谈谈高斯勒让德公式推导过程Word文档格式.docx
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中的上下标.
如果我们事先选定求积节点
,臂如,以区间
的等距分点作为节点,这时取
求解方程组(4.1.4)即可确定求积系数
,而使求积公式(4.1.3)至少具有
次代数精度.本章第2节介绍这样一类求积公式,梯形公式是其中的一个特例.
为了构造出形如(4.1.3)的求积公式,原则上是一个确定参数
的代数问题.
4.1.3插值型的求积公式
设给定一组节点
且已知函数
在节点上的值,作插值函数
(参见第2章(2.9)式).由于代数多项式
的原函数是容易求出的,我们取
作为积分
的近似值,这样构造出的求积公式
(4.1.5)
称为是插值型的,式中求积系数
通过插值基函数
的积分得出
(4.1.6)
由插值余项定理(第2章的定理2)即知,对于插值型的求积公式(4.1.5),其余项
(4.1.7)
与变量
有关,
如果求积公式(4.1.5)是插值型的,按式(4.1.7),对于次数不超过
的多项式
,其余项
等于零,因而这时求积公式至少具有
反之,如果求积公式(4.1.5)至少具有
次代数精度,则它必定是插值型的.事实上,这时公式(4.1.5)对于插值基函数
应准确成立,即有
注意到
,上式右端实际上即等于
,因而式(4.1.6)成立.
综上所述,我们的结论是:
定理1 形如(4.1.5)的求积公式至少具有
次代数精度的充分必要条件是,它是插值型的.
4.1.4求积公式的收敛性与稳定性
定义2 在求积公式(4.1.3)中,若
其中
,则称求积公式(4.1.3)是收敛的.
在求积公式(4.1.3)中,由于计算
可能产生误差
,实际得到
,即
.记
如果对任给小正数
,只要误差
充分小就有
, (4.1.8)
它表明求积公式(4.1.3)计算是稳定的,由此给出:
定义3 在任给
,若
,只要
就有(4.1.8)成立,则称求积公式(4.1.3)是稳定的.
定理2 若求积公式(4.1.3)中系数
,则此求积公式是稳定的.
证明 对任给
,若取
,对
都有
,则有
由定义3可知求积公式(4.1.3)是稳定的.证毕.
定理2表明只要求积系数
,就能保证计算的稳定性.
4.2牛顿-4.3柯特斯公式
4.2.1柯特斯系数
设将积分区间
划分为
等分,步长
,选取等距节点
构造出的插值型求积公式
(4.2.1)
称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式,式中
称为柯特斯系数.按(4.1.6)式,引进变换
(4.2.2)
由于是多项式的积分,柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难.当
时,
这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式(4.1.1).
当
时,按(4.2.2)式,这时柯特斯系数为
相应的求积公式是下列辛普森(Simpson)公式
,(4.2.3)
而当
的牛顿-柯特斯公式则特别称为柯特斯公式,其形式是
(4.2.4)
为里
下表列出柯特斯系数表开头的一部分.
1
2
3
4
5
6
7
8
从表中看到
出现负值,于是有
,
特别地,假定
,且
它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大,即计算不稳定,故
时的牛顿-柯特斯公式是不用的.
4.2.2偶阶求积公式的代数精度
作为插值型的求积公式,
阶的牛顿-柯特斯公式至少具有
次代数精度(定理1).实际的代数精度能否进一步提高呢?
先看辛普森公式(4.2.3),它是二阶牛顿-柯特斯公式,因此至少具有二次代数精度.进一步用
进行检验,按辛普森公式计算得
另一方面,直接求积得
这时有
,即辛普森公式即对次数不超过三次的多项式均能准确成立,又容易验证它对
通常是不准确的,因此,辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地,我们可以证明下述论断:
定理3 当阶
为偶数时,牛顿-柯特斯公式(4.2.1)至少具有
证明 我们只要验证,当
为偶数时,牛顿-柯特斯公式对
的余项为零.
按余项公式(4.1.7),由于这里
,从而有
引进变换
,并注意到
,有
若
为偶数,则
为整数,再令
,进一步有
据此可以断定
,因为被积函数
是个奇函数.证毕.
