圆苏州市中考数学试题附答案Word下载.docx
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∴∠GMC=∠GME。
又∵∠DMF=∠GME,∴∠GMC=∠DMF。
∴△FDM∽△COM。
(3)结论仍成立。
证明如下:
∵∠EDC的度数=的度数=的度数=∠COA的度数,
-∠COA=∠COM。
∵AB为直径,∴CE⊥AB。
在Rt△CGM和Rt△EGM中,∴Rt△CGM≌Rt△EGM(HL)。
【考点】圆周角定理,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,线段垂直平分线的性质,直角三角形两锐角的关系,平角定义,直角三角形全等的判定和性质,垂径定理,相似三角形的判定。
【分析】
(1)由于CG⊥OA,根据垂径定理可得出,,那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA,在Rt△COG中,可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°
,那么就能得出∠FDM=180°
(2)在
(1)中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线,那么△CMG和△BMG就应该全等,可得出∠CMA=∠EMG,也就可得出∠CMO=∠FMD,在
(1)中已经证得∠AOC=∠EDC=60°
,那么∠COM=∠MDF,因此两三角形相似。
(3)可按
(2)的方法得出∠DMF=∠CMO,关键是再找出一组对应角相等,还是用垂径定理来求,根据垂径定理我们可得出,那么∠AOC=∠EDC,根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM,由此可证出两三角形相似。
5.(江苏省苏州市2004年6分)如图,⊙O2与⊙O1的弦BC切于C点,两圆的另一个交点为D,动点A在⊙O1,直线AD与⊙O2交于点E,与直线BC交于点F。
(1)如图1,当A在弧CD上时,求证:
①△FDC∽△FCE;
②AB∥EC;
(2)如图2,当A在弧BD上时,是否仍有AB∥EC?
请证明你的结论。
(1)证明:
①∵BC为⊙O2的切线,∴∠D=∠FCE。
又∵∠F=∠F,∴△FDC∽△FCE。
②在⊙O1中,∠B=∠D,∠D=∠FCE,
∴∠FCE=∠B。
∴AB∥EC。
(2)仍有AB∥EC。
∵四边形ABCD是⊙O1的内接四边形,∴∠FBA=∠FDC。
∵BC为⊙O2的切线,∴∠FCE=∠FDC。
∴∠FCE=∠FBA。
【考点】弦切角定理,圆周角定理,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定,平行线的判定。
(1)①在△FDC与△FCE中,由弦切角定理得:
∠D=∠FCE,已知公共角∠F,由此可判定两三角形相似。
②根据平行线的判定,只需证明∠FCE=∠B;
①中证得∠D=∠FCE,而⊙O1中,根据圆周角定理,可得∠D=∠B,将等角代换可得出∠B=∠FCE,由此得证。
(2)根据平行线的判定,只需证明∠FCE=∠FBA,思路同
(1)②,根据圆内接四边形的性质,得∠FBA=∠FDC;
由弦切角定理,得∠FCE=∠FDC,将等角代换后可证得所求的结论。
6.(江苏省苏州市2005年6分)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,D是⊙O上的一点,且AD∥CO。
(1)求证:
△ADB∽△OBC;
(2)若AB=2,BC=,求AD的长。
(结果保留根号)
(1)∵AD∥OC,∴∠A=∠COB。
又∵AB是直径,BC是⊙O的切线,∴∠D=∠OBC=90°
∴△ADB∽△OBC。
(2)在Rt△OBC中,OB=AB=1,BC=,∴OC=
∵△ADB∽△OBC,∴,即。
∴。
【考点】相似三角形的判定和性质,圆周角定理,切线的性质,勾股定理。
(1)根据平行线的性质得∠A=∠COB,根据直径所对的圆周角是直角得∠D=∠OBC,就可以判定△ADB∽△OBC。
(2)根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC的长。
7.(江苏省苏州市2006年7分)如图①,△ABC内接于⊙O,且∠ABC=∠C,点D在弧BC上运动.过点D作DE∥BC.DE交直线AB于点E,连结BD.
∠ADB=∠E;
(2)求证:
AD2=AC•AE;
(3)当点D运动到什么位置时,△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明
∵DE∥BC,∴∠ABC=∠E。
∵∠ADB,∠C都是AB所对的圆周角,∴∠ADB=∠C。
又∠ABC=∠C,∴∠ADB=∠E。
∵∠ADB=∠E,∠BAD=∠DAE,∴△ADB∽△AED。
∴,即AD2=AB•AE。
又∵∠ABC=∠C,∴AB=AC,∴AD2=AC•AE。
(3)点D运动到弧BC中点时,△DBE∽△ADE。
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC。
∵∠DBC所对的是弧,∠EAD所对的是弧,
且,
∴∠DBC=∠EAD。
∴∠EDB=∠EAD。
又∠DEB=∠AED,∴△DBE∽△ADE。
【考点】圆周角定理,平行线的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的判定和性质。
(1)由DE∥BC,可得∠ABC=∠E;
由∠ADB,∠C都是AB所对的圆周角,得∠ADB=∠C;
又∠ABC=∠C,因此∠ADB=∠E。
(2)由∠ABC=∠C得AB=AC;
由△ADB∽△AED得;
即AD2=AB•AE=AC•AE。
由,得∠BAD=∠DBC;
由DE∥BC,得∠EDB=∠DBC;
又∠BDE=∠BAD,因此△DBE∽△ADE。
8.(江苏省苏州市2007年8分)如图,BC是⊙O的直径,点A在圆上,且AB=AC=4.P为AB上一
点,过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F
(1)设AP=1,求△OEF的面积.
