高考数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值与最值夯基提能作业本文文档格式.docx

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（1）求函数f（x）的单调区间和极值;

（2）若函数f（x）在区间（0,2]上存在唯一零点,求a的取值范围.

答案精解精析

A组　基础题组

1.D　

2.D　因为f（x）=+lnx,所以f'

（x）=-+=,当x>

2时,f'

（x）>

0,

此时f（x）为增函数;

当0<

x<

（x）<

此时f（x）为减函数,据此知x=2为f（x）的极小值点.

3.A　f'

（x）=x-=,且x>

0.

令f'

0,得x>

1;

0,得0<

1.

∴f（x）在x=1处取得极小值,即最小值,且f

（1）=-ln1=.

4.D　由题意知,f'

（x）=6x2-12x,令f'

（x）=0,得x=0或x=2,当x<

0或x>

0,当0<

2时,

f'

∴f（x）在[-2,0]上单调递增,在（0,2]上单调递减,由条件知f（0）=m=3,∴f

（2）=-5,f（-2）=-37,∴所求最小值为-37.

5.C　由题意知,f'

（x）=3x2-2px-q,由f'

（1）=0,f

（1）=0得解得p=2,q=-1,∴f（x）=x3-2x2+x,由

（x）=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,易得当x=时,f（x）取得极大值,当x=1时,f（x）取得极小值0.

6.B　由f'

（x）=4x-==0,

得x=.当x∈时,f'

0;

当x∈时,f'

0,即函数f（x）在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以x=为函数f（x）的极值点.函数在区间（k-1,k+1）上有定义且不是单调函数,即在区间（k-1,k+1）内有极值点,所以0≤k-1<

<

k+1,解得1≤k<

.

7.答案　

解析　因为f'

（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

所以f'

（x）=0在x∈上的解为x=.又f=+,f=,

f（π）=-1,所以函数f（x）=xsinx+cosx在上的最大值为.

8.答案　1

解析　因为f（x）是奇函数,

所以f（x）在（0,2）上的最大值为-1,

当x∈（0,2）时,f'

（x）=-a,

（x）=0,得x=,因为a>

所以0<

2.

0,得x<

所以f（x）在上单调递增;

所以f（x）在上单调递减,所以当x∈（0,2）时,f（x）max=f=ln-a·

=-1,

所以ln=0,所以a=1.

9.解析　因为f（x）=,

（x）=.

（1）依题意得f'

（0）=a-1=-2,解得a=-1.

所以f（x）=,f'

当x>

0,函数f（x）为增函数;

当x<

0,函数f（x）为减函数.

所以函数f（x）的最小值是f

（2）=-.

（2）①若a=0,则f'

（x）=-<

此时f（x）在（0,1）上单调递减,满足条件.

②若a≠0,令f'

（x）=0,得x==1-.

（i）若1-≤0,即0<

a≤1,则f'

0在（0,1）上恒成立.

（ii）若0<

1-<

1,即a>

1,

由f'

0得x<

1-;

0得x>

1-.

此时,f（x）在上为增函数,在上为减函数,不满足条件.

（iii）若1-≥1,即a<

则f'

综上,a的取值范围为（-∞,1].

10.解析　

（1）当x<

1时,f'

（x）=-3x2+2x=-x（3x-2）,

（x）=0,解得x=0或x=.

当x变化时,f'

（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

（-∞,0）

f'

（x）

-

+

f（x）

↘

极小值

↗

极大值

故当x=0时,函数f（x）取得极小值,为f（0）=0,函数f（x）的极大值点为x=.

（2）①当-1≤x<

1时,由

（1）知,函数f（x）在[-1,0]和上单调递减,在上单调递增.

因为f（-1）=2,f=,f（0）=0,

所以f（x）在[-1,1）上的最大值为2.

②当1≤x≤e时,f（x）=alnx,当a≤0时,f（x）≤0;

当a>

0时,f（x）在[1,e]上单调递增,

则f（x）在[1,e]上的最大值为f（e）=a.

综上所述,当a≥2时,f（x）在[-1,e]上的最大值为a;

当a<

2时,f（x）在[-1,e]上的最大值为2.

11.解析　

（1）对f（x）求导得f'

（x）=,所以f'

（0）=-2.

因为f（0）=1,所以曲线f（x）在（0,f（0））处的切线方程为2x+y-1=0.

（2）令f（x）==0,解得x=1,所以f（x）的零点为x=1.

由

（1）知f'

（x）=,

（x）=0,解得x=2,

（x）及f（x）的变化情况如下表:

（-∞,2）

2

（2,+∞）

极小值-

所以函数f（x）在x=2处取得极小值,极小值为-,无极大值.

