人教A版高中数学必修4第一章三角函数12任意角的三角函数教案2Word下载.docx
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另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好用了
教学用具:
投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数
(一)
【创设情境】y
P(a,b)
提问:
锐角0的正弦、余弦、正切怎样表示?
r
借助右图直角三角形,复习回顾.0/|M
引入:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗’
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正
半轴重合,那Ox
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点
MPb
OPr
它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为
则;
P(a,b)r,a2b20PxMOMaMPbsin
OMa.丄MPb
cos;
.tan
OPrOMa
思考:
对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?
P
显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直
角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
OPr1
sinMPb;
;
.cosOMatan塑b
OPOPOMa
上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概
念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?
本节课就研究这个问题——任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:
结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:
在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.0
2.思考:
如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
P(x,y)
(1)叫做的正弦(sine),记做,即;
ysinsiny
(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;
xcoscosx
(3)叫做的正切(tangent),记做,即.-tantan-(x0)
xx
注意:
当a是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);
当a不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终
边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.P(x,y)
3.思考:
如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,Pr寂~/sjn/;
2cos/2
Vxy<
xy
tany.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值
x
为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求的正弦、余弦和正切值.—
3
例2.已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.F0(3,4)
教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:
设则.x3,y4,r、、(3)2(4)25
于是,,.sin1电cos仝3tan上4
r5r5x3
5.巩固练习第1,2,3题P17
6.探究:
请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域
填入下表;
再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:
三角函数
定义域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
sin
cos
tan
7.例题讲评
例3•求证:
当且仅当不等式组成立时’角为第三象限角.{:
:
0
8.思考:
根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然:
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
cos(2k)cos(其中)kZ
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1);
(2);
(3);
(4)cos250sin(-)tan(672)tan3
例5.求下列三角函数值:
911
(1);
(2);
(3)sin148010cos—tan(——)
46
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求到(或到)角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.020360
10.巩固练习第4,5,6,7题R7
11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域;
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
你在解题时会准确熟
练应用公式一吗?
五、评价设计
1.作业:
习题1.2A组第1,2题.
2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?
要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.
第二课时任意角的三角函数
(二)
【复习回顾】
1、三角函数的定义;
2、三角函数在各象限角的符号;
3、三角函数在轴上角的值;
4、诱导公式
(一):
终边相同的角的同一三角函数的值相等;
5、三角函数的定义域.
要求:
记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以,凡是碰到轴上角时,要结合定义进行分析;
并要求在理解的基础上记忆.
1.引入:
角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数)•作为角的函数一一三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个图形概念呢?
换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢?
2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个
圆就叫做单位圆(注意:
这个单位长度不一定就是1厘米或1米)•当角为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点,过点作轴交轴于点,
则请你观察:
P(x,y)PPMxxM
根据三角函数的定义:
|MP||y||sin||0M||x||cos|
随着在第一象限内转动,、是否也跟着变化?
MP0M
(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段、规定一个适当的方向,使它们的取值与点的坐标一致?
MPOMP
(2)你能借助单位圆,找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗?
MP0M
我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关•当角的终边不在坐
标轴时,以为始点、为终点,规定:
0M
当线段与轴同向时,的方向为正向,且有正值;
当线段与轴反向时,的方
向为负向,且有正值;
其中为点的横坐标•这样,无论那种情况都有
OMxOMxOMxOMxxP
同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点,规定:
xMP
当线段与轴反向
MPyMPyMPy
时,的方向为负向,且有正值;
其中为点的横坐标•这样,无论那种情况都
有MPyyP
4•像这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(directlinesegment).MP、OM
5.如何用有向线段来表示角的正切呢?
如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有A(1,0)TOA、AT
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.MP、OM、AT
6.探究:
(1)当角的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们
的正弦线、余弦线和正切线吗?
(2)当的终边与轴或轴重合时,又是怎样的情形呢?
7.例题讲解
例1.已知,试比较的大小•——,tan,sin,cos
42
处理:
师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质8.练习第1,2,3,4题P199学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切
函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)、
(2)、(3)、sin15tan15cos15018cos121—tan—
55
2.练习三角函数线的作图.
1.2.2同角三角函数的基本关系
1、知识与技能
(1)使学生掌握同角三角函数的基本关系;
(2)已知某角的一个三角函数
值,求它的其余各三角函数值;
(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式;
(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式;
(5)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学生分析,解决三角问题的能力;
(6)灵
活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力,进一步树
立化归思想方法;
(7)掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间
的关系;
学习已知一个三角函数值,求它的其余各三角函数值;
利用同角三角
函数关系式化简三角函数式;
利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过
例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
通过本节的学习,牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解
题,提高学生分析,解决三角问题的能力;
进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
公式及的推导及运用:
(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;
(2)化简三角函数式;
(3)证明简单的三角恒等式.
根据角a终边所在象限求出其三角函数值;
选择适当的方法证明三角恒等式.
利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系式:
及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.sin2cos21—tan
圆规、三角板、投影
四、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.
三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何
性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:
以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理
由,因此,即•MPOMOP0P1MP2OM21x2y21sin2cos21
根据三角函数的定义,当时,有.ak—(kZ)也tan
2cos
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切.
2.例题讲评
例6.已知,求的值.
5
sin,cos,tan三者知一求二,熟练掌握.
3.巩固练习页第1,2,3题P23
4.
例题讲评
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤5.巩固练习页第4,5题P236.学习小结
此,sin2cos21tan
sincos
(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因
(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.
(1)作业:
习题1.2A组第10,13题.
⑵熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得
到其他几个常用的关
系式;
注意三角恒等式的证明方法与步骤.
仅此学习交流之用
谢谢
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- 人教 高中数学 必修 第一章 三角函数 12 任意 教案