希尔伯特23个数学问题Word格式文档下载.docx

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公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。

他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。

公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。

17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。

中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。

孙子定理比欧洲早500年，西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。

初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。

它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。

如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。

初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。

另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。

）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。

几何与代数

对于几何学，十八世纪数学家们着眼于分析方法的应用，及与此相联系的坐标几何的发展。

虽然早先已有部分结果，但微分几何形成为独立的学科主要是在十八世纪。

伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包络等方面作出许多贡献；

蒙日自1771年起发表的一系列工作，则使微分几何在十八世纪的发展臻于高峰。

蒙日及其学生全面概括了空间曲线的一般理论，并借着偏微分方程对已为欧拉等人触及的可展曲面、极小曲面、曲面曲率及各种曲面簇等问题获得了系统的结果。

蒙日通过其几何研究还建立了偏微分方程的特征理论。

现代解析几何的基本课题如对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等，基本上也是十八世纪的产品。

帕伦于1705、1713年将解析几何推广至三维情形，该项工作被克莱罗所继续。

解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限。

对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起，这主要归功于蒙日的《画法几何学》。

蒙日指出画法几何只是投影几何的一个方面，这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展。

投影几何在十九世纪整整活跃了一个世纪，而几何变换则已成为现代几何学的基本概念。

十八世纪许多数学家将分析看作代数的延伸，代数本身的研究有时便服从分析的需要。

然而十八世纪代数学仍为下一世纪的革命性发展开辟了道路。

1799年，高斯发表了关于代数基本定理的研究，给出了该定理的第一个严格证明；

高于四次的代数方程用根式求解之不可能，也已被拉格朗日等人认识，拉格朗日在《方程的代数求解》一文中讨论了这个问题，虽未能作出严格证明，但却考察了根的有理函数及根的置换对它们的影响。

高斯、拉格朗日的结果是19世纪阿贝尔、伽罗瓦、雅可比等在方程论方面的划时代成就的出发点。

冯·

诺依曼关于量子理论的数学基础，算子环，遍历理论的研究

从1930年到1940这十年间，冯·

诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中，后来在一张为国家科学院填的问答表中，他选择了量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他这一阶段的研究目标和工作领域。

诺依曼研究方法也更趋于成熟，他的声望也越来越高。

他也取得一些重要的研究成果。

1927年冯·

诺依曼已经在量子力学领域内从事研究工作。

他和希尔伯待以及诺戴姆联名发表了论文《量子力学基础》。

该文的基础是希尔伯特1926年冬所作的关于量子力学新发展的讲演，诺戴姆帮助准备了讲演，冯·

诺依曼则从事于该主题的数学形式化方面的工作。

文章的目的是将经典力学中的精确函数关系用概率关系代替之。

希尔伯特的元数学、公理化的方案在这个生气勃勃的领域里获得了施展，并且获得了理论物理和对应的数学体系间的同构关系。

对这篇文章的历史重要性和影响无论如何评价都不会过高。

诺依曼在文章中还讨论了物理学中可观察算符的运算的轮廓和埃尔米特算子的性质，无疑，这些内容构成了《量子力学的数学基础》一书的序曲。

l932世界闻名的斯普林格出版社出版了他的《量子力学的数学基础》，它是冯·

诺依曼主要著作之一，初版为德文，1943年出了法文版，l949年为西班牙文版，l955年被译成英文出版，至今仍不失为这方面的经典著作。

当然他还在量子统计学、量子热力学、引力场等方面做了不少重要工作。

客观地说，在量子力学发展史上，冯·

诺依曼至少作出过两个重要贡献：

狄拉克对量子理论的数学处理在某种意义下是不够严格的，冯·

诺依曼通过对无界算子的研究，发展了希尔伯特算子理论，弥补了这个不足；

此外，冯·

诺依曼明确指出，量子理论的统计特征并非由于从事测量的观察者之状态未知所致。

借助于希尔伯待空间算子理论，他证明凡包括一般物理量缔合性的量子理论之假设，都必然引起这种结果。

对于冯·

诺依曼的贡献，诺贝尔物理学奖获得者威格纳曾作过如下评价：

“在量子力学方面的贡献，就是以确保他在当代物理学领域中的特殊地位。

”

