15，0）

又MH//PB，，即，

②当时，是等腰三角形．

当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），

，OE=CE，，又因为，，

，CE//PB

设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，，点N的坐标为

（6，0）

CN//PB，，，解得

综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．

解法二：

当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为

（3，－4），，，OE=CE，，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：

1当时，是等腰三角形．

，，CE//PB

又HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，，

，HM//y轴，

∽，

②当时，是等腰三角形．

轴，∽，，

，，轴，∽，

当m的值为或时，是等腰三角形．

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：

当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：

对于直线y=x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】

（1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=6，于是可求得m的值；

（2）由

（1）的可知点A、B的坐标；

（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．

【解答】解：

（1）∵y=mx2+4mx﹣5m，

∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．

令y=0得：

m（x+5）（x﹣1）=0，

∵m≠0，

∴x=﹣5或x=1．

∴A（﹣5，0）、B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x=﹣2．

∵抛物线的顶点坐标为为6，

∴﹣9m=6．

∴m=﹣．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．

（2）由

（1）可知：

A（﹣5，0）、B（1，0）．

（3）如图所示：

∵OP的解析式为y=x，

∴∠AOP=30°．

∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，FO⊥OD，

∴∠DPF=∠FOD=90°．

∴∠DPF+∠FOD=180°．

∴点O、D、P、F共圆．

∴∠PDF=∠PBF．

∴∠PDF=60°．

3、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时，计算：

PO=　5　，PH=　5　，由此发现，PO　=　PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）①求出PO、PH即可解决问题．

②结论：

PO=PH．设点P坐标（m，﹣m2+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．

（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣m2+1），由=列出方程即可解决问题．

【解答】

（1）解：

∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．

（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，

∴PO=PH，

故答案分别为5，5，=．

②结论：

PO=PH．

理由：

设点P坐标（m，﹣m2+1），

∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1

PO==m2+1，

∴PO=PH．

（3）∵BC==，AC==，AB==4

∴BC=AC，

∵PO=PH，

又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，

∴PH与BC，PO与AC是对应边，

∴=，设点P（m，﹣m2+1），

∴=，

解得m=±1，

∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．

【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题．

4、如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．

（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题．

【解答】解：

（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，

则有解得

∴二次函数y=x2﹣2x，

（2）由

（1）得，B（1，﹣1），

∵A（﹣1，3），

∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，

设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）

∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或

∴P（1+，2）和（1﹣，2）

②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或

∴P（1+，4）或（1﹣，4）．

（3）设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，

∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，

由解得，

∴OM==，ON=m•，

∴=，

∴k=时，=．

∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．

5、如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：

△OCD≌△OAB；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

解：

（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线对应的二次函数的表达式为y＝a（x－）2＋1，将原点坐标（0，0）代入表达式，得a＝－，∴抛物线对应的二次函数的表达式为：

y＝－x2＋x；

（2）将y＝0代入y＝－x2＋x中，得B点坐标为（2，0），设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx，将A（，1）代入表达式y＝kx中，得k＝，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝x.∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝x＋b，将B（2，0）代入y＝x＋b中，得b＝－2，∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝x－2.由3得交点D的坐标为（－，－3），将x＝0代入y＝x－2中，得C点的坐标为（0，－2），由勾股定理，得：

OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝2＝OD.在△OAB与△OCD中，∴△OAB≌△OCD；（3）点C关于x轴的对称点C′的坐标为（0，2），则C′D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．过点D作DQ⊥y，垂足为Q，则PO∥DQ，∴△C′PO∽△C′DQ，∴＝，即＝，∴PO＝，∴点P的坐标为（－，0）

6、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（－4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的表达式；y=-x2-x+2

（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（-4,0）（-5,-3）

（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．E1（-1,0）E2（-7,0）E3（,0）E4（,0）

解：

（1）方法一：

把A（－4，0），B（1，0）分别代入y＝－x2＋bx＋c得，解得∴y＝－x2－x＋2.方法二：

∵A（－4，0），B（1，0），设y＝－（x＋4）（x－1），得y＝－x2－x＋2；

（2）存在．令x＝0得y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2.∵A（－4，0），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，AB＝5，分两种情况①当∠PCB＝90°时，方法一：

在Rt△AOC和Rt△COB中，AC2＝AO2＋OC2＝42＋22＝20，BC2＝OC2＋OB2＝22＋12＝5.又∵AB2＝52＝25，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形