辽宁省沈阳市郊联体学年高一下学期期中考试数学理试题.docx
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辽宁省沈阳市郊联体学年高一下学期期中考试数学理试题
辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高一下学期期中考试
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
【答案】D
【解析】分析:
根据终边相同的角的表示方法找到在在内与其终边相同的角,然后可判断所给角的终边所在的位置.
详解:
由题意得,
∴的终边和角的终边相同,
∴是第四象限角.
故选D.
点睛:
所有与α角终边相同的角(连同角α在内),可以表示为β=,k∈Z;在确定α角所在象限时,有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论.
2.函数的最小正周期为()
A.B.C.2D.4
【答案】C
【解析】分析:
根据正切函数的周期求解即可.
详解:
由题意得函数的最小正周期为.
故选C.
点睛:
本题考查函数的最小正周期,解答此类问题时根据公式求解即可.
3.向量,并且,则实数的值为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析:
根据向量共线的等价条件得到关于y的方程,解方程可得所求.
详解:
∵,且,
∴,
∴.
故选B.
点睛:
根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常用方法,充分体现了方程思想在向量中的应用.
4.()
A.B.C.D.1
【答案】A
【解析】分析:
将化为,然后逆用两角和的余弦公式求解.
详解:
由题意得
.
故选A.
点睛:
本题考查利用两角和的余弦公式求值,解题的关键是在统一角及三角函数值后再逆用公式,将问题化为求特殊角的三角函数值的问题.
5.已知点,向量,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析:
由条件求得,再根据求解即可得到结果.
详解:
由条件得,
又,
∴.
故选B.
点睛:
本题考查向量坐标的求法和向量的减法运算,解题时注意向量运算法则的正确运用,主要考查学生的基本运算能力,属于容易题.
6.要得到函数的图象,只需将的图象()
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
【答案】D
【解析】分析:
将化为,再与对照后可得结论.
详解:
由题意得,
∴将的图象向右平移个单位后可得函数的图象.
故选D.
点睛:
解决三角函数图象的变换问题时要注意以下几点:
①变换前后三角函数的名称不变;②正确确定变换的顺序;③在x轴方向上的变换,无论是平移还是伸缩,都是对变量x而言的,因此当解析式中x的系数不是1时,要将系数化为1后再进行变换.
7.已知向量满足,且,则与夹角为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析:
先由求得,再根据公式可求得向量的夹角.
详解:
∵,
∴,
∴.
设向量与夹角为,
则,
又,
∴.
故选A.
点睛:
两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关,由定义可得,利用这一公式可求两向量的夹角,但解题时要注意向量夹角的范围.
8.函数是偶函数,则下列说法错误的是()
A.函数在区间上单调递减B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间上单调递增D.函数的图象关于点对称
【答案】C
【解析】分析:
根据函数是偶函数求得,然后再对每个选项进行分析排除可得结论.
详解:
∵函数是偶函数,
∴,
∴,
又,
∴,
∴.
对于A,可得函数区间上单调递减,故A正确.
对于B,由可得直线是对称轴,故B正确.
对于C,可得函数在区间上先减后增,故C不正确.
对于D,由可得是对称中心,故D正确.
故选C.
点睛:
关于三角函数奇偶性的结论与方法
①函数y=Asinωx是奇函数,y=Acosωx是偶函数.
②若函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数,则有φ=kπ(k∈Z);若该函数为偶函数,则有φ=kπ(k∈Z).
③若函数y=Acos(ωx+φ)是奇函数,则有φ=kπ(k∈Z);若该函数为偶函数,则有φ=kπ(k∈Z).
9.已知且,,则()
A.B.C.D.3
【答案】D
【解析】分析:
先求得,进而得到,然后利用公式求解即可.
详解:
∵,
∴,
∴.
又,
∴.
故选D.
点睛:
对于三角变换中的“给值求值”的问题,求解过程中要注意角的变换,运用拆、分、凑等方法将所求角用已知角表示出来,把已知角当作一个整体代入求解,以减少运算量、提高解题的效率和准确性.
10.已知函数的部分图象如图所示,点,是该图象与轴的交点,过点作直线交该图象于两点,点是的图象的最高点在轴上的射影,则的值是()
A.B.C.1D.2
【答案】B
【解析】分析:
由图象得到函数的周期,进而求得.又由条件得点D,E关于点B对称,可得,然后根据数量积的定义求解可得结果.
详解:
由图象得,
∴,
∴.
又由图象可得点B为函数图象的对称中心,
∴点D,E关于点B对称,
∴,
∴.
故选B.
点睛:
本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起,考查学生分析问题和解决问题的能力.解题的关键是读懂题意,通过图象求得参数;另外,根据函数图象的对称中心将向量进行化简,从而达到能求向量数量积的目的.
11.已知且,又,则的最大值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析:
建立平面直角坐标系,根据题意得到点D的轨迹,然后再根据的几何意义求解.
详解:
∵,
∴.
建立如图所示的平面直角坐标系,则C(1,0),A(0,1).
设,则,
∵,
∴,
整理得,
∴点在以为圆心,半径为的圆.
又表示圆上的点到原点B的距离,
∴.
