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我们已学习了数学归纳法,知道它是一种证明方法.请问:
它适用于哪些问题的证明?
生:
与连续自然数n有关的命题.
用数学归纳法证明的一般步骤是什么?
共有两个步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确;
(2)假设当n=k(k∈N,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时,结论也正确.
这两个步骤的作用是什么?
第
(1)步是一次验证,第
(2)步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程.
这实质上是在说明这个证明具有递推性.第
(1)步是递推的始点;
第
(2)步是递推的依据.递推是数学归纳法的核心.用数学归纳法证题时应注意什么?
两个步骤缺一不可.证第
(2)步时,必须用归纳假设.即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立.
只有这样,才能保证递推关系的存在,才真正是用数学归纳法证题.
今天,我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题.请看例1.
(二)归纳、猜想、证明
1.问题的提出
a3,a4,由此推测计算an的公式,然后用数学归纳法证明这个公式.
这个题目看起来庞大,其实它包括了计算、推测、证明三部分,我们可以先一部分、一部分地处理.
(学生很快活跃起来,计算工作迅速完成,请一位同学口述他的计算过程,教师板演到黑板上)
正确.怎么推测an的计算公式呢?
可以相互讨论一下.
2.归纳与猜想
我猜出了一个an的计算公式.(许多学生在偷笑)
大家在笑什么?
是笑他的“猜”吗?
“猜”有什么不好.人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的,探索新领域就需要大胆,敢猜敢想,当然还要有严谨的思维做后盾.我想他的“猜”,也一定不是胡蒙乱猜,一定会有他的道理的,说说你是怎么“猜”的.
大家也一定觉得他说的有道理,但为什么用“猜想”呢?
我只是通过对a1,a2,a3,a4的观察,就去归纳an的计算公式,这个公式不一定对,所以还只能是“猜想”.
他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后,归纳出对一切自然数的一般结论.他用的是不完全归纳法.他的结论虽不一定正确,但这却是探索新知识,发现新规律的重要途径,归纳法是可以用于猜测与发现的.
我们一起把他的“猜想”记录下来.
(教师板书)
这个“猜想”的正确性怎么能保证?
用数学归纳法证明.
3.证明
(学生口述,教师板书)
证得非常好.在证明n=k+1时,每一步的依据是什么?
因为在这里,能否用上归纳假设是关键.因此先根据定义用ak表示ak+1,然后就可代入归纳假设,再化简整理,即可证出n=k+1的相应结论.
这才能体现出递推性.必须注意要由归纳假设(n=k时)的正确性来推n=k+1时的正确性,这是用数学归纳法证题的核心与关键.
回顾我们的解题过程,光用不完全归纳法对事物的一部分特例,通过观察,加以归纳,得到猜想,再用数学归纳法对猜想加以证明.这种从观察到归纳到猜想到证明的过程,是一种科学的思维模式,也正是我们今天要研究的课题.
(板书课题:
归纳、猜想、证明)
4.不完全归纳法中的“猜测”二法
高斯说过:
“发现和创新比命题论证更重要,因为一旦抓住真理之后,补行证明往往是时间问题.”
在“归纳、猜想、证明”的过程中,猜想准确是关键.我们再看一个例题,在解题过程中重点思考:
如何猜想.
且n≥2).先求出f
(2),f(3),f(4)的值,再由此推测f(n)的计算公式,并对其正确性作出证明.
(学生们在笔记本上解答,教师巡视完成情况,请两位同学把自己的解法写到黑板上)
(学生甲书写如下)
则f(n)=f(n-1)+lg2n-1(n≥2).
f(3)=f
(2)+lg23-1=0+2lg2=2lg2,
f(4)=f(3)+lg24-1=2lg2+3lg2=5lg2.
猜想:
……
(学生乙书写如下)
得f(n)=f(n-1)+lg2n-1(n≥2).
则f
(2)=f
(1)+lg22-1=-lg2+(2-1)lg2=(-1+2-1)lg2,
f(3)=f
(2)+lg23-1=(-1+2-1+3-1)lg2,
f(4)=f(3)+lg24-1
=(-1+2-1+3-1)lg2+(4-1)lg2
=(-1+2-1+3-1+4-1)lg2.
由此可以推测:
f(n)=[-1+(2-1)+(3-1)+…+(n-1)]lg2
=[-1+1+2+…+(n-1)]lg2
f(k+1)=f(k)+lg2(k+1)-1
我们一起来看两位同学的解题过程.学生甲的计算结果正确,但没有猜出来.学生乙没有求出f
(2),f(3),f(4)的值,但猜出了计算公式,并用数学归纳法给予了证明.题目要求求值,还是应写出结果的,说说你这么写的理由吧.
生乙:
其实一开始,我跟学生甲一样,先算出了f
(2),f(3),f(4)的值,但从-lg2,0,2lg2,5lg2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了,这“多少倍的”从-1,0,2,5实在无法断定,于是我就往回找,从计算的过程中,我发现了规律,一高兴就忘了写结果了.
你是怎么从计算的过程中发现规律的?
我是看f
(2),f(3),f(4)每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上(n-1)lg2,也就是从n=2,3,4,…分别代入递推关系式f(n)=f(n-1)+(n-1)lg2的求值计算过程中得到的.这里算每一个时要用前一个的结果,写时也用它的计算过程来表示,这样就容易发现规律了.
实际上,他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的,这种归纳我们不妨称之为:
“猜结构”,而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧.
其实,我们在猜想时,往往是先看结果,从结果得不出猜想时,再看过程,从解题过程中的式子结构去思考.但不管怎么猜想,都离不开对题目特征的认识.
学生乙在用数学归纳法证明猜想时,注意了两个步骤及归纳假设的使用,证明正确.这个问题解决得非常好.