在冯·

诺依曼的工作中，希尔伯特空间上的算子谱论和算子环论占有重要的支配地位，这方面的文章大约占了他发表的论文的三分之一。

它们包括对线性算子性质的极为详细的分析，和对无限维空间中算子环进行代数方面的研究。

算子环理论始于1930年下半年，冯·

诺依曼十分熟悉诺特和阿丁的非交换代数，很快就把它用于希尔伯特空间上有界线性算子组成的代数上去，后人把它称之为冯·

诺依曼算子代数。

1936～l940年间，冯·

诺依曼发表了六篇关于非交换算子环论文，可谓20世纪分析学方面的杰作，其影响一直延伸至今。

诺依曼曾在《量子力学的数学基础》中说过：

由希尔伯特最早提出的思想就能够为物理学的量子论提供一个适当的基础，而不需再为这些物理理论引进新的数学构思。

他在算子环方面的研究成果应验了这个目标。

诺依曼对这个课题的兴趣贯穿了他的整个生涯。

算子环理论的一个惊人的生长点是由冯·

诺依曼命名的连续几何。

普通几何学的维数为整数1、2、3等，冯·

诺依曼在著作中已看到，决定一个空间的维数结构的，实际上是它所容许的旋转群。

因而维数可以不再是整数，连续级数空间的几何学终于提出来了。

1932年，冯·

诺依曼发表了关于遍历理论的论文，解决了遍历定理的证明，并用算子理论加以表述，它是在统计力学中遍历假设的严格处理的整个研究领域中，获得的第一项精确的数学结果。

诺依曼的这一成就，可能得再次归功于他所娴熟掌握的受到集合论影响的数学分析方法，和他自己在希尔伯特算子研究中创造的那些方法。

它是20世纪数学分析研究领域中取得的最有影响成就之一，也标志着一个数学物理领域开始接近精确的现代分析的一般研究。

此外冯·

诺依曼在实变函数论、测度论、拓扑、连续群、格论等数学领域也取得不少成果。

1900年希尔伯特在那次著名的演说中，为20世纪数学研究提出了23个问题，冯·

诺依曼也曾为解决希尔伯特第五问题作了贡献。

4布尔代数 

布尔的《逻辑的数学分析》与布尔代数

为计算机的诞生奠定了逻辑基础

乔治·

布尔（GeorgeBoole，1815年～1864年）1815年11月生于英格兰的林肯。

他的父亲是皮匠，由于家境十分贫寒，无力供他读书。

他的学问主要来自于自学。

年仅12岁的布尔就掌握了拉丁文和希腊语，后来又自学了意大利语和法语。

尽管他曾考虑想过要当牧师，但最终他还是决定从事教育行业。

布尔从16岁就开始任教，以此维持生活。

在协助养家的同时并为自己受教育而奋斗拼搏。

而后来他还开办了自己的学校。

在备课的时候，布尔不满意当时的数学课本，便决定阅读伟大数学家的论文。

在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时，布尔有了变分方面的新发现。

变分是数学分析的分支，它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。

从20岁起布尔对数学产生了浓厚兴趣，广泛涉猎著名数学家牛顿、拉普拉斯、拉格朗日等人的数学名著，并写下大量笔记。

这些笔记中的思想，1847年被用于他的第一部著作《逻辑的数学分析》之中。

1848年，布尔出版了《逻辑的数学分析》，这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。

1849年他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授。

1854年，他出版了《思维的规律》，这是他最著名的著作。

在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。

布尔撰写了微分方程和差分方程的课本，这些课本在英国一直使用到19世纪末。

1854年，已经担任柯克大学教授的布尔再次出版《思维规律的研究──逻辑与概率的数学理论基础》。

以这两部著作，布尔建立了一门新的数学学科。

布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。

在布尔代数里，布尔构思出一个关于0和1的代数系统，用基础的逻辑符号系统描述物体和概念。

这种代数不仅广泛用于概率和统计等领域，更重要的是，它为今后数字计算机开关电路设计提供了最重要数学方法。

　　布尔一生发表了50多篇科学论文、两部教科书和两卷数学逻辑著作。

为了表彰他的成功，都柏林大学和牛津大学先后授予这位自学的成才的数学家荣誉学位，他还被推选为英国皇家学会会员。

他也是19世纪最重要的数学家之一。

布尔在1855年结婚，他的妻子是皇后校园一位希腊文教授的侄女。

1864年，布尔死于肺炎，肺炎是他在暴风雨天气中尽管已经湿淋淋的了仍坚持上课引起的。

数字计算机首先来源于理论突破，是逻辑代数为开关电路设计奠定了的数学基础。

逻辑代数又称布尔代数，正是以它的创立者──英国数学家布尔而命名。

5数理逻辑

数理逻辑的创始人——布尔

英国数学家G.布尔为了研究思维规律（逻辑学、数理逻辑）于1847和1854年提出的数学模型。

此后R.戴德金把它作为一种特殊的格。

所谓一个布尔代数，是指一个有序的四元组〈B，∨，∧，*〉，其中B是一个非空的集合，∨与∧是定义在B上的两个二元运算，*是定义在B上的一个一元运算，并且它们满足一定的条件。

布尔代数由于缺乏物理背景，所以研究缓慢，到了20世纪30～40年代才有了新的进展，大约在1935年，M.H.斯通首先指出布尔代数与环之间有明确的联系，他还得到了现在所谓的斯通表示定理：