故选A.
点睛:
(1)由于向量具有数形二重性,因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行,利用数形结合增强解题的直观性,同时也使得对向量的研究简单化.
(2)求的最大值时,根据向量模的几何意义,转化为圆上的点到原点距离的最大值,即圆心到原点的距离加上半径.
12.已知函数的周期为,将函数的图象沿着轴向上平移一个单位得到函数图象,对任意的时恒成立,当取得最小值时,的值是()
A.B.1C.D.2
【答案】C
详解:
∵函数的周期为,
∴,
∴,
∴.
由得,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵对任意的时恒成立,
∴,
∴,,
解得.
又,
∴.
∴的最小值为,
此时,
∴.
故选C.
点睛:
解答本题的关键是对“对任意的时恒成立”的理解,可将这一条件转化为两集合间的包含关系,通过解不等式组可得的取值范围,于是可得函数的解析式,进而求得的值.
二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知的圆心角所对的弧长为,则这个扇形的面积为_______.
【答案】24
【解析】分析:
根据弦长公式可得扇形的半径,然后再根据扇形的面积公式求解.
详解:
弧度.
设扇形所在圆的半径为,
由题意得,解得.
所以扇形的面积为.
点睛:
本题考查弧度制和角度制间的互化、扇形弧长、扇形面积的求法,解题的关键是根据条件求出扇形所在圆的半径.
14.已知,则_______.
【答案】
【解析】分析:
先判断的符号,再根据求解.
详解:
∵,
∴,
∴.
又,
∴.
点睛:
对于这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为,解题的关键是确定的符号.
15.若函数在区间内是减函数,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】试题分析:
时,是减函数,又,∴由得在上恒成立,.
考点:
1.三角函数的单调性;2.导数的应用.
16.如图,已知为的重心,且,若,则角的大小为_______.
【答案】
【解析】分析:
利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出.
详解:
连AO并延长与BC相交于点D,
∵为的重心,
∴点D是BC的中点,且.
设AD=m,∠ADB=α.
则,
以上两式两边分别相加可得:
又,
∴.
又,
在中,由余弦定理的推论得
.
∵,
∴.
点睛:
本题考查余弦定理的应用,考查学生分析问题和解决问题的能力.由于题中涉及的三角形较多,故解题的关键是分清是用哪个三角形,然后根据条件选择余弦定理合适的形式求解.
三、解答题(本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知向量,,.
(1)若,,求;
(2)若,求函数的对称轴.
【答案】
(1)
(2)
【解析】分析:
(1)由题意先求得函数的解析式,根据可得,然后再根据的范围求得的值.
(2)先求得函数图象的对称轴,再根据给出的范围确定所求.
详解:
由题意得
(1)∵,
∴,
∴.
又,
∴或.
(2)由,
得.
又,
∴.
即当时,函数图象的对称轴为.
点睛:
已知函数值求角时,一定要注意判断出所求角的取值范围,只有在此范围下求出的角才是所求的,否则会得到错误的结果.
18.如图,在中,点为直线上的一个动点,且满足
(1)若,用向量表示;
(2)若,且,请问取何值时使得?
【答案】
(1)
(2)
【解析】分析:
(1)由和向量减法的运算法则可得结果.
(2)将和都表示为组合的形式,根据可求得的值.
详解:
(1)由题意得,
∴,
∴.
(2)由题意知.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
解得
..............................
19.已知函数
(1)求的最小正周期和最大值;
(2)讨论在区间上的单调性.
【答案】
(1),
(2)
【解析】分析:
(1)将函数解析式化为的形式后再根据要求求解.
(2)将看作一个整体,由的范围得到所求的单调性.
详解:
(1)由题意得
=
.
∴,.
(2)∵,
∴.
∴当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
即在上单调递增,在上单调递减.
点睛:
本题考查函数的性质,解题的关键是由条件得到该形式,然后将作为一个整体并结合正弦函数的相关性质求解.
20.如图,在平面直角坐标系中,点在单位圆上,,且
(1)若,求的值;
(2)若是单元圆上在第二象限的一点,且.过点作轴的垂线,垂足为,记的面积为,求函数的取值范围.
【答案】
(1)。
(2)
【解析】分析:
(1)由可得.由三角函数的定义可得,再根据求解即可.
(2)根据三角函数的定义得到点,由可得,化简后再求最值可得结果.
详解:
(1)由三角函数定义得.
∵,
∴.
,
∴.
.
(2)由题意知,
∵,
∴,
∴,
∴.
又,
∴,
∴.
∴函数的取值范围为.
点睛:
本题考查三角函数定义的应用及三角变换求值,解题时要准确把握三角函数定义的运用,特别是根据定义表示角终边上点的坐标是解题的关键,然后再根据相关的公式求解即可.
21.已知函数,其函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式及对称中心;
(2)将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度得到函数的图象,若关于的方程在区间上有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
【答案】
(1)
(2)
【解析】分析:
(1)将函数化为后再求对称中心.
(2)由题意得,且,令后可将问题转化为关于的方程在区间上仅有一个实数根求解,然后根据方程根的分布可得所求结果.
详解:
(1)由题意得
.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距
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