（3）解法一:

1时,f（x）=<

1时,f（x）=>

若a≤1,由

（2）可知f（x）的最小值为f

（2）,f（x）的最大值为f（a）,

所以“对任意x1,x2∈[a,+∞）,有f（x1）-f（x2）≥-成立”等价于f

（2）-f（a）≥-,

即--≥-,解得a≥1,∴a=1.

若a>

1,求出a的值显然大于1.

所以a的最小值为1.

解法二:

由

（2）可知,f（x）的最小值为f

（2）=-,

若a<

1,令x1=2,x2∈[a,1）,

则x1,x2∈[a,+∞）.

而f（x1）-f（x2）<

f（x1）-0=f（x1）=f

（2）=-,不符合要求,所以a≥1.

当a=1时,∀x1,x2∈[1,+∞）,f（x1）≤0,f（x2）≤0.

所以f（x1）-f（x2）≥f（x1）-0≥f

（2）=-,即a=1满足要求.

综上,a的最小值为1.

12.解析　

（1）由已知得f'

（x）=ex-a,

若a≤0,则在区间（-∞,+∞）上,f'

0,f（x）单调递增.所以当a≤0时,f（x）的单调递增区间为（-∞,+∞）,没有极值点.

0,令f'

（x）=0,得ex=a,

解得x=lna,所以在区间（-∞,lna）上f'

0,f（x）单调递减,在区间（lna,+∞）上f'

0,f（x）单调递增.所以当a>

0时,f（x）的单调递减区间为（-∞,lna）,f（x）的单调递增区间为（lna,+∞）,当x=

lna时,函数f（x）有极小值2a-alna.

（2）当a≤0时,由

（1）可知,f（x）在（-∞,+∞）上单调递增,因为f（0）=1+a,f

（1）=e>

0,令f（0）=1+a<

0,得a<

-1,所以当a<

-1时,f（x）在区间（0,2]上存在唯一零点.

0时,由

（1）可知,x=lna为函数f（x）的最小值点,因为f（0）=1+a>

0,若函数f（x）在区间（0,2]上存在唯一零点,则只能:

①或②

由①得a=e2,由②得a>

e2.

综上所述,若函数f（x）在区间（0,2]上存在唯一零点,则a<

-1或a≥e2.

2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值夯基提能作业本文

1.若函数f（x）=+lnx,则（　　）

2.函数y=在[0,2]上的最大值是（　　）

A.B.C.0D.

A.B.1C.0D.不存在

4.已知函数f（x）=x3-px2-qx的图象与x轴切于点（1,0）,则f（x）的极大值、极小值分别为（　　）

A.-,0B.0,-C.,0D.0,

5.若函数f（x）=x3-3ax在区间（-1,2）上仅有一个极值点,则实数a的取值范围是（　　）

A.（1,4]B.[2,4]C.[1,4）D.[1,2]

6.f（x）=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是　　　　. 

7.已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f（x）的极大值与极小值之差为　　　　. 

8.已知f（x）=2x3-6x2+m（m为常数）在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为　　　　. 

9.（xx河南洛阳调研）已知f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f'

（x）满足f'

（1）=2a,f'

（2）=-b,其中常数a,b∈R.

（1）求曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程;

（2）设g（x）=f'

（x）e-x,求函数g（x）的极值.

10.已知函数f（x）=excosx-x.

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值.

1.（xx课标全国Ⅱ,11,5分）若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）ex-1的极值点,则f（x）的极小值为（　　）

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

2.已知函数f（x）=ax-lnx,当x∈（0,e]（e为自然常数）时,函数f（x）的最小值为3,则a的值为　　　　. 

3.已知函数f（x）=+klnx,k<

求函数f（x）在上的最大值和最小值.

4.已知函数f（x）=（a>

0）的导函数y=f'

（x）的两个零点为-3和0.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）若f（x）的极小值为-e3,求f（x）的极大值及f（x）在区间[-5,+∞）上的最大值.

1.D　因为f（x）=+lnx,所以f'

0,此时f（x）为增函数;

0,此时f（x）为减函数,所以x=2为f（x）的极小值点.

2.A　易知y'

=,x∈[0,2],令y'

>

0,得0≤x<

1,令y'

0,得1<

x≤2,所以函数y=在[0,1）上单调递增,在（1,2]上单调递减,所以y=在[0,2]上的最大值是y|x=1=,故选A.

4.C　由题意知,f'

（1）=0,f

（1）=0得解得∴f（x）=x3-2x2+x,由f'

5.C　因为f'

（x）=3（x2-a）,所以当a≤0时,f'

（x）≥0在R上恒成立,所以f（x）在R上单调递增,f（x）没有极值点,不符合题意;

0时,令f'

（x）=0得x=±

当x变化时,f'

（x）与f（x）的变化情况如下表:

（-∞,-）

（-,）

（,+∞）

因为函数f（x）在区间（-1,2）上仅有一个极值点,所以或解得1≤a<

4.故选C.

