高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明114直接证明与间接证明学案理.docx

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高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明114直接证明与间接证明学案理

2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.4直接证明与间接证明学案理

[知识梳理]

1．直接证明

2．间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．

（1）反证法的定义：

假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

（2）用反证法证明的一般步骤：

①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．

[诊断自测]

1．概念思辨

（1）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（　　）

（2）证明不等式＋＜＋最适合的方法是分析法．（　　）

（3）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（　　）

（4）在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

2．教材衍化

（1）（选修A2－2P90例5）用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为（　　）

A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．a，b，c都是奇数

D．a，b，c都是偶数

答案　B

解析　a，b，c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c中至少有两个偶数．故选B.

（2）（选修A2－2P89T2）设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．

答案　m

解析　解法一：

（取特殊值法）取a＝2，b＝1，得m

解法二：

（作差法）由已知得m>0，n>0，则m2－n2＝a＋b－2－a＋b＝2b－2＝2－2<0，∴m2

3．小题热身

（1）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是（　　）

A.>B.＋≤1

C.≥2D.≤

答案　D

解析　∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝16.

∴a2＋b2≥8，∴≤.故选D.

（2）设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出：

“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．（填序号）

答案　①

解析　取a＝－2，b＝－1，则a2＋b2>2，从而②推不出．①能够推出，即若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.

用反证法证明如下：

假设a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．

因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1.

题型1　分析法的应用

　　已知a>0，证明：

－≥a＋－2.

本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法．

证明　要证－≥a＋－2，

只需证≥－（2－）．

因为a>0，所以－（2－）>0，

所以只需证2≥2，

即2（2－）≥8－4，

只需证a＋≥2.

因为a>0，a＋≥2显然成立，所以要证的不等式成立．

方法技巧

1．分析法证明问题的策略

（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想．

（2）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

2．分析法的适用范围及证题关键

（1）适用范围

①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接．

②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．

③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．

（2）证题关键：

保证分析过程的每一步都是可逆的．

冲关针对训练

（xx·天津期末）已知x>y>0，m>0.用分析法证明：

（2－）≤1.

证明　要用分析法证明：

（2－）≤1，

只需2－（）2≤1，

只需（）2－2＋1≥0，

即（－1）2≥0，

因为x，y>0，且（－1）2≥0成立，

所以（2－）≤1.

题型2　综合法的应用

　　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

（1）ab＋bc＋ca≤；

（2）＋＋≥1.

证明　

（1）由a2＋b2≥2ab，

b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得（a＋b＋c）2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3（ab＋bc＋ca）≤1，

即ab＋bc＋ca≤.

当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．

（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，

故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），

即＋＋≥a＋b＋c.

所以＋＋≥1.

方法技巧

1．利用综合法证题的策略

用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：

（1）定义明确的问题；

（2）已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．

2．综合法证明问题的常见类型及方法

（1）与不等式有关的证明：

充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用．见典例．

（2）与数列有关的证明：

充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明．

冲关针对训练

（xx·黄冈模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，且（3－m）Sn＋2man＝m＋3（n∈N）．其中m为常数，且m≠－3.

（1）求证：

{an}是等比数列；

（2）若数列{an}的公比q＝f（m），数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f（bn－1）（n∈N，n≥2），求证：

为等差数列．

证明　

（1）由（3－m）Sn＋2man＝m＋3，得

（3－m）Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.

两式相减，得（3＋m）an＋1＝2man，m≠－3，

∴＝，∴{an}是等比数列．

（2）∵（3－m）Sn＋2man＝m＋3，

∴（3－m）a1＋2ma1＝m＋3，∴a1＝1.

b1＝a1＝1，q＝f（m）＝，∴当n∈N且n≥2时，

bn＝f（bn－1）＝·⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒－＝.

∴是首项为1，公差为的等差数列．

题型3　反证法的应用

　　直线y＝kx＋m（m≠0）与椭圆W：

＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．

（1）当点B的坐标为（0,1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：

四边形OABC不可能为菱形．

因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线的中点，求对角线的斜率，研究其是否垂直．

解　

（1）因为四边形OABC为菱形，

AC与OB相互垂直平分．

可设A，代入椭圆方程得＋＝1，

即t＝±，所以|AC|＝2.

（2）证明：

假设四边形OABC为菱形．

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由消y并整理得

（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设A（x1，y1），C（x2，y2），则＝－，

＝k·＋m＝.

AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，

所以直线OB的斜率为－.

因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．

方法技巧

反证法的适用范围

（1）否定性命题；

（2）命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；

（3）当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；

（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．

冲关针对训练

（xx·济南质检）若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a

是否存在常数a，b（a>－2），使函数h（x）＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？

若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

解　假设函数h（x）＝在区间[a，b]（a>－2）上是“四维光军”函数，因为h（x）＝在区间（－2，＋∞）上单调递减，

所以有即

解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．

1．（xx·山东高考）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是（　　）

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

答案　A

解析　因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．故选A.

2．（xx·郑州模拟）设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝（sinx＋cosx）2，则（　　）

A．P>QB．P

答案　A

解析　因为2x＋2－x≥2＝2（当且仅当x＝0时等号成立），而x>0，所以P>2；又（sinx＋cosx）2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.

3．（xx·邹平期中）若a>b>c，则使＋≥恒成立的最大的正整数k为（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　C

解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，且a－c＝a－b＋b－c.

又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c时等号成立．

∴k≤＋，k≤4，故k的最大整数为4.故选C.

4．（xx·海淀区二模）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406,1630,7364,6173，则正确的密码中一定含有数字（　　）

A．4,6B．3,6C．3,7D．1,7

答案　D

解析　若正确的密码中一定含有数字3,6，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4,6或3,7不正确．若正确的密码中一定含有数字1,7，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选D.

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一、选择题

1．（xx·无锡质检）已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是（　　）

A．a>bB．a

C．a＝bD．a，b大小不定

答案　B

解析　∵a＝－＝，b＝－＝.而＋>＋>0（m>1），

∴<，即a

2．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋（　　）

A．都大于2B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2

答案　C

解析　由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，

∴＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C.

3．若用分析法证明：

“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：

A．a－b>0B．a－c>0

C．（a－b）（a－c）>0D．（a－b）（a－c）<0

答案　C

解析　0⇔（a－c）（2a＋c）>0⇔（a－c）（a－b）>0.故选C.

4．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于（　　）

A．10B．9C．8D．7

答案　B

解析　∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.

∴不等式可化为m≤（2a＋b）＝5＋2.

∵5＋2≥5＋4＝9，即其最小值为9