归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法,重要的解题途径,它是我们认识数学的一把钥匙.
(三)练习
已知数列{an}和{bn},其中
an=1+3+5+…+(2n+1),bn=1+2+22+…+2n-1,(n∈N+)
当n∈N+时,试比较an与bn的大小,并证明你的结论.
(教师巡视学生的解题情况,适时点评)
有的同学面对问题无从下手,一下子就想得到一个一般性的结论是不太容易,但我们可以从特殊的n=1,n=2,……入手,通过观察归纳,猜想出一个一般的结论,这应是可以做到的吧.
有的同学结论下得太草率,只看了a1与b1,a2与b2,a3与b3就下结论了,急于去证明,证的时候就有困难了.这种时候该怎么办?
①看证法是否正确;
②回过头来多试几个,甚至还应看看an,bn的结构,再慎重下结论.
(待大部分学生都解出后,教师将课前准备好的写在投影片上的解答在投影机上打出来并讲评.)
当n=1时,a1=4,b1=1,则a1>b1;
当n=2时,a2=9,b2=3,则a2>b2;
当n=3时,a3=16,b3=7,则a3>b3;
当n=4时,a4=25,b4=15,则a4>b4;
当n=5时,a5=36,b5=31,则a5>b5;
当n=6时,a6=49,b6=63,则a6<b6;
当n=7时,a7=64,b7=127,则a7<b7;
由此得到:
当n≤5(n∈R)时,an>bn;
当n≥6(n∈R)时,an<bn.
前一结论在推导时已用穷举法得到证明,后一猜想我们用数学归纳法加以证明.
证明:
(1)当n=6时,上面已证得a6<b6,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥6)时命题成立,即k≥6时,(k+1)2<2k-1.则当n=k+1时,bk+1=2k+1-1=2·
2k-1=2(2k-1)+1>2(k+1)2+1=2k2+4k+3=k2+4k+4+(k2-1).
因k≥6,则k2-1>0.所以k2+4k+4+(k2-1)>k2+4k+4.即bk+1>k2+4k+4=(k+2)2=[(k+1)+1]2=ak+1.故ak+1<bk+1,所以当n=k+1时,命题也成立.
由
(1),
(2)得an<bn对任意n≥6且n∈N+都成立.
第
(2)步亦可由分析法证得.
(2)假设当n=k(k≥6)时命题成立,即k≥6时,(k+1)2<2k-1,则当n=k+1时,要证ak+1<bk+1,即证:
(k+2)2<2k+1-1.
这只要证(k+2)2<2·
2k-1.
由归纳假设2k>(k+1)2+1,
只要证(k+2)2<[(k+1)2+1]×
2-1,
只要证k2+4k+4<2k2+4k+3,
只要证1<k2.
这由k≥6是显然成立的,所以当n=k+1时命题也成立.
本题不能只对n=1,2,3,4做出检验,就冒然断定当n∈N+时,an>bn成立.如果仓促做出此推测,在后面证明受阻时,也应重新检查猜想是否准确.
其实,仔细看看式子an=(n+1)2,bn=2n-1的结构,就不难发现:
随着n的不断增大,bn的增长速度明显快于an.想想这些,对结论的猜测会是大有好处的.
(四)小结
(引导学生一起归纳小结)
1.归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程,既需要探求和发现结论,又需要证明所得结论的正确性.它引导我们在数学的领域中积极探索,大胆猜想,可以充分地发挥我们的数学想象力.同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明.
2.归纳法是一种推理方法,数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想,而数学归纳法的作用是证明猜想.在归纳、猜想、证明的过程中,猜想是关键.我们可以“猜结果”,也可以“猜过程”,只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系,就不难得到猜想.在用数学归纳法证明时,有时还可以弥补猜想中的不足.
(五)布置作业
1.高级中学课本《代数》下册(必修)P129第35题.
2.(选作)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1,其中Sn是{an}的前n项和.先求出a1,a2,a3,a4的值,再推测{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
本题的求值计算、猜想都不是很困难,但用数学归纳法证明有一定难度.在由归纳假设ak成立推证ak+1成立时,需ak+1与ak的关系式,而题目条件中没有直接给出,这就需要学生能有意识地利用条件Sn+an=2n+1①.由于n∈N,就可以得到Sn+1+an+1=2(n+1)+1②.将
数学归纳法的证明中起着重要作用,而且可简化计算.有整体构想的同学应先推导出此关系式,再计算、猜想、证明)
课堂教学设计说明
利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题,在课本中虽无这类例题,但复习参考题的最后一道却属此类.它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大.
在归纳、猜想、证明中,准确猜想是关键.因此我们把重点放在了如何猜想.它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决,而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义.
在例题、习题、作业题的配备上,我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高(较初中而言).因此在题目的设置上,我们加大了思维的含量.让学生在处理每一个问题,操作每一步时都必须有所思考,使学生深切体会到:
数学不能死记硬背,也不能生搬硬套.要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学.
本节安排的这道练习题.从题目本身看,学生得不到一个解题程序,似乎无从下手.但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话,他就会有解题意识与思路.更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程,体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系.
至于课后思考题,其计算、猜想都不困难,使学生对此题轻松上手.但证明时的不顺利会引发他们的思考:
照搬例习题的模式是不行的,它与例习题的区别何在?
数学归纳法的本质特征是什么?
……这些思考不仅有助于学生解出此题,更有助于学生从实质上理解数学归纳法,抓住其核心——递推.这节课的教学,我们始终以问题为主线,让学生的思维由问题开始,到问题深化.通过问题的研讨,帮助学生从认识上得到提高.逐步由特殊到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入.从而提高学生的思维层次与思维水平.
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- 归纳 猜想 证明 教案