6.答案　2

解析　f'

（x）=3x2-6x=3x（x-2）,令f'

（x）=0得x=0或x=2（舍）,

当-1<

0时,f'

0,f（x）为增函数;

0,f（x）为减函数.

所以当x=0时,函数在[-1,1]上取得极大值即最大值,

所以f（x）的最大值为2.

7.答案　4

（x）=3x2+6ax+3b,

由题意得⇒

（x）=3x2-6x,令3x2-6x=0,则x=0或x=2,所以f（x）在（-∞,0）和（2,+∞）上递增,在（0,2）上递减,

所以f（x）极大值-f（x）极小值=f（0）-f

（2）=4.

8.答案　-37

解析　由题意知,f'

（x）=6x2-12x,

∴f（x）在[-2,0）上单调递增,在（0,2]上单调递减,由条件知f（0）=m=3,∴f

（2）=-5,f（-2）=-37,∴所求最小值为-37.

9.解析　

（1）由f'

（x）=3x2+2ax+b,

得

解得所以f（x）=x3-x2-3x+1,

（x）=3x2-3x-3.

于是有f

（1）=-.又f'

（1）=-3,

故曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为y-=-3（x-1）,即6x+2y-1=0.

（2）由

（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x,

则g'

（x）=（-3x2+9x）e-x,

令g'

（x）=0得x=0或x=3,

3时,g'

于是函数g（x）在（-∞,0）上单调递减,在（0,3）上单调递增,在（3,+∞）上单调递减.

所以函数g（x）在x=0处取得极小值g（0）=-3,在x=3处取得极大值g（3）=15e-3.

10.解析　

（1）因为f（x）=excosx-x,所以f'

（x）=ex（cosx-sinx）-1,f'

（0）=0.

又因为f（0）=1,所以曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=1.

（2）设h（x）=ex（cosx-sinx）-1,

则h'

（x）=ex（cosx-sinx-sinx-cosx）=-2exsinx.

当x∈时,h'

（x）≤0,

所以h（x）在区间上单调递减.

所以对任意x∈有h（x）≤h（0）=0,即f'

（x）≤0.

所以函数f（x）在区间上单调递减.

因此f（x）在区间上的最大值为f（0）=1,最小值为f=-.

1.A　由题意可得f'

（x）=ex-1[x2+（a+2）x+a-1].∵x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）ex-1的极值点,∴f'

（-2）=0,∴a=-1,∴f（x）=（x2-x-1）ex-1,f'

（x）=ex-1（x2+x-2）=ex-1·

（x-1）（x+2）,∴当x∈（-∞,-2）,（1,+∞）时,f'

0,f（x）单调递增;

x∈（-2,1）时,f'

0,f（x）单调递减.∴f（x）极小值=f

（1）=-1.故选A.

2.答案　e2

解析　易知a>

0,由f'

（x）=a-==0,得x=,当x∈时,f'

0,f（x）单调递减;

0,f（x）单调递增,所以f（x）在x=处取得极小值f=1-ln.

①当0<

≤e时,由1-ln=3,得a=e2,符合题意.

②当>

e时,由ae-lne=3,得a=,舍去.

综上所述,a的值为e2.

3.解析　f'

（x）=+=.

（1）若k=0,则在上恒有f'

∴f（x）在上单调递减.

∴f（x）min=f（e）=,

f（x）max=f=e-1.

（2）若k≠0,则f'

（x）==.

①若k<

0,则在上恒有f'

（x）=<

0,∴f（x）在上单调递减,

∴f（x）min=f（e）=+klne=+k-1,

f（x）max=f=e-k-1.

②若k>

0,由k<

得>

e,则x-<

∴f'

∴f（x）在上单调递减,

综上,当k=0时,f（x）min=,

f（x）max=e-1;

当k≠0且k<

时,f（x）min=+k-1,f（x）max=e-k-1.

4.解析　

（1）f'

（x）=

=,

令g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c,

因为ex>

0,所以y=f'

（x）的零点就是g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c的零点,且f'

（x）与g（x）符号相同.

因为a>

0,所以由题意知,当-3<

0时,g（x）>

0,即f'

-3或x>

0时,g（x）<

所以f（x）的单调增区间是（-3,0）,单调减区间是（-∞,-3）,（0,+∞）.

（2）由

（1）知,x=-3是f（x）的极小值点,所以有=-e3,

结合g（0）=b-c=0,g（-3）=-9a-3（2a-b）+b-c=0,

解得a=1,b=5,c=5,

所以f（x）=.

因为f（x）的单调增区间是（-3,0）,单调减区间是（-∞,-3）,（0,+∞）,

所以f（0）=5为函数f（x）的极大值,

且f（x）在区间[-5,+∞）上的最大值为f（-5）和f（0）中的最大者.

而f（-5）==5e5>

5=f（0）,

所以函数f（x）在区间[-5,+∞）上的最大值是5e5.