4.2.3几种低阶求积公式的余项
首先考虑梯形公式,按余项公式(4.1.7),梯形公式(4.1.1)的余项
这里积分的核函数
在区间
上保号(非正),应用积分中值定理,在
,使
. (4.2.5)
再研究辛普森公式(4.2.3)的余项
.为此构造次数不超过3的多项式
,使满足
(4.2.6)
这里
.由于辛普森公式具有三次代数精度,它对于构造出的三次多项式
是准确的,即
而利用插值条件(4.2.6)知,上式右端实际上等于按辛普森公式(4.2.3)求得的积分值S,因此积分余项
对于满足条件(4.2.6)的多项式
,其插值余项由第2章(2.5.11)得
故有
这时积分的核函数
在
上保号(非正),再用积分中值定理有
. (4.2.7)
关于柯特斯公式(4.2.4)的积分余项,这里不再具体推导,仅列出结果如下:
. (4.2.8)
4.3复4.4化求积公式
前面已经指出高阶牛顿-柯特斯求公式不稳定的,因此,不可能通过提高阶的方法来提高求积精度.为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间(通常是等分),再在每个子区间上用低阶求积公式.这种方法称为复化求积法.本节讨论复化梯形公式与复化辛普森公式.
4.4.1复4.4.2化梯形公式
将区间
等分,分点
,在每个子区间
上采用梯形公式(4.1.1),则得
(4.3.1)
记
, (4.3.2)
称为复化梯形公式,其余项可由(4.2.5)得
由于
所以
使
于是复化梯形公式余项为
. (4.3.3)
可以看出误差是
阶,且由(4.3.3)立即得到,当
,则
即复化梯形公式是收敛的.事实上只要设
,则可得到收敛性,因为只要把
改写为
时,上式右端括号内的两个和式均收敛到积分
,所以复化梯形公式(4.3.2)收敛.此外,
的求积系数为正,由定理2知复化梯形公式是稳定的.
4.4.3复4.4.4化辛普森求积公式
分为
等分,在每个子区间
上采用辛普森公式(4.2.3),若记
,则得
(4.3.4)
(4.3.5)
称为复化辛普森求积公式.其余项由(4.2.7)得
于是当
时,与复化梯形公式相似有
. (4.3.6)
由(4.3.6)看出,误差阶为
,收敛性是显然的,实际上,只要
则可得收敛性,即
此外,由于
中求积系数均为正数,故知复化辛普森公式计算稳定.
例1 对于函数
,给出
的函数表(见表4-2),试用复化梯形公式(4.3.2)及复化辛普森公式(4.3.5)计算积分
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
0.9973978
0.9896158
0.9767267
0.9588510
0.9361556
0.9088516
0.8771925
0.8414709
并估计误差.
解 将积分区间[0,1]划分为8等分,应用复化梯形法求得
;
而如果将[0,1]分为4等分,应用复化辛普森法有
比较上面两个结果
,它们都需要提供9个点上的函数值,计算量基本相同,然而精度却差别很大,同积分的准确值I=0.9460831比较,复化梯形公式的结果
只有两位有效数字,而复化辛普森的结果
却有六位有效数字.
为了利用余项公式估计误差,要求
的高阶导数,由于
所以有
于是
由(4.3.3)得复化梯形公式的误差
对复化辛普森公式误差,由(4.3.6)得
4.5高斯求积公式
4.5.1一般理论
形如(1.3)的机械求积公式
含有
个待定参数
.当
为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为
次,如果适当选取
,有可能使求积公式具有
次代数精度,这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.为使问题更具有一般性,我们研究带权积分
,这里
为权函数,类似(4.1.3),它的求积公式为
, (4.5.1)
为不依赖于
的求积系数,
为求积节点,可适当选取
及
使(4.5.1)具有
定义4 如果求积公式(4.5.1)具有
次代数精度,则称其节点
为高斯点,相应公式(4.5.1)称为高斯求积公式.
根据定义要使使(4.5.1)具有
次代数精度,只要取
,(4.5.1)精确成立,则得
. (4.5.2)
当给定权函数
,求出右端积分,则可由(4.5.2)解得
例5 试构造下列积分的高斯求积公式:
. (4.5.3)
解 令公式(4.5.3)对于
准确成立,得
(4.5.4)
利用(4.5.4)的第1式,可将第2式化为
同样地,利用第2式化第3式,利用第3式化第4式,分别得到
从上面三式子消去
进一步整理得
由此解出
从而求出
于是形如(4.5.3)的高斯求积公式是
从此例看到求解非线性方程组(4.5.2)较为复杂,通常
就很难求解.故一般不通过求解方程(4.5.2)求
,而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
定理5 插值型求积公式(4.5.1)的节点
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
与任何次数不超过
带权
正交,即
. (4.5.5)
证明 必要性.设
,因此,如果
是高斯点,则求积公式(4.5.1)对于
精确成立,即有
因
,故(4.5.5)成立.