(2)设AP=a(0<a<2),△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2。
①若S1=S2,求a的值;
②若S=S1+S2,是否存在一个实数a,使S<?
若存在,求出一个a的值;
若不存在,说明理由.
(1)∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°
又∵AB=AC,∴∠B=∠C=45°
∵OA⊥BC,∴∠B=∠1=45°
∵PE⊥AB,∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°
则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形。
∵AP=l,AB=4,∴AF=,OA=。
∴OE=OF=。
∴△OEF的面积为。
(2)①∵PF=AP=a.∴AF=.OE=OF=一。
∴,
∵S1=S2,∴,解得。
∵,∴。
②不存在。
理由如下:
∵,
∴当时,S取得最小值为。
∵,∴不存在这样实数a,使S<。
【考点】圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,解一元二次方程,二次函数的最值。
(1)根据已知条件,证出△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形即易求出△OEF的面积。
(2)①由S1=S2列出方程,解之即可。
②求出S关于的函数关系式,由二次函数的最值求出S的最小值,与比较即可。
9.(江苏省苏州市2008年9分))如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,BM平分∠ABC交AC于M,以A
为圆心,AM为半径作OA交BM于N,AN的延长线交BC于D,直线AB交OA于P、K两点.作MT⊥BC
于T
(1)求证AK=MT;
AD⊥BC;
(3)当AK=BD时,求证:
.
【答案】证明:
(1)∵∠BAC=90°
,BM平分∠ABC交AC于M,MT⊥BC,∴AM=MT。
又∵AM=AK,∴AK=MT。
(2)∵BM平分∠ABC交AC于M,∴∠ABM=∠CBM。
又∵AM=AN,∴∠AMN=∠ANM。
又∵∠ANM=∠BND,∴∠AMN=∠BND。
∵∠BAC=900,∴∠ABM+∠AMB=900。
∴∠CBM+∠BND=900。
∴∠BDN=900。
∴AD⊥BC。
(3)∵BNM和BPK是⊙A的割线,∴BN•BM=BP•BK。
即。
∵AK=BD,AK=MT,∴BD=MT。
∵AD⊥BC,MT⊥BC,∴∠ADB=∠MTC=900。
∴∠C+∠CMT=900。
∵∠BAC=900,∴∠C+∠ABC=900。
∴∠ABM=∠CMT。
在△ABD和△CMT中,∵,∴△ABD≌△CMT(ASA)。
∴AB=MC。
∵AK=AM,∴AB+AK=MC+AM,即BK=AC。
【考点】角平分线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,对顶角的性质,垂直的判定,割线长定理,全等三角形的判定和性质。
(1)根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质,有AM=MT,从而由圆的半径相等结论。
(2)由已知,根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和对顶角的性质即能得到∠CBM+∠BND=900的结论,从而根据三角形内角和定理得到∠BDN=900,即AD⊥BC。
(3)根据割线长定理,有,故只要证得BK=AC即可证得结论。
由△ABD≌△CMT可得AB=MC,由圆半径相等得AK=AM,从而AB+AK=MC+AM,即BK=AC。
10.(江苏省苏州市2011年8分)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°
,C是弦AB上的任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交于⊙O于点D,连接AD.
(1)弦长AB等于▲(结果保留根号);
(2)当∠D=20°
时,求∠BOD的度数;
(3)当AC的长度为多少时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?
请写出解
答过程.
【答案】解:
(1)。
(2)∵∠BOD是△BOC的外角,∠BCO是△ACD的外角,
∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D。
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D。
又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角,∴∠BOD=2∠A。
又∵∠B=30°
,∠D=20°
,∴2∠A=∠A+30°
+20°
,即∠A=50°
∴∠BOD=2∠A=100°
(3)∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D。
∴要使△DAC∽△BOC,只能∠DCA=∠BCO=90°
此时∠BOC=60°
,∠BOD=120°
,∴∠DAC=60°
∴△DAC∽△BOC。
∵∠BCO=90°
,即OC⊥AB,∴AC=AB=。
∴当AC=时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。
【考点】弦径定理,直角三角函数,圆周角定理,三角形外角定理,相似三角形的判定。
(1)由OB=2,∠B=30°
知。
(2)由∠BOD是圆心角,它是圆周角A的两倍,而得求。
(3)要求AC的长度为多少时,△DAC∽△BOC,只能∠DCA=∠BCO=90°
,据此可求。
11.(2012江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上
的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为.
⑴当时,求弦PA、PB的长度;
⑵当x为何值时,的值最大?
最大值是多少?
(1)∵⊙O与直线l相切于点A,AB为⊙O的直径,∴AB⊥l。
又∵PC⊥l,∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB。
∵AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。
∴,即PA2=PC•PD。
∵PC=,AB=4,∴。
∴在Rt△APB中,由勾股定理得:
(2)过O作OE⊥PD,垂足为E。
∵PD是⊙O的弦,OF⊥PD,∴PF=FD。
在矩形OECA中,CE=OA=2,∴PE=ED=x-2。
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x。
∵
∴当时,有最大值,最大值是2。
【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定和性质,二次函数的最值。
(1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在Rt△APB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长。
(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。
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