任意一个布尔代数一定同构于某个集上的一个集域；

任意一个布尔代数也一定同构于某个拓扑空间的闭开代数等，这使布尔代数在理论上有了一定的发展。

布尔代数在代数学（代数结构）、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用；

1967年后，在数理逻辑的分支之一的公理化集合论以及模型论的理论研究中，也起着一定的作用。

近几十年来，布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等工程技术领域中有重要的应用。

1835年，20岁的乔治·

布尔开办了一所私人授课学校。

为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。

不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？

实在令人难以置信。

于是，这位只受过初步数学训练的青年自学了艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。

由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。

这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书,但是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德·

摩根。

摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。

这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。

布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。

他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。

在这种代数中，适当的材料上的“推理”，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。

这样，就使逻辑本身受数学的支配。

为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。

1854年，他发表了《思维规律》这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。

几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。

欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的、哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。

布尔在他的杰作出版后不久就去世了。

20世纪初，罗素在《数学原理》中认为，“纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。

”此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。

今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。

　　在离散数学中，布尔代数（有时叫布尔格）是有补分配格（可参考格的定义）可以按各种方式去认为元素是什么；

最常见的是把它们当作一般化的真值。

作为一个简单的例子，假设有三个条件是独立的为真或为假。

布尔代数的元素可以接着精确指定那些为真；

那么布尔代数自身将是所有八种可能性的一个搜集，和与之在一起的组合它们的方式。

有时也被称为布尔代数的一个相关主题是布尔逻辑，它可以被定义为是所有布尔代数所公有的东西。

它由在布尔代数的元素间永远成立的关系组成，而不管你具体的那个布尔代数。

因为逻辑门和某些电子电路的代数在形式上也是这样的，所以同在数理逻辑中一样，布尔逻辑也在工程和计算机科学中研究。

在布尔代数上的运算被称为AND（与）、OR（或）和NOT（非）。

代数结构要是布尔代数，这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样（这两个元素是TRUE（真）和FALSE（假）。

6集合论

康托尔与他创立的集合论

康托尔（G.Cantor，1845－1918）是19世纪末20世纪初德国的数学家。

康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。

作为集合论的创立者，康托尔是数学史上最富有想象力，也最有争议的人物之一。

19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。

然而数学的发展最终证明康托是正确的。

康托创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。

康托尔就对数学的特殊敏感

1845年3月3日，乔治·

康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。

1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。

像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。

他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。

这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。

康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。

所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。

他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。

1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。

数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。

这篇文章的创造性引起人们的注意。

在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。

这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。

1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。

集合论的背景

为了比较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。

集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。

数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。

在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。

19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。

在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。

正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。

但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。

柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。

19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。

严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。

于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。

在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。

在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。

因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。

这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。

总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。

集合论的建立

康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。

库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。

克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。

外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。

他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。

例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。

正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。

他的毕业论文就是关于++=0的素数问题的。

这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。

这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。

然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。

相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。

海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：

任意函数的三角级数的表达式是否唯一？

对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。

函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。

此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。

这就为康托最终建立集合论创造了条件。

1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。

至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。

康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。

他跨出了集合论的第一步。

康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。

他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。

为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。

在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。

1872年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。

康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。

集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。

从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。

而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。

所以对这种集合的理解没有任何进展。

早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：

如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。

在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯明确表态：

“我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。

无穷只是一种说话的方式……”柯西也不承认无穷集合的存在。

他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。

当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。

数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。

康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。

他要用事实来说明问题，说服大家。

康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。

对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。

它定义了基数,可数集合等概念。

并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。

随着实数不可数性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。

1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。

从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。

康托自己起初也是这样认识的。

但三年后，康托宣布：

不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！

这一结果是出人意外的。

就连康托本人也觉得“简直不能相信”。

然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。

既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托在1879到1884年间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成《关于无穷的线性点集》。

前四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论等方面的应用。

其中第五篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也最丰富。

它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数的整个谱系。

同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取的实无穷立场的非难。

这篇文章对康托是极为重要的。

1883年，康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版。

《集合论基础》的出版，是康托数学研究的里程碑。

其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。

康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒进。

“我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。

”《集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影响的特殊贡献的开端。

康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。

在该文中,他改变了早期用公理定义（序）数的方法，采用集合作为基本概念。

他给出了超限基数和超限序数的定义，引进了它们的符号；

依势的大小把它们排成一个“序列”；

规定了它们的加法，乘法和乘方……。

到此为止，康托所能做的关于超限基数和超限序数理论已臻于完成。

但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。

康托自己首先发现了集合论的内在矛盾。

他在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：

一个是连续统假说；

另一个是所有超穷基数的可比较性。

他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。

一直到1903年罗素发表了他的著名悖论。

集合论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。

对康托集合论的不同评价

康托的集合论是数学上最具有革命性的理论。

他处理了数学上最棘手的对象---无穷集合。

因此，他的发展道路也自然很不平坦。

他抛弃了一切经验和直观，用彻底的理论来论证，因此他所得出的结论既高度地令人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置疑。

数学史上没有比康托更大胆的设想和采取的步骤了。

因此，它不可避免地遭到了传统思想的反对。

一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托把