再证充分性.对于
,用
除
,记商为
,余式为
,其中
.由(4.5.5)可得
. (4.5.6)
由于所给求积公式(4.5.1)是插值型的,它对于
是精确的,即
再注意到
,知
,从而由(4.5.6)有
可见求积公式(4.5.1)对一切次数不超过
的多项式均精确成立.因此,
为高斯点. 证毕.
定理表明在
上带权
的
次正交多项式的零点就是求积公式(4.5.1)的高斯点,有了求积节点
,再利用(4.5.2)对
成立,则得到一组关于求积系数
的线性方程.解此方程则得
.也可以直接由的插值型多项式求出求积系数.
下面讨论高斯求积公式(4.5.1)的余项.利用
在节点
的埃尔米特插值
两端乘
,并由
到
积分,则得
. (4.5.7)
其中右端第一项积分对
次多项式精确成立,故
,故由积分中值定理得(4.5.1)的余项为
. (4.5.8)
下面讨论高斯求积公式的稳定性与收敛性.
定理6 高斯求积公式(4.5.1)的求积系数
全是正的.
证明 考察
它是
次多项式,因而
是
次多项式,故高斯求积公式(4.5.1)对于它能够准确成立,即有
定理得证.
由本定理及定理2,则得
推论 高斯求积公式(4.5.1)是稳定的.
定理7 设
,则高斯求积公式(4.5.1)是收敛的,即
证明见[1].
4.5.2高斯-4.5.3勒让德求积公式
在高斯求积公式(4.5.1)中,若取权函数
,区间为
,则得公式
. (4.5.9)
我们知道勒让德多项式(参见式(3.2.5))是区间
上的正交多项式,因此,勒让德多项式
的零点就是求积公式(4.5.9)的高斯点.形如(4.5.9)的高斯公式特别地称为高斯-勒让德求积公式.
若取
的零点
做节点构造求积公式
令它对
准确成立,即可定出
.这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式.
再取
的两个零点
构造求积公式
都准确成立,有
,从而得到两点高斯-勒让德求积公式
三点高斯-勒让德求积公式的形式是
表4-7列出高斯-勒让德求积公式(4.5.9)的节点和系数.
表4-7
0.0000000
2.0000000
0.5773503
1.0000000
0.7745967
0.5555556
0.8888889
0.8611363
0.3399810
0.3478548
0.6521452
0.9061798
0.5384693
0.2369269
0.4786287
0.5688889
公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得
是最高项系数为1的勒让德多项式,由(3.2.6)及(3.2.7)得
. (4.5.10)
时,有
它比辛普森公式余项
还小,且比辛普森公式少算一个函数值.
当积分区间不是[-1,1],而是一般的区间
时,只要做变换
可将
化为[-1,1],这时
. (4.5.11)
对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.
例6 用4点(
)的高斯-勒让德求积公式计算
解 先将区间
化为[-1,1],由(4.5.11)有
根据表4-7中
的节点及系数值可求得
(准确值
).
4.5.4高斯-4.5.5切4.5.6比雪夫求积公式
,且权函数
则所建立的高斯求积公式为
. (4.5.12)
特别地称为高斯-切比雪夫求积公式.由于区间[-1,1]上关于权函数
的正交多项式是切比雪夫多项式(参见3.2节),因此求积公式(4.5.12)的高斯点是
次切比雪夫多项式的零点,即为
通过计算可知(4.5.12)的系数
,使用时将
个节点公式改为
个节点,于是高斯-切比雪夫求积公式写成
. (4.5.13)
公式余项由(4.5.9)可算得
. (4.5.14)
带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.
例7 用5点(n=5)的高斯-切比雪夫求积公式计算积分
解 这里
,当
时由公式(4.5.13)可得
由余项(4.5.14)可估计得
4.6数值微分
4.6.1中点方法与误差分析
数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值.按导数定义可以简单地用差商近似导数,这样立即得到几种数值微分公式
(6.1)
为一增量,称为步长.后一种数值微分方法称为中点方法,它其实是前两种方法的算术平均.但它的误差阶却由
提高到了
.上面给出的三个公式是很实用的.尤其是中点公式更为常用.
为要利用中点公式
计算导数
的近似值,首先必须选取合适的步长,为此需要进行误差分析.分别将
处做泰勒展开有
代入上式得
由此可知,从截断误差的角度看,步长越小,计算结果越准确.且
再考虑舍入误差.按中点公式计算,当
很小时,因
很接近,直接相减会造成有效数字的严重损失(参看第1章第4节).因此,从舍入误差的角度来看,步长是不宜太小的.
例如,用中点公式求
处的一阶导数
设取4位数字计算.结果见表4-8(导数的准确值
表4-8
h
G(h)
1.0
0.5
0.1
0.3660
0.3564
0.3535
0.05
0.01
0.005
0.3530
0.3500
0.001
0.0005
0.0001
0.3000
从表4-8中看到
的逼近效果最好,如果进一步缩小步长,则逼近效果反而越差.这是因为当
分别有舍入误差
.若令
,则计算
的舍入误差上界为
它表明
越小,舍入误差
越大,故它是病态的.用中点公式(4.6.1)计算
的误差上界为
要使误差
最小,步长
不宜太大,也不宜太小.其最优步长为
4.6.2 插值型的求导公式
对于列表函数
:
运用插值原理,可以建立插值多项式
作这[经的的似.由于多项式的求导比较容易,我们取
的值作为
的近似值,这样建立的数值公式
(4.6.3)
统称为插值型的求导公式.
必须指出,即使
与
值相差不多,导数的近似值
与导数的真值
仍然可能差别很大,因而在使用求导公式(4.6.3)时应该特别注意误差的分析.
依据插值余项定理,求导公式(4.6.3)的余项为
在这一余项公式中,由于
的未知函数,我们无法对它的第二项
做出进一步的说明.因此,对于随意给出的点
,误差
是无法预估的.但是,如果我们限定求某个节点
上的导数值,那么上面的第二项因式
变为零,这时有余项公式
. (4.6.4)
下面我们仅仅考察节点处的导数值.为简化讨论,假定所给的节点是等距的.
1.两点公式
设已给出两个节点
上的函数值
,做线性插值得公式
对上式两端求导,记
于是有下列求导公式:
而利用余项公式(4.6.4)知,带余项的两个点公式是
2.三点公式
设已给出三个节点
上的函数值,
做二次插值
令
,上式可表示为
两端对
求导,有
.(4.6.5)
这里撇号
表示对变量
求导数.上式分别取
,得到三种三点公式:
而带余项的三点求导公式如下:
(4.6.6)
其中的公式(4.6.6)是我们所熟悉的中点公式.在三点公式中,它由于少用了一个函数值
而引人注目.
用插值多项式
作为
的近似函数,还可以建立高阶数值微分公式:
,k=1,2,…
例如,将式(4.6.5)再对
求导一次,有
于是有
而带余项的二阶三点公式如下:
. (4.6.7)
4.6.3 利用数值积分求导
微分是积分的逆运算,因此可利用数值积分的方法来计算数值微分.设
是一个充分光滑的函数,设
, (4.6.8)
对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式.例如,对
用中矩形公式(4.1.2),则得
从而得到中点微分公式.
若对(4.6.8)右端积分用辛普森求积公式,则有
上式略去余项,并记
的近似值为
,则得到辛普森数值微分公式
这是关于
这
+1个未知量的
-1个方程组,若
已知,则可得
(4.6.9)
的三对角方程组,且系数矩阵为严格对角占优的,可用追赶法求解(见第5章5.4节).
如果端点导数数值不知道,那么对(4.6.3)中第1个和第n-1个方程可分利用
的中点微分公式近似,即取
然后求
即为
的近似值.
例8 给定
的一张数据表(表4-9左部),并给定
的值(见表4-9).利用辛普森数值微分公式求
上的一阶导数.
解 根据(4.6.9)有
解之得
,结果见表4-9.
表4-9
0
1
2
3
4
5
100
101
102
103
104
105
10.00000000
10.04987562
10.0995
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